《备考指南一轮·数学·》课件-第11章 第1讲

计数原理、概率、随机变量及其分布第十一章第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理高考要求考情分析1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．2．会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题．此部分一般不单独考查，常与排列组合结合在一起考查，考查数学运算的核心素养栏目导航01基础整合自测纠偏03追踪命题直击高考02重难突破能力提升04配套训练基础整合自测纠偏1两个计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理条件完成一件事有__________．在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法完成一件事需要__________．做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法结论完成这件事共有N＝__________种不同的方法完成这件事共有N＝__________种不同的方法两类方案两个步骤m＋n

m×n

[特别提醒]分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础，并贯穿其始终．1．分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于其中一类．2．分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间“相互独立，分步完成”．1．从3名女同学和2名男同学中选1人主持主题班会，则不同的选法种数为(

)A．6种 B．5种C．3种 D．2种【答案】B2．(2019年石家庄模拟)教学大楼共有五层，每层均有两个楼梯，由一层到五层的走法有(

)A．10种 B．25种C．52种 D．24种【答案】D

【解析】每相邻的两层之间各有2种走法，共分4步．由分步乘法计数原理，共有24种不同的走法．3．现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有(

)A．24种B．30种C．36种D．48种【答案】D4．用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有____________个．(用数字作答)【答案】14

5．(一题两空)书架的第1层放有4本不同的语文书，第2层放有5本不同的数学书，第3层放有6本不同的体育书．从书架上任取1本书，不同的取法数为__________，从第1,2,3层分别各取1本书，不同的取法数为__________．【答案】15

1201．分类加法和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．2．混合问题一般是先分类再分步．3．分类时标准要明确，做到不重复、不遗漏．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(

)(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．(

)(3)在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成．(

)(4)如果完成一件事情有n个不同步骤，在每一步中都有若干种不同的方法mi(i＝1,2,3，…，n)，那么完成这件事共有m1m2m3…mn种方法．(

)(5)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(

)【答案】(1)×

(2)√

(3)√

(4)√

(5)√重难突破能力提升2分类加法计数原理的应用

(1)甲、乙、丙三个人踢毽，互相传递，每人每次只能踢一下，由甲开始踢，经过4次传递后，毽又被踢回给甲，则不同的传递方式共有(

)A．4种 B．6种C．10种 D．16种(2)满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为____________．【答案】(1)B

(2)13【解析】(1)分两类，甲第一次踢给乙时，满足条件有3种方法：甲→乙→甲→乙→甲、甲→乙→甲→丙→甲、甲→乙→丙→乙→甲．同理，甲先传给丙时，满足条件有3种踢法．由分类加法计数原理，共有3＋3＝6种传递方法．(2)当a＝0时，b的值可以是－1,0,1,2，故(a，b)的个数为4；当a≠0时，要使方程ax2＋2x＋b＝0有实数解，需使Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1.若a＝－1，则b的值可以是－1,0,1,2，(a，b)的个数为4；若a＝1，则b的值可以是－1,0,1，(a，b)的个数为3；若a＝2，则b的值可以是－1,0，(a，b)的个数为2.由分类加法计数原理可知，(a，b)的个数为4＋4＋3＋2＝13.【易错警示】分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素、关键位置．(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准．(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，不能重复．(3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏，如本例第(2)题中易漏a＝0这一类．【跟踪训练】1．一个科技小组有3名男同学，5名女同学，从中任选一名同学参加学科比赛，共有不同的选派方法__________种．【答案】8

【解析】由分类加法计数原理，不同的选派方法共有3＋5＝8(种)．分步乘法计数原理的应用

(1)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有(

)A．12种 B．18种C．24种 D．36种(2)有六名同学报名参加三个智力项目，每项限报一人，且每人至多参加一项，则共有____________种不同的报名方法．【答案】(1)A

(2)120【解析】(1)先排第一列，由于每列的字母互不相同，因此共有6种不同排法；再排第二列，其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法．因此共有6×2×1＝12种不同的排列方法．(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4＝120种．【规律方法】利用分步乘法计数原理的原则：(1)要按事件发生的过程合理分步，即考虑分步的先后顺序．(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这个事件．(3)对完成各步的方法数要准确确定．【跟踪训练】2．(1)(2019年珠海阶段性测试)某校2019年元旦晚会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为(

)A．120 B．210C．336 D．504(2)设集合A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，定义A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B中元素的个数为____________．(用数字作答)【答案】(1)D

(2)10【解析】(1)分三步，先插一个新节目，有7种方法，再插第二个新节目，有8种方法，最后插第三个节目，有9种方法，故共有7×8×9＝504种不同的插法．(2)易知A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}，所以x有2种取法，y有5种取法．由分步乘法计数原理，A*B的元素有2×5＝10(个)．两个原理的综合应用【考向分析】两个计数原理的应用是学习排列与组合的基础，高考中一般以选择题或填空题的形式出现，试题难度不大，两个原理的应用类型主要有：(1)涂色问题；(2)几何问题；(3)集合问题．【答案】260

【解析】区域A有5种涂色方法；区域B有4种涂色方法；区域C的涂色方法可分2类：若C与A涂同色，区域D有4种涂色方法；若C与A涂不同色，此时区域C有3种涂色方法，区域D也有3种涂色方法．所以共有5×4×4＋5×4×3×3＝260(种)涂色方法．【答案】D

【解析】第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24个；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个．所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36个．【答案】17

【解析】当A＝{1}时，B有23－1种情况；当A＝{2}时，B有22－1种情况；当A＝{3}时，B有1种情况；当A＝{1,2}时，B有22－1种情况；当A＝{1,3}，{2,3}，{1,2,3}时，B均有1种情况；所以满足题意的“子集对”共有7＋3＋1＋3＋3＝17(个)．【规律方法】在解决综合问题时，可能同时应用两个计数原理，即分类的方法可能要运用分步完成，分步的方法可能会采取分类的思想求．分清完成该事情是分类还是分步，“类”间互相独立，“步”间互相联系．追踪命题直击高考3【典例精析】

典例．(2020年宛城区校级月考)现有5种不同的颜色，给四棱锥P－ABCD的五个顶点涂色，要求同一条棱上的两个顶点颜色不能相同，方法一共有(

)A．240种 B．360种C．420种 D．480种【考查角度】计数原理的应用．【考查目的】对排列组合的运用的考查，运用了分步计算原理，是应用意识的体现，让学生注意解题的特殊方法，考查逻辑推理和数学运算的核心素养．【思路导引】根据题意，要求符合题意的方法分两步，①先涂顶点；②再涂底面4点；采用排列思路导引可得答案．【答案】C【拓展延伸】1．两个计数原理的区别分类加法计数原理分步乘法计数原理区别一每类办法都能独立完成这件事．它是独立的、一次的且每次得到的是最后的结果，只需一种方法就完成每一步得到的只是其中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步都不可，只有各步骤都完成了才能完成这件事区别二各类办法之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是相互依存的，并且既不能重复，也不能遗漏2．利用计数原理的三个注意点(1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法；(2)分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律；(3)复杂问题一般是先分类再分步．【真题链接】

1．(2016年新课标Ⅱ)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(

)A．24 B．18C．12 D．9【答案】B

【解析】由题意可知E→F