2025年中考数学三轮复习之分式方程

第20页（共20页）2025年中考数学三轮复习之分式方程一．选择题（共10小题）1．（2025•浙江一模）马拉松赛是全民健身的热门项目，全程的总赛程约为42公里，在同一场比赛中选手甲的平均速度是选手乙的1.5倍，最终甲冲刺终点的时间比乙提早30分钟，若乙的平均速度为xkm/h，则可列方程为（）A．421.5x-42xC．42x-421.52．（2025•闵行区模拟）在下列方程中，分式方程是（）A．x=14 B．14x=1 C3．（2025•沈丘县校级一模）《百骏图》是中国十大传世名画之一，是意大利籍清代宫廷画家郎世宁的作品，其图共绘有100匹骏马，姿势各异，或立、或奔、或跪、或卧，可谓曲尽骏马之态．如图，已知局部临摹画面装裱前是一个长为2.8m，宽为0.9m的矩形，装裱后的长与宽的比是7：3，且四周边衬的宽度相等．设边衬的宽度为xm，根据题意可列方程（）A．0.9+2x2.8+2x=7C．2.8+2x0.9+2x=4．（2025•茄子河区一模）若关于x的分式方程3a+1xA．-13 B．﹣1 C．-13或0 D5．（2025•苏州模拟）“孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的1.5倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时x里，则可列方程为（）A．30x=301.5x+C．30x=301.5x6．（2025•金乡县一模）方程3xA．x＝3 B．x＝﹣1 C．x＝3或﹣1 D．无解7．（2025•乌鲁木齐模拟）某医疗器械公司计划生产一批医用防护服42万件，由于一线医护人员急需，于是决定增加生产线，实际每天生产量是原计划每天生产量的2.5倍，结果比原计划提前了8天完成，则原计划每天生产多少件？设原计划每天生产x件，则可列方程为（）A．42x-B．420000x-C．422.5xD．4200002.58．（2025•镇海区校级模拟）已知关于x的分式方程2xx-A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．29．（2025•长沙一模）《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试向6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽有x株，则符合题意的方程是（）A．6210x-1=3(xC．6210x-1=310．（2025•鼓楼区校级模拟）数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so．研究15、12、10这三个数的倒数发现：112-115=110-112．我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：x、A．5 B．10 C．15 D．20二．填空题（共5小题）11．（2025•重庆模拟）已知关于y的分式方程2-a-51-y=-2y-1的解为非负整数，12．（2025•铁西区模拟）分式方程3-xx-4-113．（2025•浑南区模拟）方程3-xx-4=1的解为14．（2025•徐州模拟）当x＝时，分式1x-215．（2025•成都模拟）分式方程12x-5+三．解答题（共5小题）16．（2025•新乡模拟）（1）计算：(-（2）阅读下面小红解分式方程的过程，完成下面的任务：31-解：两边同乘以1﹣y，得3＝﹣y﹣2，∴y＝﹣5．任务一：小红的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．任务二：根据你平时的学习经验，就解分式方程时需要注意的事项给同学们提一条建议．17．（2025•永寿县校级一模）解方程：218．（2025•官渡区校级模拟）某工程队接到抢修一段长3600米道路的任务，按原计划完成总任务的13后，为了让道路尽快投入使用，工程队将工作效率提高了50%，一共用了1019．（2025•和平区模拟）【问题背景】4月23日是“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进书架用于摆放书籍．【素材呈现】素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架的单价高10%；素材二：用11000元购买A种书架的数量比用8000元购买B种书架的数量多2个．【问题解决】问题：分别求出A，B两种书架的单价．20．（2025•秦淮区校级模拟）已知方程x-（1）将该方程去分母，得，此步骤的依据是．（2）接着（1）中的步骤，继续解该方程．

2025年中考数学三轮复习之分式方程参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案DCCCADBDBD一．选择题（共10小题）1．（2025•浙江一模）马拉松赛是全民健身的热门项目，全程的总赛程约为42公里，在同一场比赛中选手甲的平均速度是选手乙的1.5倍，最终甲冲刺终点的时间比乙提早30分钟，若乙的平均速度为xkm/h，则可列方程为（）A．421.5x-42xC．42x-421.5【考点】由实际问题抽象出分式方程．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】D【分析】根据时间＝路程÷时间和题意，可以列出相应的方程．【解答】解：由题意可得，42x即42x故选：D．【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，2．（2025•闵行区模拟）在下列方程中，分式方程是（）A．x=14 B．14x=1 C【考点】分式方程的定义．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】C【分析】根据分式方程的定义判断即可．【解答】解：A、是整式方程，故此选项不符合题意；B、是整式方程，故此选项不符合题意；C、是分式方程，故此选项符合题意；D、不是分式方程，故此选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了分式方程，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．3．（2025•沈丘县校级一模）《百骏图》是中国十大传世名画之一，是意大利籍清代宫廷画家郎世宁的作品，其图共绘有100匹骏马，姿势各异，或立、或奔、或跪、或卧，可谓曲尽骏马之态．如图，已知局部临摹画面装裱前是一个长为2.8m，宽为0.9m的矩形，装裱后的长与宽的比是7：3，且四周边衬的宽度相等．设边衬的宽度为xm，根据题意可列方程（）A．0.9+2x2.8+2x=7C．2.8+2x0.9+2x=【考点】由实际问题抽象出分式方程．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】C【分析】根据装裱后的长与宽的比是7：3，且四周边衬的宽度相等，列出方程即可．【解答】解：根据装裱后的长与宽的比是7：3可知：2.8+2x故选：C．【点评】本题考查分式方程的应用．根据题意，正确的列出方程是解题的关键．4．（2025•茄子河区一模）若关于x的分式方程3a+1xA．-13 B．﹣1 C．-13或0 D【考点】分式方程的解．【专题】运算能力．【答案】C【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．【解答】解：方程去分母得，3a+1＝ax+a，∴ax＝2a+1．如果原分式方程无解，那么分两种情况：①当a＝0时，方程ax＝2a+1无解，所以分式方程3a②a≠0，解方程ax＝2a+1，得x=当分母x+1＝0即x＝﹣1时原分式方程无解．由2a+1a经检验，符合题意，故当a＝0或a=-1故选：C．【点评】本题考查了分式方程的解，掌握分式方程无解的条件是解题的关键．5．（2025•苏州模拟）“孔子周游列国”是流传很广的故事．有一次他和学生到离他们住的驿站30里的书院参观，学生步行出发1小时后，孔子坐牛车出发，牛车的速度是步行的1.5倍，孔子和学生们同时到达书院，设学生步行的速度为每小时x里，则可列方程为（）A．30x=301.5x+C．30x=301.5x【考点】由实际问题抽象出分式方程．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】A【分析】根据题意可知：步行的时间＝牛车用的时间+1，然后即可列出相应的方程．【解答】解：∵学生步行的速度为每小时x里，牛车的速度是步行的1.5倍，∴牛车的速度是1.5x里，由题意可得：30x=故选：A．【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．6．（2025•金乡县一模）方程3xA．x＝3 B．x＝﹣1 C．x＝3或﹣1 D．无解【考点】解分式方程；分式方程的解．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】D【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．【解答】解：原方程去分母得：x＝3，检验：当x＝3时，x（x﹣3）＝0，则x＝3是分式方程的增根，故原方程无解，故选：D．【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．7．（2025•乌鲁木齐模拟）某医疗器械公司计划生产一批医用防护服42万件，由于一线医护人员急需，于是决定增加生产线，实际每天生产量是原计划每天生产量的2.5倍，结果比原计划提前了8天完成，则原计划每天生产多少件？设原计划每天生产x件，则可列方程为（）A．42x-B．420000x-C．422.5xD．4200002.5【考点】由实际问题抽象出分式方程．【专题】分式方程及应用；运算能力；应用意识．【答案】B【分析】设原计划每天生产x件，则实际每天生产2.5x件，根据实际每天生产量是原计划每天生产量的2.5倍，结果比原计划提前了8天完成，列出分式方程即可．【解答】解：设原计划每天生产x件，则实际每天生产2.5x件，由题意得：420000x-故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．8．（2025•镇海区校级模拟）已知关于x的分式方程2xx-A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．2【考点】分式方程的增根．【专题】分式；运算能力．【答案】D【分析】先求解方程的增根，再将分式方程化为整式方程，将方程的增根代入整式方程计算可求解．【解答】解：∵关于x的分式方程2x∴x﹣1＝0，解得：x＝1，∴2x方程的两边同乘（x﹣1）得：2x＝m+5（x﹣1），解得：m＝﹣3x+5，∴m＝﹣3×1+5＝2，故选：D．【点评】本题主要考查分式方程的增根，将分式方程的增根代入整式方程计算是解题的关键．9．（2025•长沙一模）《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试向6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽有x株，则符合题意的方程是（）A．6210x-1=3(C．6210x-1=3【考点】由实际问题抽象出分式方程；数学常识．【专题】分式方程及应用；应用意识．【答案】B【分析】由“少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”，可得出一株椽的价格为3（x﹣1）文，结合单价＝总价÷数量，即可得出关于x的分式方程，此题得解．【解答】解：∵这批椽有x株，少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，∴一株椽的价格为3（x﹣1）文，根据题意得：6210x=3（x﹣故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．10．（2025•鼓楼区校级模拟）数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15：12：10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so．研究15、12、10这三个数的倒数发现：112-115=110-112．我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：x、A．5 B．10 C．15 D．20【考点】分式方程的应用．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】D【分析】由调和数的定义列分式方程求解即可．【解答】解：根据调和数的定义可列分式方程得：18整理得，2x＝40，解得x＝20，经检验：x＝20是分式方程的解．所以x的值为20，故选：D．【点评】本题主要考查了分式方程的应用，根据调和数的定义列出分式方程是解答本题的关键．二．填空题（共5小题）11．（2025•重庆模拟）已知关于y的分式方程2-a-51-y=-2y-1的解为非负整数，【考点】分式方程的解；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】6．【分析】先解不等式方程组的解，然后确定a的取值范围，再解的分式方程的解，结合分式方程的解和a的范围，从而确定a的可能值，最后求和即可．【解答】解：2y解不等式①可得：y＞解不等式②可得：y≤5，则不等式方程组的解为：a+3∵关于y不等式组2y∴2≤a+32＜5，解得：2-∴2（1﹣y）﹣（a﹣5）＝2，∴﹣2y＝a﹣5，∴y=∵y＝1为分式方程的增根，∴1≠5-a2，解得：∵y的分式方程2-∴y=5-a2≥0∴1≤a≤5且a≠3，∴当a＝1时，y＝2；当a＝2时，y=当a＝4时，y=当a＝5时，y＝0；则和为5+1＝6．故答案为：6．【点评】本题主要考查解分式方程、解一元一次不等式组等知识点，掌握分式方程和一元一次不等式组的解法成为解题的关键．12．（2025•铁西区模拟）分式方程3-xx-4-1x-【考点】解分式方程．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】x＝3．【分析】方程两边同乘x﹣4将分式方程化为整式方程，求解即可．【解答】解：方程两边同乘x﹣4，得3﹣x﹣1＝x﹣4，解得x＝3，检验：当x＝3时，x﹣4≠0，所以原分式方程的解是x＝3．故答案为：x＝3．【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．13．（2025•浑南区模拟）方程3-xx-4=1的解为【考点】解分式方程．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】x=7【分析】将分式方程去分母化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，再进行检验即可．【解答】解：去分母得：3﹣x＝x﹣4，移项、合并同类项得：﹣2x＝﹣7，解得：x=7检验：当x=72时，x﹣4≠∴原分式方程的解为x=7故答案为：x=7【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解答本题的关键．14．（2025•徐州模拟）当x＝0时，分式1x-2【考点】解分式方程．【专题】计算题；分式方程及应用；运算能力．【答案】0．【分析】先根据题意列出方程，求解方程得结论．【解答】解：∵分式1x-2∴1x∴x+2＝2﹣x．∴x＝0．经检验，x＝0是分式方程的解．故答案为：0．【点评】本题考查了分式方程，掌握分式方程的解法是解决本题的关键．15．（2025•成都模拟）分式方程12x-5+1【考点】解分式方程．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】x=5【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．【解答】解：原方程去分母得：2x+2x﹣5＝0，解得：x=5检验：当x=54时，2x（2x﹣5）≠故原方程的解为x=5故答案为：x=5【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．三．解答题（共5小题）16．（2025•新乡模拟）（1）计算：(-（2）阅读下面小红解分式方程的过程，完成下面的任务：31-解：两边同乘以1﹣y，得3＝﹣y﹣2，∴y＝﹣5．任务一：小红的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程．任务二：根据你平时的学习经验，就解分式方程时需要注意的事项给同学们提一条建议．【考点】解分式方程；实数的运算；零指数幂．【专题】实数；分式方程及应用；运算能力．【答案】（1）﹣2；（2）见解答．【分析】（1）直接根据有理数的乘方，有理数的开方，零指数幂，绝对值的意义计算即可；（2）任务一：按照解一元一次不等式的步骤进行计算即可解答；任务二：去分母时不等号两边每一项都乘以所有分母的最小公倍数，不漏乘；答案不唯一．【解答】解：（1）(＝﹣1﹣2+2﹣1＝﹣2；（2）任务一：小红的解答过程有错误，正确的解答过程如下．解：两边同乘以（1﹣y），得3＝﹣y﹣2（1﹣y），∴y＝5．检验：当y＝5时，1﹣y≠0，∴y＝6是原分式方程的解；任务二：1．去分母时，每一项都要乘以最简公分母，不能漏乘．2．必须检验，避免增根．（答案不唯一）．【点评】本题考查一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤．17．（2025•永寿县校级一模）解方程：2【考点】解分式方程．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】x＝3．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2x﹣5+x﹣2＝x﹣1，解得：x＝3，检验：当x＝3时，x﹣2≠0，∴x＝3是原分式方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．18．（2025•官渡区校级模拟）某工程队接到抢修一段长3600米道路的任务，按原计划完成总任务的13后，为了让道路尽快投入使用，工程队将工作效率提高了50%，一共用了10【考点】分式方程的应用．【专题】分式方程及应用；应用意识．【答案】280米．【分析】设原计划每小时抢修道路x米，则提高工作效率后每小时抢修道路（1+50%）x米，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．【解答】解：设原计划每小时抢修道路x米，则提高工作效率后每小时抢修道路（1+50%）x米，根据题意得：3600×13解得：x＝280，经检验，x＝280是所列方程的解，且符合题意．答：原计划每小时抢修道路280米．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．19．（2025•和平区模拟）【问题背景】4月23日是“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进书架用于摆放书籍．【素材呈现】素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架的单价高10%；素材二：用11000元购买A种书架的数量比用8000元购买B种书架的数量多2个．【问题解决】问题：分别求出A，B两种书架的单价．【考点】分式方程的应用．【专题】分式方程及应用；应用意识．【答案】A种书架的单价为1100元，B种书架的单价为1000元．【分析】设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为（1+10%）x元，利用数量＝总价÷单价，结合用11000元购买A种书架的数量比用8000元购买B种书架的数量多2个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即B种书架的单价），再将其代入（1+10%）x中，即可求出A种书架的单价．【解答】解：设B种书架的单价为x元，则A种书架的单价为（1+10%）x元，根据题意得：11000(1+10%)x解得：x＝1000，经检验，x＝1000是所列方程的解，且符合题意，∴（1+10%）x＝（1+10%）×1000＝1100（元）．答：A种书架的单价为1100元，B种书架的单价为1000元．【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．20．（2025•秦淮区校级模拟）已知方程x-（1）将该方程去分母，得（x﹣1）2﹣（x+1）（x﹣1）＝3，此步骤的依据是等式的性质．（2）接着（1）中的步骤，继续解该方程．【考点】解分式方程．【专题】分式方程及应用；运算能力．【答案】x=【分析】（1）根据解分式方程的方法，先去分母，依据是等式的性质，即可解答；（2）在（1）的基础上，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求出x的值，然后再进行检验即可．【解答】解：（1）x-方程两边同时乘（x+1）（x﹣1），得（x﹣1）2﹣（x+1）（x﹣1）＝3，此步骤的依据是等式的性质．故答案为：（x﹣1）2﹣（x+1）（x﹣1）＝3，等式的性质；（2）在（1）的基础上，去括号，得x2﹣2x+1﹣x2+1＝3，移项、合并同类项，得﹣2x＝1，将系数化为1，得x=检验：把x=-12代入（x+1）（x﹣1∴分式方程的解为x=【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．

考点卡片1．数学常识数学常识此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等．平时要注意多观察，留意身边的小知识．2．实数的运算（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．【规律方法】实数运算的“三个关键”1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．3．零指数幂零指数幂：a0＝1（a≠0）由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）注意：00≠1．4．分式方程的定义分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数．5．分式方程的解求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．6．解分式方程（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解．②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程时，一定要检验．7．分式方程的增根（1）增根的定义：在分式