重难点16 几何压轴突破四 几何最值问题之胡不归模型、阿氏圆模型与梯子滑行模型（3种类型7种题型详解+专题训练）（原卷版）

第四章三角形重难点16几何压轴突破四几何最值问题之胡不归模型、阿氏圆模型与梯子滑行模型（3种类型7种题型详解+专题训练）【题型汇总】类型一胡不归模型【模型介绍】从前有一位姓胡的小伙外出学习，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即决定回家.小伙子略懂数学常识，考虑到“两点之间线段最短”的知识，虽然他求学的地方与家之间布满了砂石，但他还是义无反顾的踏上了归途.当他赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”之后的岁月，小伙子不断的反思：如果我当时先沿着驿道走一段距离，再通过砂石区域回家，是否能见到父亲最后一面呢？如果可以，他应该沿着驿道走多远再通过砂石区域回家呢？虽然走的路多了,但总用时变少了,如果真有这种情况,那么在驿道和砂砾地带之间的拐点就尤为重要了，请问如何确定这个点呢?这就是流传千百年的“胡不归问题.【模型详解】条件：已知A，B为定点，其中点A在定直线m上，点P在直线m上一动点，求k•PA+PB（k＜1）的最小值.图示：解题步骤：作射线AM使sin∠PAM=k（k＜1），且点M与点B位于直线m的两侧.2）过点P作PC⊥AM于点C，则PC=k•PA，此时k•PA+PB=PC+BP.3）过点B作BD⊥AM于点D，该垂线段长即为所求最小值，计算垂线段的解题大招：即当B，P，C三点共线时，k•PA+PB取最小值，最小值为BD的长度.模型总结：在求形如“k•PA+PB”的式子的最值问题中，关键是构造与k•PA相等的线段，将“k•PA+PB”型问题转化为“PC+PB”型.而这里的PA必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到k•PA的等线段注意：若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可.【模型拓展】对形如a•PA+b•PB(a>b)的式子，可以先将式子变形为，再求出的最小值，此时只需要构造,作垂线即可求出最小值.题型01已有相关角直接作垂线1．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，其半径为4．过点B作BE⊥AC于点E，点P为线段BE上一动点（点P不与B，E重合），则CP+12BP

2．（21-22八年级下·浙江宁波·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=33x-3分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+3．（2020·陕西·模拟预测）如图，四边形ABCD是菱形，AB＝8，且∠ABC＝60°，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，则AM+12BM的最小值为4．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=4，按下列步骤作图：①在AC和AB上分别截取AD、AE，使AD=AE．②分别以点D和点E为圆心，以大于12DE的长为半径作弧，两弧在∠BAC内交于点M．③作射线AM交BC于点F．若点P是线段AF上的一个动点，连接CP，则CP+5．（22-23九年级上·广东茂名·期末）如图，AB=AC，A0，15，C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A-D-C，在AD上的速度为4个单位/秒，在CD上的速度为1个单位/秒，则整个运动时间最少时，D6．（2023·河北保定·一模）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB=OB=3，点M在线段AC上，且AM=2．点P为线段

（1）∠OBC=°；（2）MP+12PB的最小值为7．（2022·广西梧州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-43x-4分别与x，y轴交于点A，B(1)求此抛物线的解析式；(2)若点C的坐标是0,6，将△ACO绕着点C逆时针旋转90°得到△ECF，点A的对应点是点E．①写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；②若点P是y轴上的任一点，求35BP+EP取最小值时，点8．（2024·山东淄博·一模）如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BCD=60°，连接BD，点E，F分别是边AB，BC上的动点，且AE=BF，连接DE，DF，EF．(1)如图①，当点E是边AB的中点时，求∠EDF的度数；(2)如图②，当点E是边AB上任意一点时，∠EDF的度数是否发生改变？若不改变，请证明：若发生改变，请说明理由；(3)若点P是线段BD上的一个动点，连接PF，求PF+39．（22-23九年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，二次函数y=ax2+2ax-3a与x轴交于点A，B，对称轴为直线l，顶点C到x轴的距离为23．点P为直线l上一动点，另一点从C出发，先以每秒2个单位长度的速度沿CP运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿PA运动到点题型02构造相关角再作垂线10．（22-23九年级上·四川乐山·期末）如图，在△ABC中，∠BAC=90°,∠B=60°,AB=4，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值是（

）A．6 B．8 C．10 D．1211．（2024·四川德阳·二模）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(1，0)，C(-3，0)两点，与y轴交于点B(0A．2 B．2 C．22 D．412．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为．13．（21-22九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，半径为5的⊙O经过点C，CE是圆O的切线，且圆的直径AB在线段AE上，设点D是线段AC上任意一点(不含端点)，则OD+12CD14．（2020九年级·新疆·学业考试）如图，在△ABC中，∠A=90°,∠B=60°,AB=4，若D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为．15．（2021九年级·全国·专题练习）如图，矩形ABCD中AB＝3，BC=3，E为线段AB上一动点，连接CE，则12AE＋CE的最小值为16．（2023·福建泉州·模拟预测）如图，已知抛物线y=k8x+2x-4（k为常数，且k>0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线

(1)若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；(2)在（1）条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止．当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少?17．（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-2ax-3a与x轴交于A，B两点，若AB=m，函数y=ax2(1)求该抛物线的解析式；(2)如果将该抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得到的图象与剩余的图象组成新图形G．当函数y1=kx-1+2k的图象与图形G的公共点的个数大于2时，求(3)在（2）的条件下，当k取最大值时，函数y1=kx-1+2k的图象与图形G的对称轴交于点P，若过P作平行于x轴的直线交图形G于点Q，过点Q作y轴的平行线交函数y1=kx+1-2k的图象于点R，D为线段RQ上的一点，动点C从点R出发，沿RD→DP运动到点P停止，已知点C在RD上运动的速度为5单位长度每秒，在DP上运动的速度为1单位长度每秒．求当点18．（2024·四川成都·模拟预测）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．【尝试初探】（1）如图①，在四边形ABCD中，若∠ABC=∠ADC=90°，AB=AD=5，∠BAD=120°，求AC的长；【深入探究】（2）如图②，在四边形ABCD中，若∠ABC=∠ADC=90°，∠BCD=45°，AC=82，求BD【拓展延伸】（3）如图③，在四边形ABCD中，若∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC=60°，AD=AB=23，延长DA,CB相交于点E，DE⊥CE，P是线段AC上一动点，连接PD，求2DP+CP19．（2024·四川广元·二模）如图，在等腰三角形ABC中，CA=CB，C3,0，点A2,m、Bn,1(1)求反比例函数的解析式，并证明△ABC为直角三角形；(2)在x轴上求作一点P，使PB+12PC的值最小，写出点类型二阿氏圆模型使用场景已知两个定点A，B，动点P在定圆上，求PA+kPB的最小值类型点A，B均在圆外，r=kOB(k<1)点A，B均在圆内，r=kOB(k>1)图示解题策略第一步:在OB上取点D，使得OD=kr；第二步:由母子相似模型可得△POD∽△BOP，则PD=kPB,此时PA+kPB=PA+PD;第三步:连接AD，则AD的长即为PA+kPB的最小值.第一步:在OB的延长线上取点D，使得OD=kr;第二步:由母子相似模型可得△POD∽△BOP，则PD=kPB.此时PA+kPB=PA+PD;第三步:连接AD，则AD的长即为PA+kPB的最小值大招结论AD的长即为PA+kPB的最小值【模型总结】对于阿氏圆而言：当系数k＜1的时候，一般情况下，考虑向内构造.当系数k＞1的时候，一般情况下，考虑向外构造.【注意事项】针对求PA+kPB的最小值问题时，当轨迹为直线时，运用“胡不归模型”求解；当轨迹为圆形时，运用“阿氏圆模型”求解.题型01两点在圆外：向内取点（系数小于1）20．（2024·山东泰安·二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=22，AC=9，以C为圆心，3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则1A．1 B．2 C．3 D．421．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，矩形ABCD中AB=8，AD=6，点E是矩形ABCD内部一个动点，且EB=4，连接CE，则DE+三分之二CE的最小值为（

）A．8 B．263 C．233 D22．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=6，E为AD边上一动点，将△ABE沿BE翻折到△FBE的位置，点A与点F重合，连接DF，CF，则DF+1A．92 B．132 C．4 D23．（2020·广西·中考真题）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的EF上任意一点，连接BP，CP，则12BP+CP的最小值是24．（2022九年级上·浙江·专题练习）如图所示的平面直角坐标系中，A(0,4)，B(4,0)，P是第一象限内一动点，OP=2，连接AP、BP，则BP+12AP的最小值是25．（2021九年级·全国·专题练习）如图1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求：①AP+1②2AP+BP，③13④AP+3BP的最小值．26．（2023·山东烟台·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,AB=4．抛物线的对称轴x=3与经过点A的直线y=kx-1交于点D，与x

(1)求直线AD及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为⊙B上一个动点，请求出PC+127．（2024·浙江·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=6,BC=8,，D，E为BC，AC上的动点，且DE=4，P(1)若DE∥AB，求(2)在线段DE的运动过程中，CD的长由2到23，求这一变化过程中，点P(3)连结PA，PB，求28．（2021九年级·全国·专题练习）如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝2，连接AF，BD（1）求证：△BDC≌△AFC（2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD＋22AD（3）直接写出正方形CDEF旋转过程中，BD＋22AD29．（2024·广东广州·三模）已知，如图1，PAB为⊙O的割线，直线PC与⊙O有公共点C，且PC

(1)求证：①∠PCA=∠PBC；②直线PC是⊙O的切线；(2)如图2，作弦CD，使CD⊥AB，连接AD、BC，，若AD=2，BC=6，求⊙O的半径；(3)如图3，若⊙O的半径为2，PO=10，MO=2，∠POM=90°，⊙O上是否存在一点Q，使得PQ+2题型02两点在圆内：向外取点（系数大于1）30．（2020·江苏常州·一模）如图，在⊙O中，点A、点B在⊙O上，∠AOB=90°，OA=6，点C在OA上，且OC=2AC，点D是OB的中点，点M是劣弧AB上的动点，则CM+2DM的最小值为．31．（20-21九年级上·江苏宿迁·期末）问题提出：如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C的半径为2，(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接CP，在CB上取一点D，使CD＝1，则CDCP=CPCB=12．又∠PCD＝∠BCP，所以△PCD∽△BCP(2)自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求13(3)拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝32．（2020·江苏常州·一模）如图，在⊙O中，点A、点B在⊙O上，∠AOB=90°，OA=6，点C在OA上，且OC=2AC，点D是OB的中点，点M是劣弧AB上的动点，则CM+2DM的最小值为．33．（2024·浙江·模拟预测）已知扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，点P是弧CD34．（2022·广西·一模）图所示，在半径为6的扇形ABC中，∠BAC＝60°，点D，E分别在半径AB，AC上，且BD＝CE＝2，点F是弧BC上的动点，连接DF，EF，则DF＋32EF的最小值为题型03一内一外提系数35．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=2BC=6，BD=1，P在以B为圆心3为半径的圆上，则AP+6PD的最小值为．题型04隐圆+阿氏圆36．（2023·陕西咸阳·三模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是OD、OC上的两个动点，且EF=4，P是EF的中点，连接OP、PC、

37．（21-22九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在边长为6的正方形ABCD中，M为AB上一点，且BM=2，N为边BC上一动点．连接MN，将△BMN沿MN翻折得到△PMN，点P与点B对应，连接PA，PC，则PA+2PC的最小值为

38．如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE=4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PA+1439．（2021·广西南宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)、B(0，2)、C(4，0)、D(3，2)，P是△AOB外部的第一象限内一动点，且∠BPA＝135°，则2PD+PC的最小值是．40．（2023·江苏宿迁·三模）如图，在平面直角坐标系中，A2,0、B0,2、C5,2、D4,4，点P在第一象限，且∠APB=135°，则

类型三梯子滑行模型模型的概述：如下图，一根长度一定的梯子斜靠在竖直墙面上，当梯子底端滑动时，探究梯子上某点（如中点）或梯子构成图形上的点的轨迹模型（图2），就是所谓的梯子模型。图1图2【考查方向】已知一条线段的两个端点在坐标轴上滑动，求线段最值问题。模型一：如图所示，线段AC的两个端点在坐标轴上滑动，∠ACB=∠AOC=90°，AC的中点为P，连接OP、BP、OB，则当O、P、B三点共线时，此时线段OB最大值。即已知Rt∆ACB中AC、BC的长，就可求出梯子模型中OB的最值。模型二：如图所示，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点A在边OM上运动时，点B随之在ON上运动，且运动的过程中矩形ABCD形状保持不变，AB的中点为P，连接OP、PD、OD，则当O、P、D三点共线时，此时线段