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文档简介

设有线性规划其中Am×n且r(A)=m,X≥0应理解为X大于等于零向量，即xj≥0,j=1,2…,n。4/8/2025不妨假设A＝（P1，P2，…，Pn）中前m个列向量构成一个可行基，记为B=(P1，P2，…，Pm)。矩阵A中后n－m列构成的矩阵记为N＝（Pm+1,…Pn）,则A可以写成分块矩阵A=（B，N）。对于基B，基变量为xB=（x1,x2，…，xm

）T,非基变量为xN=(xm+1,xm+2,…xn)T.则X可表示成同理将C写成分块矩阵C=（CB，CN），CB=(c1,c2,…,cn),CN=(Cm+1Cm+2，…，cn)

则AX=b可写成4/8/2025因为r（B）=m（或|B|≠0）所以B—1存在，因此可有令非基变量XN=0，XB=B—1b，由B是可行基的假设，则得到基本可行解X=(B－1b，0)T将目标函数写成4/8/2025得到下列五个计算公式：(令XN=0)4/8/2025上述公式可用下面较简单的矩阵表格运算得到，设初始矩阵单纯形表为

XBXNbXBBNb

CBCN0将B化为I（I为m阶单位矩阵）,CB化为零,即求基本可行解和检验数.用B－1左乘表中第二行,得到下表

XBXNbXBIB-1NB-1b

CBCN0

4/8/2025再将第二行左乘－CB后加到第三行,得到

XBXNbXBIB－1NB－1bλ0CN－CBB－1N－CBB－1bNλΝXB－Z04/8/2025五个公式的应用【例1.17】线性规划已知可行基

求(1)单纯形乘子π;(2)基可行解及目标值;(3)求λ3;(4)B1是否是最优基,为什么;(5)当可行基为时求λ1及λ3.

4/8/2025【解】(1)因为B1由A中第一列、第二列组成,故x1、x2为基变量，x3、x4、x5为非基变量,有关矩阵为CB=(c1,c2)=(1,2)CN=(c3,c4,c5)=(1,0,0)故单纯形乘子4/8/2025(2)基变量的解为故基本可行解为目标函数值为4/8/2025(3)求λ34/8/2025(4)要判断B1是不是最优基,亦是要求出所有检验数则否满足λj≤0,j=1…,5.x1,x2是基变量,故λ1=0,λ2=0,而剩下来求λ4,λ5，由λN计算公式得因λj≤0,j=1,…,5,故B1是最优基.4/8/2025(5)因B2是A中第四列与第二列组成的,x4、x2是基变量x1、x3、x

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