2025年江苏省扬州市梅苑双语学校九年级中考数学第一次模拟试卷（原卷版+解析版）

扬州市邗江区梅苑双语学校2025年中考第一次模拟九年级数学试题（满分：150分考试，时间：120分钟）一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.的倒数为（

）A. B.2025 C. D.2.在平面直角坐标系中，点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.如图是一个几何体的三视图，该几何体是（）A.球 B.棱柱 C.圆柱 D.圆锥4.下列事件中，属于必然事件的是（）A扬州市近三天会下雨B.任意画一个五边形，其外角和为C.打开电视体育频道，正在播放乒乓球比赛D.从一个班级中任选13人，至少有两人的出生月份相同5.《九章算术》中记载“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：今有牛头，羊头，共值金两；牛头，羊头，共值金两．问：牛、羊每头各值金多少？如果设每头牛值金两，每只羊值金两，那么可列方程组为（）A. B. C. D.6.象棋是中国传统棋种．如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1．“马”从图中的位置出发，按照“马走日”的规则，走一步之后的落点与“帅”的最大距离是（）A.5 B. C. D.7.如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（）A. B. C. D.8.如图，点A在双曲线上，连接AO并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，若的面积是6，则k的值为（）A.2 B.3 C.4 D.5二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9.我市一月份某天的最高气温为，最低气温为，则当天气温的极差为______．10.若在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．11.分解因式：______．12.如果方程x2-2x+=0没有实数根，那么k的最小整数是______．13.如图，点在一次函数的图象上，则不等式的解集是___________．14.已知一个水分子的直径约为米，某花粉的直径约为米，用科学记数法表示一个水分子的直径是这种花粉直径的______倍．15.参加演讲比赛前，小林和小明在班级中进行赛前训练的10次成绩如图所示，根据图中的信息，他们成绩的方差的大小关系是：_____（填“”“”或“”）．16.将一副直角三角板按如图所示的位置摆放．若，则_____°．17.如图，在中，，，点D为的中点，点E为边上一动点，将沿翻折，得到，再将沿翻折，得到．当时，的长为_____________．18.如图，在中，，于点，作，AE交线段于点，恰有，则_______．三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19.计算或化简：（1）（2）20.解不等式组，并写出其整数解．21.某同学本学期体育素质历次测试的成绩（单位：分）如表所示：测试类别平时测试期中测试期末测试第1次第2次第3次成绩/分8286878290（1）该同学本学期五次测试成绩众数为__________，中位数为__________；（2）该同学本学期体育素质平时测试的平均成绩为__________；（3）如果本学期的总评成绩是将平时测试的平均成绩、期中测试成绩、期末测试成绩按的比例计算，求该同学本学期体育素质的总评成绩．22.杭州第19届亚运会有三个重要竞赛场馆，分别为：A．大莲花奥体中心，B．黄龙体育中心，C．化蝶游泳馆，小明和小颖都是志愿者，他们被随机分配到这三个竞赛场馆中的任意一个场馆的可能性相同．（1）小明被分配到A（大莲花奥体中心）做志愿者的概率是多少？（2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小颖都被分配到B（黄龙体育中心）做志愿者的概率23.某商店第一次用3000元购进某款书包，很快卖完，第二次又用2400元购进该款书包，但这次每个书包的进价是第一次进价的1.2倍，数量比第一次少了20个，求第一次每个书包的进价是多少元？24.如图，平行四边形中，点在上，平分，过点作，交于点．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，求四边形的面积．25.如图，中，，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB长为半径作⊙O，与BC交于点D，连结AD，已知．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若BC=8，，求⊙O的半径．26.如图，在中，．（1）请在图1中用无刻度直尺和圆规作图（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）：①在上取一点，使点到的距离等于线段的长；②在上取一点，使．（2）在（1）的条件下，若，，则长为_________．27.如图1所示，在矩形中，是边上一动点，将沿翻折得．（1）如图2所示，当点在上时，求的长；（2）如图3所示，的平分线分别交，于点，．①当为中点时，求的长；②请直接写出当点从A运动到的过程中，的最大值．28.已知抛物线与轴交于两点、，与轴交于点，且为直角三角形．（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线上是否存在点，能使点满足，若存在，求出所有点的坐标，若不存在，请说明理由．（3）将绕平面内一动点旋转后所得，与该抛物线没有公共点，请直接写出m的取值范围_________．

扬州市邗江区梅苑双语学校2025年中考第一次模拟九年级数学试题（满分：150分考试，时间：120分钟）一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1.的倒数为（

）A. B.2025 C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查的是倒数的含义，根据乘积为1的两个数互为倒数可得答案．【详解】解：的倒数为是，故选：D．2.在平面直角坐标系中，点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】本题考查了绝对值的非负性，第四象限点坐标的特征．熟练掌握绝对值的非负性，第四象限点坐标的特征是解题的关键．由题意知，，则，进而判断作答即可．【详解】解：由题意知，，∴在第四象限，故选：D．3.如图是一个几何体的三视图，该几何体是（）A.球 B.棱柱 C.圆柱 D.圆锥【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，结合三视图与原几何体的关系即可解决问题【详解】解：由所给三视图可知，该几何体为圆锥，故选：D4.下列事件中，属于必然事件的是（）A.扬州市近三天会下雨B.任意画一个五边形，其外角和为C.打开电视体育频道，正在播放乒乓球比赛D.从一个班级中任选13人，至少有两人的出生月份相同【答案】D【解析】【分析】本题考查了随机事件、必然事件、不可能事件，根据随机事件、必然事件、不可能事件的特点逐项判断即可，熟练掌握随机事件、必然事件、不可能事件的特点是解此题的关键．【详解】解：A、扬州市近三天会下雨，是随机事件，故A不符合题意；B、任意画一个五边形，其外角和为，是不可能事件，故B不符合题意；C、打开电视体育频道，正在播放乒乓球比赛，是随机事件，故C不符合题意；D、从一个班级中任选13人，至少有两人的出生月份相同，是必然事件，故D符合题意；故选：D．5.《九章算术》中记载“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？”译文：今有牛头，羊头，共值金两；牛头，羊头，共值金两．问：牛、羊每头各值金多少？如果设每头牛值金两，每只羊值金两，那么可列方程组为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每头牛值金两，每只羊值金两，根据题意，列出方程组即可，根据题意，找到等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．【详解】解：设每头牛值金两，每只羊值金两，由题意可得，，故选：．6.象棋是中国的传统棋种．如图所示的象棋盘中，各个小正方形的边长均为1．“马”从图中的位置出发，按照“马走日”的规则，走一步之后的落点与“帅”的最大距离是（）A5 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题借助象棋中的“马走日”的规则考察了两点之间的距离公式，解题的关键是读懂题意．先按照“马走日”的规则，找出马走一步之后的落点，然后利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图，由图可知，当马落在店B处与“帅”的距离最大，最大距离是故选A．7.如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查几何概率的知识，求出小正方形的面积是关键．设，则圆的直径为，求出小正方形的面积，即可求出几何概率．【详解】解：如图：连接，，设，则圆的直径为，∵四边形是正方形，∴，∴小正方形的面积为：，则飞镖落在阴影区域的概率为：．故选：C．8.如图，点A在双曲线上，连接AO并延长，交双曲线于点B，点C为x轴上一点，且，连接，若的面积是6，则k的值为（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．过点A作轴，过点B作轴，根据相似三角形的判定和性质得出，确定，然后结合图形及面积求解即可．详解】解：过点A作轴，过点B作轴，如图所示：∴，∴，∵点A在双曲线上，点B在，∴∴，∴，∴，∴，∵，轴，∴，∵，∴，∴∴∴，故选：C．二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9.我市一月份某天的最高气温为，最低气温为，则当天气温的极差为______．【答案】12【解析】【分析】根据极差的定义即可求得．极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值．先用最高气温减去最低气温，再根据有理数的减法运算法则“减去一个数等于加上它的相反数”计算．【详解】∵，∴当天气温的极差为．故答案为：12．10.若在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．【答案】x≥-1【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，列不等式求解即可．【详解】由题意可知x+1≥0，∴x≥-1．故答案为：x≥-1．【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，明确被开方数为非负数是解题关键．11.分解因式：______．【答案】【解析】【分析】先提取公因数4，然后利用平方差公式继续进行因式分解．【详解】解：．故答案为：．【点睛】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．12.如果方程x2-2x+=0没有实数根，那么k的最小整数是______．【答案】3【解析】【分析】先根据一元二次方程x2-2x+=0得出a、b、c的值,再根据方程有实数根可知△＜0,求出k的取值范围即可.【详解】解:由一元二次方程x2-2x+=0可知,a=1,b=-2,c=,方程没有实数根,△=＜0,即(-2)2-4＜0,解得k＞2.故答案为:3.【点睛】本题考查的是根的判别式,根据题意得出关于k的不等式是解答此题的关键.13.如图，点在一次函数的图象上，则不等式的解集是___________．【答案】【解析】【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．观察函数图象即可求解．【详解】解：由图象可得：当时，，所以不等式的解集为，故答案为：．14.已知一个水分子的直径约为米，某花粉的直径约为米，用科学记数法表示一个水分子的直径是这种花粉直径的______倍．【答案】【解析】【分析】根据同底数幂的除法计算，本题考查了幂的运算，科学记数法，熟练掌握公式是解题的关键．【详解】根据题意，得，故答案为：．15.参加演讲比赛前，小林和小明在班级中进行赛前训练的10次成绩如图所示，根据图中的信息，他们成绩的方差的大小关系是：_____（填“”“”或“”）．【答案】【解析】【分析】本题考查了方差的意义，根据方差的意义可得，数据波动越大，则方差越大，求解即可．熟悉概念是解题的关键．【详解】解：由图可以看出，小林的成绩波动较大，，故答案为：．16.将一副直角三角板按如图所示的位置摆放．若，则_____°．【答案】105【解析】【分析】本题主要考查对平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解此题的关键．根据平行线的性质得到，根据三角形内角和定理即可得出结论．【详解】解：，，，．故答案为：．17.如图，在中，，，点D为的中点，点E为边上一动点，将沿翻折，得到，再将沿翻折，得到．当时，的长为_____________．【答案】1或【解析】【分析】分两种情况：在上方时，设，交于点F，根据折叠前后对应角相等，及平行线的性质，得出，推出，再证，用三角函数解，根据列方程，即可求解；当在下方时，设，交于点G，作于点H，依次求出和，再证，用三角函数解即可求解．【详解】解：分两种情况：当在上方且时，设，交于点F，如图，由折叠知，，，，，，，，在中，，，又，，解得：；当在下方且时，设交于点G，作于点H，如图，由折叠知，，，，，，，，，，，，在中，，综上可知，的长为1或，故答案为：1或．【点睛】本题考查折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等，注意分情况讨论是解题的关键．18.如图，在中，，于点，作，AE交线段于点，恰有，则_______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，求角的正切值，根据“”证明，得，即，证明出，设，，则，代入得，求出，即可求出．【详解】解：∵∴,∵∴∴∴，∴，即，∵∴∴设，，则∴，∴，∴，解得，（负值舍去）∴，∴．三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19.计算或化简：（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，以及分式的混和运算，掌握相关运算法则是解题关键．（1）根据代入求解即可；（2）利用分式的混和运算法则即可求解【小问1详解】解：原式；【小问2详解】解：原式20.解不等式组，并写出其整数解．【答案】﹣＜x≤4，整数解：﹣1，0，1，2，3，4．【解析】【分析】先求出不等式组中每一个不等式解集，再求出它们的公共部分，然后在确定不等式组的解集，再在解集范围内找到符合条件的整数．【详解】解：，由①得：x≤4，由②得：，∴原不等式组的解集为：﹣＜x≤4，则其整数解：﹣1，0，1，2，3，4．【点睛】本题考查一元一次不等式组的解法、一元一次不等式组的公共解、不等式组的整数解等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．21.某同学本学期体育素质历次测试的成绩（单位：分）如表所示：测试类别平时测试期中测试期末测试第1次第2次第3次成绩/分8286878290（1）该同学本学期五次测试成绩的众数为__________，中位数为__________；（2）该同学本学期体育素质平时测试的平均成绩为__________；（3）如果本学期的总评成绩是将平时测试的平均成绩、期中测试成绩、期末测试成绩按的比例计算，求该同学本学期体育素质的总评成绩．【答案】（1）82，86（2）85（3）86.6【解析】【分析】本题主要考查中位数、众数、平均数的概念，熟练掌握中位数、众数、平均数的概念是解题的关键．（1）根据众数和中位数的概念得出结论即可；（2）根据平均数的概念即可求解；（3）根据各种成绩的比例得出综合成绩即可．【小问1详解】该同学的5次成绩分别为82、86、87、82、90，该同学5次成绩的众数为82，中位数为86，故答案：82，86；【小问2详解】，故答案为：85；【小问3详解】，即该同学本学期体育素质的总评成绩为86.6．22.杭州第19届亚运会有三个重要的竞赛场馆，分别为：A．大莲花奥体中心，B．黄龙体育中心，C．化蝶游泳馆，小明和小颖都是志愿者，他们被随机分配到这三个竞赛场馆中的任意一个场馆的可能性相同．（1）小明被分配到A（大莲花奥体中心）做志愿者的概率是多少？（2）利用画树状图或列表的方法，求小明和小颖都被分配到B（黄龙体育中心）做志愿者的概率【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了简单的概率计算或树状图或列表法求概率：（1）利用概率公式即可求解；（2）根据题意先画出树状图，再利用概率公式即可求解；熟练掌握概率公式及会画树状图是解题的关键．【小问1详解】解：所有可能情况有3种，其中小明被分配到A（大莲花奥体中心）做志愿者的可能情况有1种，小明被分配到A（大莲花奥体中心）做志愿者的概率是．【小问2详解】画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中小明和小颖都被分配到B（黄龙体育中心）做志愿者的结果有1种，小明和小颖都被分配到（黄龙体育中心）做志愿者的概率是．23.某商店第一次用3000元购进某款书包，很快卖完，第二次又用2400元购进该款书包，但这次每个书包的进价是第一次进价的1.2倍，数量比第一次少了20个，求第一次每个书包的进价是多少元？【答案】第一次书包的进价是50元【解析】【分析】本题考查分式方程的应用，设第一次每个书包的进价是元，根据某商店第一次用3000元购进某款书包的数量比第二次用2400元购进该款书包多20个可列方程求解，正确列出等量关系是解题的关键【详解】解：设第一次每个书包的进价是元，．经检验得出是原方程的解，且符合题意，答：第一次书包的进价是50元．24.如图，平行四边形中，点在上，平分，过点作，交于点．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，求四边形的面积．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）首先证明四边形是平行四边形，再证，然后由菱形的判定即可得出结论；（2）过作，利用三角函数和菱形的面积公式解答即可．【小问1详解】证明：∵四边形是平行四边形，∴，∵∴四边形是平行四边形，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴平行四边形是菱形；【小问2详解】如图，过作，∴，∵四边形是平行四边形，∵，，∴，∴在中，可得：，∵四边形是菱形，∴，∴．∴四边形的面积为．【点睛】本题考查菱形的判定和性质、平行四边形的性质、解直角三角形，三角函数等知识．解题的关键是解直角三角形．25.如图，中，，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB长为半径作⊙O，与BC交于点D，连结AD，已知．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若BC=8，，求⊙O的半径．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】【分析】（1）如图（见解析），连接OD，先根据等腰三角形的性质可得，从而可得，再根据直角三角形的性质可得，从而可得，然后根据等量代理可得，从而可得，最后根据圆的切线的判定即可得证；（2）先在中，利用正切三角函数值可求出AC的长，从而利用勾股定理可求出AB的长，再在中，利用正切三角函数值可求出CD的长，从而利用勾股定理可求出AD的长，然后设⊙O的半径为，在中，利用勾股定理即可得．【详解】（1）如图，连接OD又，即是圆O的半径是⊙O的切线；（2）在中，，，即解得由勾股定理得：在中，，即解得由勾股定理得：设⊙O的半径为，则，由（1）可知，是直角三角形在中，由勾股定理得：即解得即⊙O的半径为．【点睛】本题考查了圆的切线的判定、正切三角函数值、勾股定理等知识点，较难的是题（2），熟练掌握正切的定义是解题关键．26.如图，在中，．（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）：①在上取一点，使点到的距离等于线段的长；②在上取一点，使．（2）在（1）的条件下，若，，则长为_________．【答案】（1）①见解析②见解析（2）【解析】【分析】（1）①作的角平分线，交于点，则点即为所求作，理由如下：由角平分线的性质定理可知，点到的距离等于线段的长；②作线段的垂直平分线，交于点，以为圆心、或为半径画圆，交于点，连接，交于点，则点即为所求作，理由如下：由直径所对的圆周角是直角可得，由线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，即；（2）过点作于点，则，由（1）得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由等角对等边可得，由勾股定理可得，于是可得，由（1）得是的角平分线，再结合，可得，由含度角的直角三角形的性质可得，由勾股定理可得，则，由含度角的直角三角形的性质可得，由此即可求出的长．【小问1详解】解：①如图，作的角平分线，交于点，则点即为所求作，理由如下：由角平分线的性质定理可知，点到的距离等于线段的长；②如图，作线段的垂直平分线，交于点，以为圆心、或为半径画圆，交于点，连接，交于点，则点即为所求作，理由如下：为的直径，，是线段的垂直平分线，，，；【小问2详解】解：如图，过点作于点，则，由（1）得：，，，，，，由（1）得：是的角平分线，，，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了作角平分线（尺规作图），作垂线（尺规作图），画圆（尺规作图），作线段（尺规作图），勾股定理，直径所对的圆周角是直角，角平分线的性质定理，线段垂直平分线的性质，等边对等角，等角对等边，三角形的内角和定理，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，角平分线的有关计算等知识点，熟练掌握尺规作图的基本方法和技巧及相关知识点是解题的关键．27.如图1所示，在矩形中，是边上一动点，将沿翻折得．（1）如图2所示，当点在上时，求的长；（2）如图3所示，的平分线分别交，于点，．①当为中点时，求的长；②请直接写出当点从A运动到的过程中，的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据勾股定理得，得，根据，得；（2）①根据，得，根据直角三角形斜边中线性质得，可得，得，得，即得；②当点在上时，的值最大，根据，得，得，得，为的最大值．【小问1详解】解：∵矩形，∴．∵，，，∴．∵将沿翻折得，∴，，．∴．∵，∴．∴【小问2详解】∵，，∴．∴．∵为中点时，∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴．当点在上时，，最小，的值最大