上海市崇明区2025届高三第二次模拟考试数学+答案

上海市崇明区2025届高三二模数学试卷1.不等式|x-1|<2的解为___________．2.已知复数（i为虚数单位则z=______4.求直线x=-2与直线的夹角为_________..6.函数的最小正周期是π,则=_______．7.某次数学考试后，随机选取14位学生的成绩，得到如下茎叶图，其中个数部分作为“叶”，百位数和十位数作为“茎”，若该组数据的第25百分位数是87，则x的值为_______．8.在VABC中，若其面积为，则a+b=___________．10021010.已知若函数y=f(x)有两个极值点，则实数a的取值范围是___________．11.已知双曲线的左、右焦点为F1,F2，以O为顶点，F2为焦点作抛物线交双曲线于P，212.已知集合M中的任一个元素都是整数，当存在整数a,c∈M,bM且a<b<c时，称M为“间断整数第1页/共4页A.a-b<0C.ac2>bc214.已知一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为()A.2πB.3πC.4πD.15.抛掷一枚质地均匀的硬币n次（其中n为大于等于2的整数设事件A表示“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，事件B表示“n次中至多有一次正面朝上”，若事件A与事件B是独立的，则n的值为()A.5B.4C.3D.2三个元素，则数列{bn}的周期T的取值不可能是()A.4B.5C.6D.7点E，F分别为PB，PD的中点.（1）求证：PA丄平面ABCD；（2）求点P到平面AEF的距离.18.已知f(x)=log3(x+a)+log3(6（1）是否存在实数a，使得函数y=f(x)是偶函数？若存在，求实数a的值，若不存在，请说明理由；（2）若a>-3且a≠0，解关于x的不等式f(x)≤f(6-x)．19.某区2025年3月31日至4月13日的天气预报如图所示．第2页/共4页（1）从3月31日至4月13日某天开始，连续统计三天，求这三天中至少有两天是阵雨的概率；（2）根据天气预报，该区4月14日的最低气温是9oC，温差是指一段时间内最高温度与最低温度之间的天温差的方差为sEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up5(2),1)，4月11日至14日这4天温差的方差为sEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up5(2),2)，若，求4月14日天气预报的最（3）从3月31日至4月13日中随机抽取两天，用X表示一天温差不高于9oC的天数，求X的分布列及期望．20.已知抛物线Γ:x2=4y，过点P(a,b)的直线l与抛物线Γ交于点A、B，与y轴交于点C．（1）若点A位于第一象限，且点A到抛物线Γ的焦点的距离等于3，求点A的坐标；（2）若点A坐标为(4,4)，且点B恰为线段AC的中点，求原点O到直线l的距离；（3）若抛物线Γ上存在定点D使得满足题意的点A、B都有DA丄DB，求a、b满足的关系式．21.已知函数y=f(x)，P为坐标平面上一点．若函数y=f(x)的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数y=f(x)在点Q处的切线，则称点P具有性质Mf．（1）若f(x)=x2，判断点P(1,0)是否具有性质Mf，并说明理由；若f=2x3-4x2+2x，证明：线段上的所有点均具有性质Mf；第3页/共4页（3）若f(x)=ex，证明：“点P(x,y)具有性质Mf”的充要条件是“y<ex”．第4页/共4页上海市崇明区2025届高三二模数学试卷1.不等式|x-1|<2的解为___________．【答案】(-1,3)【解析】【分析】结合绝对值不等式的解法，以及区间的定义，即可求解．故所求解集为(-1,3)．故答案为：(-1,3)．2.已知复数（i为虚数单位则z=______【解析】【分析】由复数的乘法即可求得答案.【解析】【分析】由集合运算求出ðUB，然后得到A∩ðUB.4.求直线x=-2与直线的夹角为_________.【答案】【解析】【分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角．【详解】解：:直线x=-2的斜率不存在，倾斜角为，直线的斜率为，倾斜角为，故直线x=-2与直线的夹角为，故答案为：．【答案】【解析】故答案为：6.函数的最小正周期是π,则w=_______．【答案】2【解析】【分析】由正弦型函数的周期公式可求得w的值.【详解】因为函数的最小正周期是.故答案为：2.7.某次数学考试后，随机选取14位学生的成绩，得到如下茎叶图，其中个数部分作为“叶”，百位数和十位数作为“茎”，若该组数据的第25百分位数是87，则x的值为_______．【答案】7【解析】【分析】根据题意结合百分位数的概念运算求解.【详解】14×25%=3.5，则该组数据故答案为：7.第2页/共16页【答案】【解析】【分析】先根据三角形面积公式求出ab的值，再结合余弦定理求出(a+b)2的值，进而求出a+b的值.已知△代入面积公式可得根据余弦定理为c2=a2+b2-2abcosC，可得2-ab.即9=(a+b)2-2ab-ab=(a+b)2-3ab，故答案为：.0210【答案】310##59049【解析】【分析】令x=2求解即可.故答案为：31010.已知若函数y=f(x)有两个极值点，则实数a的取值范围是___________．【解析】【分析】分析分段函数的单调性，由题意得到对应结论，然后建立不等式组，求得实数a的取值范围.【详解】∵二次函数g(x)=-x2+ax开口向下，x=-=是g(x)极大值，第3页/共16页一次函数h(x)=ax-1，当a≠0时，函数h(x)时单调函数，没有极值点，要想函数y=f(x)有两个极值点，则这两个极值点为和x=1，又∵函数g在上单调递减，∴h(x)在(1,+∞)上递增.故答案为：(0,2)11.已知双曲线的左、右焦点为F1,F2，以O为顶点，F2为焦点作抛物线交双曲线于P，且上PF1F22【解析】【分析】由抛物线得定义过点P作准线的垂线，可构造直角三角形，由此可得PF1，再在△PF1F2中由余弦定理可得PF2，接着利用双曲线的定义可求p，最后利用共焦点求得b2.【详解】由题意可知如图，过点P作准线的垂线，垂足为D，则222PF1FF2PF2+FF2-2222PF1FF2cosπ4第4页/共16页故答案为12.已知集合M中的任一个元素都是整数，当存在整数a,c∈M,b∈M且a<b<c时，称M为“间断整数【答案】968【解析】【分析】根据子集中元素的个数分类，每一类都利用组合数计数，再剔除不满足定义的子集，最后根据分类加法计数原理求值即可.【详解】由题意，满足“间断整数集”定义的子集至少有2个元素，至多有9个元素，按子集中元素的个数分类，①当元素个数为2时，不满足定义的子集有：此时满足定义的子集有CEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),1)0-9个，②当元素个数为3时，不满足定义的子集有：此时满足定义的子集有CEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(3),10)-8个，③当元素个数为4时，不满足定义的子集有：此时满足定义的子集有CEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(4),1)0-7个，④当元素个数为5时，不满足定义的子集有：此时满足定义的子集有CEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(5),1)0-6个，⑤当元素个数为6时，不满足定义的子集有：第5页/共16页此时满足定义的子集有CEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(6),1)0-5个，⑥当元素个数为7时，不满足定义的子集有：此时满足定义的子集有CEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(7),1)0-4个，⑦当元素个数为8时，不满足定义的子集有：此时满足定义的子集有CEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(8),1)0-3个，⑧当元素个数为9时，不满足定义的子集有：此时满足定义的子集有CEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(9),10)-2个，EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up6(2),1)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up6(3),1)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up6(9),1)故答案为：968.A.a-b<0C.ac2【答案】D【解析】【分析】利用不等式的基本性质可判断AD选项，利用特殊值法可判断BC选项.对于A选项，a-b>0，A错；对于D选项，由题意可知，c2+1>0，由不等式的基本性质可得对.故选：D.14.已知一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为()第6页/共16页A.2πB.3πC.4πD.【答案】A【解析】【分析】先求出母线长和底面圆的半径，再根据圆锥的侧面积公式即可得解.【详解】由题意可知，圆锥的母线长和底面圆的直径均为2，故选：A.15.抛掷一枚质地均匀的硬币n次（其中n为大于等于2的整数设事件A表示“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，事件B表示“n次中至多有一次正面朝上”，若事件A与事件B是独立的，则n的值为()A.5B.4C.3D.2【答案】C【解析】【分析】先分别求出事件A、事件B以及事件A∩B发生的概率，再根据事件A与事件B独立的性质P(A∩B)=P(A)P(B)来求解n的值.【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币n次，所有可能的结果有2n种.事件A表示“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，其对立事件A为“n次都是正面朝上或n次都是反面朝上”，A包含的情况有2种，所以根据对立事件概率之和为1，可得事件B表示“n次中至多有一次正面朝上”，即“n次中没有正面朝上（全是反面朝上）”或“n次中有一次正面朝上”.“n次中没有正面朝上”的情况有1种；“n次中有一次正面朝上”，从n次中选1次为正面朝上，有CEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(1),n)=n种情况.所以事件B包含的情况共有n+1种，则事件A∩B表示“n次中既有正面朝上又有反面朝上且至多有一次正面朝上”，即“n次中有一次正面朝上”，有CEQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(1),n)=n种情况，所以.因为事件A与事件B是独立的，所以P(A∩B)=P(A)P(B)，即第7页/共16页2-1=2，等式不成立；3-1=4，等式成立；4-1=8，等式不成立.故选：C.三个元素，则数列{bn}的周期T的取值不可能是()A.4B.5C.6D.7【答案】D【解析】【分析】现根据等差数列的通项公式和周期数列的定义，得到，然后对选项逐一分析即可.(an+Tn取an+Tn+2π,则公差当T=4，是此时角度序列为取a1=0，则对应的余弦值为1,0,-1,0，此时X={1,0,-1}，三个元素合题意；2π4π6π8π又此时X也是三个元素，合题意；当T=6，是此时角度序列为取则对应的余弦值为此时X也是三个元素，合题意；当T=7，是此时角度序列为由于7是质数，角度间隔无法分解为更小的对称单元，余弦值的对称性不足以将7个不同角度映射为3个不同值，故选：D.第8页/共16页点E，F分别为PB，PD的中点.（1）求证：PA丄平面ABCD；（2）求点P到平面AEF的距离.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定、性质推理即得.（2）利用等体积法求出点到平面的距离.【小问1详解】由底面ABCD为正方形，得CB丄AB，又CB丄BP,AB∩BP=B,AB,BP平面ABP，所以PA丄平面ABCD.【小问2详解】由（1）得PA丄AB，点E为PB的中点，在Rt△PAB中点F为PD的中点，同理，在直角△PAB中，S△由（1）知CB丄平面ABP，则AD丄平面ABP，于是点F到平面APE的距离为设点P到平面AEF的距离为h，由VP-AEF=第9页/共16页所以点P到平面AEF的距离为.18.已知f(x)=log3(x+a)+log3(6（1）是否存在实数a，使得函数y=f(x)是偶函数？若存在，求实数a的值，若不存在，请说明理由；（2）若a>-3且a≠0，解关于x的不等式f(x)≤f(6-x)．【答案】（1）存在实数a=6，使得函数y=f(x)是偶函数（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义可求解.（2）先根据对数函数的单调性和定义域列出不等式组；再结合a>-3且a≠0，分类讨论即可求解.【小问1详解】存在实数a=6，使得函数y=f(x)是偶函数.要使函数f(x)=log3(x+a)+log3(6-x)有意义，须满足即显然-a<6，即a>-6，函数y=f(x)的定义域D=(-a,6).当a≠6时，函数定义域不关于原点对称，此时必然存在x∈D且-x∈D，此时函数y=f(x)不是偶函数.函数y=f(x)的定义域为(-6,6)，对于任意的x∈(-6,6)，都有-x∈(-6,6)，并且f(-x)=log3(-x+6)+log3(6+x)=f(x)因此函数y=f(x)是一个偶函数综上所述，存在实数a=6，使得函数y=f(x)是偶函数【小问2详解】由f(x)≤f(6-x)，得log3(x+a)+log3(6-x)≤log3(6-x+a)+log3xEQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up8(6),6)EQ\*jc3\*hps24\o\al(\s\up8(x),x)第10页/共16页综上可得：当-3<a<0时，不等式f(x)≤f(6-x)的解集为(-a,3]；当a>0时，不等式f(x)≤f(6-x).19.某区2025年3月31日至4月13日的天气预报如图所示．（1）从3月31日至4月13日某天开始，连续统计三天，求这三天中至少有两天是阵雨的概率；（2）根据天气预报，该区4月14日的最低气温是9。C，温差是指一段时间内最高温度与最低温度之间的天温差的方差为sEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up5(2),1)，4月11日至14日这4天温差的方差为sEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up5(2),2)，若，求4月14日天气预报的最（3）从3月31日至4月13日中随机抽取两天，用X表示一天温差不高于9。C的天数，求X的分布列及期望．（3）分布列见解析【解析】【分析】（1）根据古典概型概率公式，用事件A包含的样本点个数除以总样本点个数来计算概率；（2）根据方差公式列出关于x的方程，然后求解x；（3）根据随机变量的分布列，利用期望公式计算期望.【小问1详解】设“从3月31日至4月13日某天开始，连续统计三天，这三天中至少有两天是阵雨”为事件A，连续统计三天共有12个样本点，事件A共有4个样本点，所以【小问2详解】因此，【小问3详解】X可能取值为0，1，2.随机变量X的分布列为：X012P随机变量X的期望20.已知抛物线Γ:x2=4y，过点P(a,b)的直线l与抛物线Γ交于点A、B，与y轴交于点C．第12页/共16页（1）若点A位于第一象限，且点A到抛物线Γ的焦点的距离等于3，求点A的坐标；（2）若点A坐标为(4,4)，且点B恰为线段AC的中点，求原点O到直线l的距离；（3）若抛物线Γ上存在定点D使得满足题意的点A、B都有DA丄DB，求a、b满足的关系式．2,2)（3）a2=4b-16【解析】【分析】（1）设A(x,y)(x>0,y>0)，利用抛物线的定义可求出点y的值，由此可求出点A的坐标；设则根据点C在y轴上，可求出b的值，可得出点B的坐标，可求出直线AB的方程，再利用点到直线的距离公式可求得结果；（3）分析可知，直线l斜率必然存在，设其方程为y-b=k(x-a)，设点、 消去x0即可得出结果.【小问1详解】设A(x,y)(x>0,y>0)，因为点A在抛物线上，所以点A到抛物线Γ的焦点的距离等于它到抛物线Γ的准线y=-1的距离，【小问2详解】所以点B的坐标为(2,1)，则所以，直线l的方程为即直线l的方程为3x-2y-4=0，第13页/共16页所以原点O到直线l的距离为【小问3详解】设，若直线l的斜率不存在时，则直线l与抛物线Γ只有一个交点，不合乎题意，所以，直线l斜率必然存在，设其方程为y-b=k(x-a)，代入x2=4y中，得x2-4kx+4ka-4b=0，x2所以2)x0EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up6(2),0)EQ\*jc3\*hps13\o\al(\s\up5(2),0)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up5(2),0)由题意，得因此a2=4b-16.21.已知函数y=f(x)，P为坐标平面上一点．若函数y=f(x)的图像上存在与P不同的一点Q，使得直线PQ是函数y=f(x)在点Q处的切线，则称点P具有性质Mf．（1）若f(x)=x2，判断点P(1,0)是否具有性质Mf，并说明理由；若f=2x3-4x2+2x，证明：线段上的所有点均具有性质Mf；（3）若f(x)=ex，证明：“点P(x,y)具有性质Mf”的充要条件是“y<ex”．【答案】（1）点P(1,0)具有性质Mf，理由见解析（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】第14页/共16页【分析】（1）设Q(q,q2)，然后写出经过Q(q,q2)的切线方程，将P(1,0)代入求解，即可判断；f(x)=2x3-4x2+2x分类讨论，代入切线方程，得到关于q的方程，证明其有解即可；（3）设Q(q,eq)，然后写出经过Q的切线方程，然后按照充分必要性的推出关系，分别证明即可.【小问1详解】点P(1,0)具有性质Mf，理由如下：设Q(q,q2)，因为f,(x)=2x，所以曲线y=f(x)在点Q处的切线方程为：y=2qx-q2，将点P(1,0)坐标代入，得：2q-q2=0，所以q=0或2即函数y=f(x)的图像上存在与P不同的一点Q(0,0)，使得直线PQ是函数y=f(x)图像在点Q处的切线，故点P(1,0)具有性质Mf；【小问2详解】证明：f,(x)=6x2-8x+2函数y=f(x)的图像在Q处的