期中复习（压轴题50题特训）-苏科版八年级《数学》上册重难点专题提优训练（解析版）

期中复习压轴题精选50题特训

一.选择题（共14小题）

1.如图，AELA8且AE=AB,BC_LCD且BC=CD,请按照图中所标注的数据,

计算图中实线所围成的图形的面积S是（）

【答案】A

【解答】解：'：AEA.ABKAE=ABfEFA,FH,BG上FH,

；・NEAB=NEFA=/BGA=90°,

NEAF+NBAG=90°,ZABG+ZBAG=90c,

AZEAF=/ABG,

在△£心和△AG8中，

VZEM=ZAGB,ZEAF=ZABGfAE=AB.

：./^EFA^/\AGB(A4S),

：.AF=BG,AG=EF.

同理证得△BGC丝AC”。得GC=D”，CH=BG.

故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=i6

故5=2(6+4)X16-3X4-6X3=50.

2

2.如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中N1+N2等于（）

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A.150°B.180°C.210°D.225°

【答案】B

【解答】解：在△ABC与中，

rAB=ED

<ND=NB'

BC=CD

A/XABC^^EDC（SAS）,

：.ZBAC=Z\,

Zl+Z2=180°.

故选：B.

3.如图，A。是△ABC的角平分线，DFLAB,垂足为F,DE=DG,Z\AOG和

△4£O的面积分别为50和39,则尸的面积为（）

【答案】B

【解答】解：作交AC于M,作ONJ_AC于点M

•；DE=DG,

:.DM=DG,

•・・AZ）是△ABC的角平分线，DFLAB,

:・DF=DN,

在RtADEF和RtADM/V中，

[DN=DF,

〔DM二DE,

第2页共63页

:・Rt/\DEFmRt/\DMN(HL),

AADG和△AEQ的面积分别为50和39,

:・S.MDG=S.ADG~S^ADM=50-39=11,

S^DNM—S&EDF=工：MOG=—

22

4.如图，点E在正方形A4CQ的对角线AC上，且EC=2A£直角三角形FEG

的两直角边氏产、EG分别交AC、QC于点股、M若正方形ARC力的边长为

。，则重叠部分四边形EMCN的面积为（）

A."B.hrC.为之D.与之

3499

【答案】D

【解答】解：过E作EP_LBC于点P,EQLCD于点Q,

：.ZBCD=90°,

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又•：/EPM=/EQN=90°,

；・NPEQ=90°,

：.ZPEM+ZMEQ=90°,

・・•三角形在G是直角三角形，

:./NEF=/NEQMMEQ=90°,

:.NPEM=/NEQ,

•••AC是NBC。的角平分线，NEPC=NEQC=90°,

：.EP=EQ,四边形尸CQE是正方形，

在△EPM和△£QN中，

rZPEM=ZNEQ

<EP=EQ，

ZEPM=ZEQN

/.AEPM乡AEQN(ASA)

SxEQN=S4EPM，

・•・四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积，

正方形ABCD的边长为a,

・"。=缶，

•：EC=2AE,

・・・石。=2区，

3

；・EP=PC=4,

3

，正方形PCQE的面积=Z/X2V=&2,

339

・•・四边形EMCN的面积=曳落

9

故选：。.

5.如图，点4,B,。在一条直线上，△ABD,ZXBCE均为等边三角形，连接

AE和CD,AE分别交CD,BD于点M,P,CD交BE于点Q,连接PQ,BM,

下面结论：

②NOMA=60°；③△3PQ为等边三角形；④MB平分N

AMC,

其中结论正确的有•)

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D.4个

【答案】D

【解答】解：:△AB。、△BCE为等边三角形，

:.AB=DB,ZABD=ZCBE=60°,BE=BC

：.ZABE=ZDBC,NPBQ=60°,

rAB=DB

在△/WE和△O3C中，＜NABE=NDBC，

BE=BC

•・.△ABE丝△OBC(SAS),

・••①正确；

丁/XABE^/XDBC,

：.ZBAE=ZBDC,

VZBDC+ZBCD=180°-60°-60°=60°,

；・NDMA=NBAE+NBCD=NBDC+NBCD=60°,

・••②正确；

在△A8P和△O3Q中，

rZBAP=ZBDQ

AB=DB，

IZABP=ZDBQ

:•丛ABP9丛DBQ(ASA),

:・BP=BQ,

为等边三角形，

・••③正确；

9：ZDMA=60°,

AZAMC=\20°,

AZAMC+ZPBQ=\S0°,

:・P、B、Q、M四点共圆，

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•：BP=BQ,

，/BMP=NBM。，

即MB平分NAMC；

，④正确；

综，所述：正确的结论有4个；

故选：D.

6.如图，在△ABC中，AQ=PQ,PR=PS,PRLAB于R,PS_LAC于S,则三

个结论①AS=AR；②QP〃AR；③△BPR也ZXQS尸中()

A.全部正确B.仅①和②正确C.仅①正确D.仅①和③正确

【答案】B

【解答】解：■:PR=PS,PR上AB于R,PS_L4C于S,AP=AP

:.4ARP匕丛ASP(HL)

：.AS=AR,ZRAP=ZSAP

•：AQ=PQ

：.ZQPA=ZSAP

：.ZRAP=ZQPA

：.QP//AR

而在△6PR和△QSP中，只满足N6R〃=NQS尸=90°和PR=PS,找不到第

3个条件，所以无法得出△3PRgZ\QSP

故本题仅①和②正确.

故选：B.

7.如图所示，把一张长方形纸片对折，折痕为48,再以A8的中点。为顶点,

把平角NA08三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以

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0为顶点的直角三角形，那么剪出的直角三角形全部展开铺平后得到的平面

图形一定是（）

【答案】A

【解答】解：,・•平角NA08三等分,

・・・NO=6()°,

V90°-60°=30°,

・•・剪出的直角三角形沿折痕展开一次得到底角是30°的等腰三角形，

再沿另一折痕展开得到有一个角是30°的直角三角形，

最后沿折痕AB展开得到等边三角形，

即正三角形.

故选：A.

8.如图，已知：NMON=30°，点4、4、A3…在射线ON上，点3、&、By-

在射线OM上，△4552、△42&A3、…均为等边三角形，若OAi=

A.6B.12C.32D.64

【答案】C

【解答】解：..,△Ai31A2是等边三角形，

・・・48I=A28I,N3=N4=N12=60°,

：.Z2=120°,

•・・NMON=30°,

AZI=180°-120°-30°=30°,

又・.・N3=6()°,

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.・.N5=180°-60°-30°=90°,

・・・NMON=N1=30°,

：.OA\=A\B\={>

•"281=1,

•••△A2B/3、△4^4是等边三角形，

.*.Zll=Z10=60°,N13=60°,

VZ4=Z12=60°，

・・・4B〃A2&〃A3&,8IA2〃82A3,

・・・Nl=N6=/7=30°,N5=N8=90°,

.*.A2B2=2B\A2I83X3=282713,

/.A3B3=4BIA2=4,

人血=8。14=8,

455=16314=16,

以此类推：4A=32SA2=32.

9.图①是一块边长为1,周长记为P的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块

边长为1的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的

2

正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉如图正三角形纸板边长的工）后，

2

得图③,④，…，记第〃（〃23）块纸板的周长为P〃，则Pn-P〃.I的值为（）

1n-1[n1n-11n

A.(—)B.(—)C.(y)D.(y)

【答案】C

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【解答】解:Pi=l+1+1=3,

?3=1+1+1+1x3=11,

2244

PA=1+A+A+AX2+AX3=丝

22488

JP3-P2=ll-$=2=工，

2

4242

P4-P\=^---11=A=_1_,

84823

则Pn-Pn-\=；_]=(-i-)

10.如图。是长方形纸带，ZDEF=20o,将纸带沿E尸折叠成图从再沿8b

【答案】B

【解答】解:•:AD//BC,

:・/DEF=/EFB=2N,

在图〃中NGFC=1800-2ZEFG=140°,

在图c中NCFE=NGR7-/以七=120°,

故选：B.

11.附加题：下图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形

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边长为2cm时，这个六边形的周长为()cm.

A.30B.40C.50D.60

【答案】D

【解答】解：«AB=X9

・•・等边三角形的边长依次为x,x,x,2,x+2,x+2,x+2X2,x+2X2,x+3X

2,

・•・六边形周长是2x+2(x+2)+2(x+2X2)+(x+3X2)=7x+18,

*：AF=2ABt即x+6=2x,

.*.x=6cm,

，周长为7x+18=60cm.

故选：D.

12.勾股定理是几何中的一个重要定理.在我国古算书《周髀算经》中就有“若

勾三，股四，则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角

形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到

的，NB4C=90°,A8=3,AC=4,点O,E,F,G,H,/都在矩形KLM/

的边上，则矩形KLM/的面积为()

【答案】C

【解答】解：如图，延长A8交K尸于点。，延长AC交GM于点P,

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易得△C48四ABO/丝△方ZG,

：.AB=OF=3tAC=OB=FL=4,

.•.OA=OL=3+4=7,

VZCAB=ZBOF=ZL=90°,

所以四边形AOLP是正方形，

边长AO=AB+AC=3+4=7,

所以KL=3+7=10,LM=4+7=11,

因此矩形KLM/的面积为10X11=110.

故选：C.

13.如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆

孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分。的长度（罐壁的厚度和小圆孔的

大小忽略不计）范围是（）

A.12W〃W13B.12W〃W15C.5W〃W12D.5WaW13

【答案】A

【解答】解：。的最小长度显然是圆柱的高12,最大长度根据勾股定理，得：

752+122=13-

即a的取值范围是12W〃W13.

故选：A.

14.如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图

案，已知大方形面积为49,小正方形面积为4,若用x,y表示直角三角形

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的两直角边（x>y）,下列四个说法：①『+）2=49,②x-），=2,③2x），+4=

49,@x+y=9.其口说法正确的是（）

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

【答案】B

【解答】解：①大正方形的面积是49,则其边长是7,显然，利用勾股定理

可得f+）2=49,故选项①正确；

②小正方形的面积是4,则其边长是2,根据图可发现），+2=x,即l-y=2,

故选项②正确：

③根据图形可得四个三角形的面积+小正方形的面积=大正方形的面积，即4

X』xy+4=49,化简得2xy+4=49,故选项③正确；

2

'22

④x+y=49,则/y=洞，故此选项不正确.

2xy+4=49

故选：B.

二.填空题（共9小题）

15.如图在中，NAC8=9（）°,ZCAB=36Q,在直线AC或3c上取

点、M,使得为等腰三角形，符合条件的M点有」个.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：如图,

①以A为圆心，为半径画圆，交直线AC有二点Mi,M2,交有一点

%,（此时AB=AM）：

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②以8为圆心，84为半径画圆，交直线有二点%,MA,交AC有一点

林（止匕时8M=8A）.

③AB的垂直平分线交AC一点M7,交直线8c于点Ms；

・,•符合条件的点有8个.

故答案为：8.

16.如图，ADfBE在AB的同侧，AO=2,BE=2,AB=4,点。为AB的中点,

若NOCE=120°,则DE的最大值是一6.

ACB

【答案】见试题解答内容

【解答】解：如图，作点A关于直线CD的对称点M,作点B关于直线CE

的对称点N,连接DM,CM,CN,MN,

由题意AD=EB=2,AC=CB=2fDM=CM=CN=EN=2,

・・・NACO=NAOC,NBCE=NBEC,

*：ZDCE=120°,

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・・・NACQ+N8CE=60°，

*：ZDCA=ZDCMf/BCE=/ECN,

：.ZACM+ZBCN=\20a,

・・・NMCN=60°,

■:CM=CN=2,

•••△CMN是等边三角形，

:.MN=2,

VDEWDM+MN+EN,

:・DEW6,

・••当。，M,N,E共线时，OE的值最大，最大值为6,

故答案为：6.

17.如图，/R9C=9°,点4在O"上，且。4=1,按下列要求画图：

以A为圆心，1为半径向右画弧交。。于点4,得第1条线段A4；

再以4为圆心，1为半径向右画弧交0B于点A2,得第2条线段4A2；

再以4为圆心，1为半径向右画弧交0C于点小，得第3条线段A滔3；…

这样画下去，直到得第〃条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则〃

=9.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：由题意可知：AO=A\A.…，

则NAO4=NO4A,NAMA2=N4AM,…，

9：ZHOC=9°,

・・・N4AB=18°,NA2Ale=27°,NA3A2^=36°,N4A3c=45°,…，

A9°n<90°,

解得〃V10.

由于〃为整数，故，!=9.

故答案为:9.

18.如图，△ABC是功长为3的等功三角形，△5DC是等腰三角形，且NBDC

第14页共63页

=120°.以。为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M,交AC于

点M连接MM则△AMN的周长为6.

A

【答案】见试题解答内容

【解答】解：•.•△3。。是等腰三角形，且N8DC=12()°

：.ZBCD=ZDBC=3Q°

•••△ABC是边长为3的等边三角形

ZABC=NBAC=ZBCA=60°

：.ZDBA=ZDCA=90°

延长A8至F,使BF=CN,连接OF,

在RtZXB。/7和RtZ\C£W中，BF=CN,DB=DC

:ABDF"/\CDN,

:./BDF=/CDN,DF=DN

•；NMDN=60°

:.NBDM+NCDN=60°

:・/BDM+/BDF=60°,ZFDM=600=/MDN,QM为公共边

:・XDMN”丛DMF、

:.MN=MF

：.△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+8R+4N=A8+AC=6.

19.如图，ZAOB=30°,OP平分N40B,PC//OB,PDtOB,如果尸C=6,

那么P。等于3

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【答案】见试题解答内容

【解答】解：过P作PEJ_OA于点E,则2。=尸E,

,：PC//OB,NAOB=30°，

：.ZECP=ZAOB=30°

在RtZXEC尸中，PE=1PC=3

2

：.PD=PE=3.

20.如图，OP=1,过户作PP」OP,得OPi=&；再过Pi作PIP2_LOPI且P1P2

=1,得OP2=«；又过P2作尸2P3_LOP2且P2P3=1,得。尸3=2;…依此法

【答案】见试题解答内容

【解答】解：由勾股定理得：。尸4=五可=而，

VOP\=y[2\得0尸2=近；OP3=C，

依此类推可得。几=而1,

OP2012=V2013,

故答案为：V2013.

21.某校九年级学生准备毕业庆典，打算用橄榄枝花圈来装饰大厅圆柱.已知大

厅圆柱高4米，底面周长1米.由于在中学同学三年，他们打算精确地用花

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圈从上往下均匀缠绕圆柱3圈（如图），那么螺旋形花圈的长至少5米.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：将圆柱表面切开展开呈长方形，

则有螺旋线长为三个长方形并排后的长方形的对角线长

•・•圆柱高4米，底面周长1米

f=（1X3）2+42=9+16=25

所以，花圈长至少是5，〃.

22.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为

“赵爽弦图”（如图1）.图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角

形拼接而成.记图中正方形A3CD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分

别为Si,S2,S3,若Sl+S2+S3=10,则S2的值是包.

一3一

因1图2

【答案】见试题解答内容

【解答】解：将四边形M7KN的面积设为x,将其余八个全等的三角形面积一

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个设为y,

;正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S,Sz,S3,S1+S2+S3

=10,

•••得出Si=8y+.t,Si~4y+x,S3=x,

・・・Si+S2+S3=3.E+12y=10,故3x+12y=1(),

x+4y=¥，

所以S2=x+4y=曲，

3

故答案为：卫.

3

23.勾股定理是初等几何中的一个基本定理.这个定理有十分悠久的历史，两千

多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，我国古代三国时期吴国的数学家

赵爽创造的弦图，是最早证明勾股定理的方法，所谓弦图是指在正方形的每

一边上各取一个点，再连接四点构成一个正方形，它可以验证勾股定理.在

如图的弦图中，已知：正方形EFGH的顶点E、F、G、〃分别在正方形ABC。

的边DA、AB、BC、CD±.若正方形ABC。的面积=16,AE=\；则正方形

EFGH的面积=10.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：：四边形是正方形,

:・EH=FE,/FEH=9U",

VZAEF+ZAFE=^)°,ZAEF+ZDEH=9()°,

・•・/AFE=ZDEH,

•・•在△AEE和△力"E中,

(ZA=ZD

NAFE=NDEH，

IEF=HE

，/XAEF^/XDHE,

第18页共63页

：.AF=DEf

・・•正方形A8CO的面积为16,

：.AB=BC=CD=AD=4,

：.AF=DE=AD-AE=4-1=3,

在RtZXAE/中，EF=7AE2+AF2=V10>

故正方形EFGH的面积一百3又，13—10.

故答案为：10.

三.解答题(共24小题)

24.(1)如图1,在四边形ABCD中，AB=ADfZB=ZD=90°,E、尸分别

是边BC、CO上的点，且/£4产=2/84力.求证：EF=BE+FD；

2

(2)如图2,在四边形ABCQ中，AB=ADfZB+ZD=180°,E、产分别是

边8C、C。上的点，且NEA/=2NB4。，(1)中的结论是否仍然成立？

2

(3)如图3,在四边形ABCO中，AB=ADfZB+Z/4DC=180°,E、F分

别是边BC、CQ延长线上的点，且NE4尸=2/BA。，(1)中的结论是否仍

2

然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.

【答案】见试题解答内容

【解答】证明：(1)延长£8到G,使8G=。产，连接AG.

第19页共63页

VZABG=ZABC=ZD=90°,AB=AD,

：.△ABG^MADF.

：.AG=AF,Z1=Z2.

.・・N1+N3=N2+N3=NE4/T/ZMQ.

2

：.ZGAE=ZEAF.

又TA石二AE,

・•・AAEG^AAEF.

：.EG=EF.

•：EG=BE+BG.

：.EF=BE+FD

(2)(1)中的结论E/HBE+fD仍然成立.

(3)结论ER=5E+F。不成立，应当是EF=BE-FD.

证明：在BE上截取8G,使8G=QF,连接4G.

9：ZB+ZADC=1SO°,ZADF+ZADC=1SO°,

：.ZB=ZADF.

9：AB=AD,

：./\ABG^/\ADF.

：.ZBAG=ZDAF,AG=AF.

：.ZBAG+ZEAD=^DAF+ZEAD

=ZEAF=1ZBAD.

2

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：.ZGAE=ZEAF.

*：AE=AE,

：./\AEG^/\AEF.

：.EG=EF

■:EG=BE-BG

：・EF=BE-FD.

25.如图1,在△ABC中，NACB为锐角，点。为射线BC上一点，连接AD,

以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.

(1)如果A8=AC,ZBAC=90°,

①当点。在线段8C上时(与点8不重合)，如图2,线段CR80所在直

线的位置关系为线段CR3Q的数量关系为相等；

②当点。在线段AC的延长线上时，如图3.①中的结论是否仍然成立，并说

明理由；

(2)如果ABWAC,N8AC是锐角，点。在线段BC上，当N4CB满足什么

条件时，C/_LBC(点C、/不重合)，并说明理由.

【答案】见试题解答内容

【解答】证明：（1）①正方形AO石/中，AD=AF,

9：ZBAC=ZDAF=90°,

：.ZBAD=ZCAF,

又,.,AB=4C,

.•.△OABg△胡C,

:・CF=BD,N8=/ACR

•••NAC8+NAC/=90°，BPCFA.BD.

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②当点。在BC的延长线上时①的结论仍成立.

由正方形AOEb得AO=ARND4"=90度.

VZBAC=90°,

:・/DAF=/BAC,

：.ZDAB=ZFAC,

又,.,AB=AC,

.••△OABg△胡C,

:・CF=BD,ZACF=ZABD.

*：ZBAC=90°,AB=AC,

，乙WC=45°,

AZACF=45°,

/./RCF=/ACR+/ACF=^度.

B|JCF1,BD,

（2）当NAC8=45°时，。尸_L8。（如图）.

理由：过点A作AG_LAC交C8的延长线于点G,

则NG4c=90°,

VZACB=45°,ZAGC=W-ZACB,

：.ZAGC=90°-45°=45°,

AZACB=ZAGC=45°,

：.AC=AG,

VZDAG=AFAC（同角的余角相等），AD=AF,

.二△GAO9△（?",

AZACF=ZAGC=45°,

ZBCF=ZACB+ZACF=450+45°=90°,HPCF±BC.

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26.如图，已知NABC=90°,。是直线AB上的点，AD=BC.

(1)如图1,过点A作并截取A尸=80,连接DF、CF,判

断△C。方的形状并证明；

(2)如图2,E是直线上一点，且CE=5O,直线AE、CO相交于点P,

ZAPD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明

【解答】解：(1)△COR是等腰直角三角形，理由如下：

9：AF±AD,ZABC=90°,

：.ZFAD=ZDBC,

在△物Q与△DBC中，

'AD=BC

<NFAD=NDBC，

AF=BD

/.△MD^ADBC(SAS),

:,FD=DC,

•••△CQb是等腰三角形，

:・/FDA=/DCB,

♦：/BDC+NDCB=90°,

:・/BDC+/FDA=90°,

•••△CO/是等腰直角三角形；

(2)作A凡L48于-A,使A/=30,连接拉RCF,如图,

VAF1AD,ZABC=90°,

第23页共63页

：・/FAD=NDBC,

在△欣。与△OBC中，

'AD=BC

,NFAD=NDBC，

AF=BD

.,.△MD^ADBC(SAS),

:.FD=DC,

•••△CQ/是等腰三角形，

・・•△胡。丝△QBC,

:・/FDA=/DCB,

♦；/BDC+/DCB=90°,

:・NBDC+NFDA=9()°,

・・・ACDF是等腰直角二角形，

：.ZFCD=45°,

9

\AF//CEf&.AF=CEf

・・・四边形A”CE是平行四边形,

：.AE//CF,

：.ZAPD=ZFCD=45°.

27.（本题有3小题，第（1）小题为必答题，满分5分；第（2）、（3）小题

为选答题，其中，第（2）小题满分3分，第（3）小题满分6分，请从中任

选1小题作答，如两题都答，以第（2）小题评分.）

在△ABC中，NAC8=90°,4C=8C,直线经过点C,且于Z）,

BELMN于E.

（1）当直线MN绕点。旋转到图1的位置时，求证：

①△ADg^CEB；②DE=AD+BE；

（2）当直线MN绕点。旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE：

第24页共63页

(3)当直线MN绕点。旋转到图3的位置时，试问。E、A。、BE具有怎样

的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.

【答案】见试题解答内容

【解答】证明：(1)©VZADC=ZACB=ZBEC=90°,

・・.NCAO+NACO=9()°,NBCE+NCBE=90°,ZACD+ZBCE=90°

：.ZCAD=ZBCE.

9：AC=BC,

：.△AOC丝△CEB.

②,:△4。。空△CEB,

：.CE=AD,CD=BE.

：.DE=CE+CD=AD+BE.

解：⑵VZADC=ACEB=ZACB=90°,

.•・ZACD=ZCBE.

又・.・AC=8C,

・•・△ACD9XCBE.

：.CE=AD,CD=BE.

：.DE=CE-CD=AD-BE.

(3)当MN旋转到图3的位置时，A。、DE、BE所满足的等量关系是0E=

BE-AD(或AO=BE-Q£,BE=AD+DE等).

•：NADC=NCEB=NACB=90°,

，ZACD=ZCBE,

XVAC=BC,

/\ACD^/\CBE,

第25页共63页

:.AD=CE,CD=BE,

：.DE=CD-CE=BE-AD.

28.(1)如图1,正方形ABC。中，点E,尸分别在边8C,CQ上，N£4/=45’，

延长CO到点G,使。G=3E,连接ERAG.求证：EF=FG.

(2)如图2,等腰直角三角形ABC中，ZBAC=90°,A3=AC,点M,N

在边上，且NMAN=45°，若BM=1,CN=3,求MN的长.

B

图2

【答案】见试题解答内容

【解答】(1)证明：在正方形ABCO中,

NABE=NADG,AD=AB,

在△ABE和△AQG中，

'AD=AB

<ZABE=ZADG

DG=BE

:•△ABE94ADG（SAS）,

:・/BAE=/DAG,AE=AG,

：.ZEAG=90°,

在△雨E和△朋G中，

'AE=AG

'NEAF=NFAG=45°，

AF=AF

（SAS）,

:・EF=FG；

（2）解：如图，过点C作CE_LBC,垂足为点C,截取CE,使CE=3M.连

接AE、EN.

第26页共63页

8A

M

I/

c

*：AB=AC,ZBAC=90°,

：.ZB=ZACB=45°.

9：CE±BC,

：.ZACE=ZB=45°.

在△A3M和七中，

'AB=AC

<ZB=ZACE

BM=CE

.二△ABM丝△ACE(SAS).

：.AM=AE.ZBAM=ZCAE.

VZBAC=90°,/MAN=45°,

・・・NB4M+NC4N=45°.

于是，由N3AM=/C4E,得NMAN=NE4N=45°.

在和△E4N44,

MI=AE

<ZMAN=ZEAN

AN=AN

:.AMAN@MEANISAS).

:.MN=EN.

在RtZXENC中，由勾股定理，得EM=EC2+NC2.

:.MN2=BM?+NC2.

•；BM=1,CN=3,

AMA^=l24-32,

29.如图：AE1AB,AFLAC,AE=AB,AF=AC,

(1)图中EC、3厂有怎样的数量和位置关系？试证明你的结论.

(2)连接4M,求证：平分NEMF.

第27页共63页

【答案】见试题解答内容

【解答】(1)解：结论：EC=BF,ECLBF.

理由：*：AELAB,AFLAC,

：.ZEAB=ZCAF=90°,

・•・ZEAB+ZBAC=ZCAF+ZBAC,

：•/FAC=/RAF.

在△E4C和△BAb中，

'AE=AB

<NEAC=/BAF，

AC=AF

：./\EAC^/\BAF(SAS),

：.EC=BF./AEC=NABF

VZAEG+ZAGE=90°,NAGE=NBGM,

：.ZABF+ZBGM=90a,

工/EMB=90°,

：.EC±BF.

:・EC=BF,EC上BF.

(2)证明：作AP_LC石丁F,AQ-LBFTQ.

：.AP=AQ(全等三角形对应边上的高相等).

•・・AP_LCE于P,AQLB尸于Q,

・・・AM平分NEWF.

第28页共63页

F

30.如图，已知△ABC中，AB=4C=10c〃z,BC=8c〃z,点。为AB的中点.

(1)如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由8点向。点运动，同时，点。

在线段C4上由C点向A点运动.

①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过15后，丛BPD与△CQP

是否全等，请说明理由；

②若点Q的运动速度与点户的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，

能够使△BPO与△CQP全等？

(2)若点。以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B

同时出发，都逆时针沿aABC三边运动，求经过多长时间点P与点。第一次

在△ABC的哪条边上相遇？

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)①经过1s后，△3PO与△CQP全等，理由如下:

Vz=b,

：.BP=CQ=3X\=3cm,

;AB=10c〃7,点。为A8的中点，

：.BD=5cm.

又,：PC=BC-BP,BC=8cm,

APC=8-3=5的,

：.PC=BD.

第29页共63页

又,：AB=A3

在△8PO和△CQP中，

PC=BD

<ZB=ZC

BP=CQ

•••△BPZ注ZXCQP[SAS).

②•.WUQ,

；,BPWCQ,

若△BPD@ACPQ,/B=/C,

则BP=PC=4cm,CQ=BD=5cm,

二点P,点。运动的时间t里1s，

33

.CQ515/、

（c〃而）;

~3

（2）设经过x秒后点尸与点Q第一次相遇,

由题意，得至..X=3A+2X10,

4

解得乂出.

x3

・••点P共运动了幽X3=SOcm.

3

△ABC周长为：10+10+8=28。〃,

若是运动了三圈即为：28X3=84c〃z,

V84-80=4c〃zVA8的长度，

・••点P、点。在边上相遇，

・・・经过与,点P与点Q第一次在边AB上相遇.

31.【阅读理解】

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

第30页共63页

E

图1图2

如图1,△ABC中，若AB=8,AC=6,求BC边上的中线A。的取值范围.小

明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AZ)到点E,使0后=

AD,请根据小明的方法思考：

(1)由已知和作图能得到△4。。/△皮出的理由是3.

A.SSSB.SASC.AASD.HL

(2)求得4茨的取值范围是C.

A.6V4OV8B.6WAOW8C.1VAOV7D.1WAOW7

【感悟】

解题时，条件中若已现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等

三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.

【问题解决】

(3)如图2,人。是△ABC的中线，片石交AC于石，交人。于F,且AE=EF.求

证：AC=BF.

【答案】见试题解答内容

【解答】(1)解：•・•在△AOC和△EQ8中

(AD=DE

NADO/BDE，

IBD=CD

:AADC"/\EDB(SAS),

故选B；

(2)解：•・•由(1)知：△ADCBXEOB,

；.BE=AC=6,AE=2AD,

・・•在△ABE中，A8=8,由三角形三边关系定理得：8-6V2AQV8+6,

第31页共63页

：.\<AD<7,

故选C.

(3)证明：

延长A。到M,使40=。“，连接

1,AO是△ABC中线，

；・CD=BD,

・・•在△AQC和△MZ)B中

rDC=DB

<ZADC=ZMDB

DA=DM

・•・/\ADC^/\MDB,

/CAD=/M.

•；AE=EF,

：.ZCAD=ZAFE,

*.*/AFE=/BFD,

：.ZBFD=ZCAD=ZM,

:.BF=BM=AC,

周JAC=BF.

32.如图，CA=CB,CD=CE,NACB=NDCE=a,AD.BE交于点H,连CH.

(1)求证：△ACO公△BCE；

(2)求证：”C平分NAHE；

第32页共63页

（3）求NC"E的度数.（用含a的式子表示）

【答案】见试题解答内容

【解答】（1）证明：・・・/ACB=NDCE=a,

工/ACD=/BCE,

在△AC。和△8CE中，

rCA=CB

NACD:NBCE，

lcD=CE

：./\ACD^/\RCE(SAS):

(2)证明：过点C作CMJ_A。于M,CNIBE于N,

△AC。也△BCE,

:・NCAM=/CBN,

在△ACM和中，

rZCAM=ZCBN

<ZAMC=ZBNC=90°，

AC=BC

(AAS),

:・CM=CN,

・,.”。平分4”后；

(3),:△A3QABCE、

:./CAD=/CBE,

：.ZAHB=ZACB=af

：.ZAHE=\SO0-a,

：・/CHE=L/AHE=900-la.

22

33.如图，在△ABC中，A8=AC,点D,E,尸分别在A8,BC,4c边上，且

BE=CF,BD=CE.

(1)求证：AOE尸是等腰三角形；

第33页共63页

(2)当/A=50°时，求NOE尸的度数；

(3)若NA=NDEF,判断尸是否为等腰直角三角形.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1),：AB=AC,

:・/B=/C,

在△8DE和△(?£■/中，

rBE=CF

・・•.NB=NC，

BD=CE

:•△BDEgACEF(SAS),

:.DE=EF,

，△。后产是等腰三角形；

(2)・；/DEC=NB+NBDE,

即ZDEF+ZCEF=/B+NBDE,

♦：4BDE马/XCEF,

：・NCEF=NBDE,

：.ZDEF=ZB,

又•・•在△ABC中，AB=AC,ZA=50°,

：.ZB=65°,

：.ZDEF=65°；

(3)由(1)知：△OEb是等腰三角形，BPDE=EF,

由(2)知，/DEF=/B,

而N3不可能为直角，

，△。石”不可能是等腰直角三角形.

34.如图1,OA=2,0B=4,以A点为顶点、力B为腰在第三象限作等腰为△

第34页共63页

ABC,

（1）求C点的坐标;

（2）如图2,尸为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，

以P为顶点，PA为腰作等腰RtAAPD,过。作DEYx轴于E点,求。尸一

（3）如图3,己知点尸坐标为（-2,-2）,当G在y轴的负半轴上沿负方

向运动时，作Rt△尸G从始终保持NG"7=9（T,R7与y轴负半轴交于点G

（0,m）,与x轴正半轴交于点”（小0）,当G点在），轴的负半轴上沿

负方向运动时，以下两个结论：①〃?■〃为定值；②机+〃为定值，其中只有一

个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出其值.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）过C作CM_Lx轴于M点，如图1,

'：CMLOA,ACLAB,

第35页共63页

・・・NM4C+NOAB=90°,NOA8+NOBA=90°

则NMAC=N08A

在△M4C和△08A中，

rZCMA=ZAOB=90°

<ZMAC=ZOBA

AC=BA

则△MACgZXOBA(A4S)

则CM=0A=2,MA=0B=4,则点C的坐标为(-6,-2)；

(2)过。作OQ_L。尸于0点:，如图2,则。户・OE=P。，ZAPO+ZQPD=

90°

ZAPO+ZOAP=903,则NQPO=NQAP,

在△ACP和APOQ中，

，ZA0P=ZPQD=90o

,ZQPD=Z0AP

AP=PD

则△AO尸治△POQHAS)

：.OP-DE=PQ=OA=2；

(3)结论②是正确的，〃汁〃=-4,

如图3,过点尸分别作FS_Lr轴于S点，FT_Ly轴于7点，

则所二/丁二？，/FHS=/HFT=/FGT,

在△/<$'“和中，

|rZFSH=ZFTG=90"

ZFHS=ZFGT

IFS=FT

则△f'S"空(AAS)

贝ijGT=HS,

又•：G(0,m),H",0),点E坐标为(-2,-2),

OT=OS=2,0G=\m\=-m,OH=n,

：.GT=OG-OT=-m-2,HS=OH+OS=n+2t

则-2・〃z=〃+2,

第36页共63页

NC4B=90°,AB=AC,D为AC的中点,

连接BD,过点C作CFVBD交BD的延长线于点F,过点A作AEVAF于点

A.

(1)求证：/\ABE^/\ACF；

（2）过点4作于点”，求证：CF=EH.

【答案】见试题解答内容

【解答】证明：(1)・・・AE_L4RNCAB=9()°,

：.ZEAF=ZCAB=9(r

第37页共63页

AZEAF-ZEAC=ZCAB-NE4C即NBAE=NCAF

VCF1BD,

：.ZBFC=90°=/CAB,

：.ZBDA+ZABD=^°,ZDCF+ZFDC=90°,

•・•/ADB=/FDC,

：.NABD=NDCF,

在AABE和△ACF中，

rZBAE=ZCAF

<AB=AC，

ZABD=ZDCF

A/XABE^/XACF(ASA),

(2);由(1)知

：.AE=AF,

0

*：ZEAF=9O,

；・NAEF=NAFE=45°,

VA/71BF,

AZAHF=ZAHE=90c=/CFH,

：.ZEAH=\SO°-ZAHE-ZAEF=45°=NAEF,

：.AH=EH,

•・•。为AC中点，

:・AD=CD,

在△4/)”和△CD尸中，

rZAHF=ZCFH

,NADB=NFDC，

AD=CD

:•△ADgACDF(AAS),

:・AH=CF,

：.EH=CF.

36.如图(1),AB=4cm,AC1AB,BD_LAB,AC=BD=3cm.点P在线段

AB上以lcm/s的速度由点A向点B运动，同时，点。在线段B。上由点B向

点。运动.它们运动的时间为，(s)