四川省成都市高中数学 第三章 函数的应用 3.1.1 函数的零点与方程的根教学设计 新人教A版必修1

四川省成都市高中数学第三章函数的应用3.1.1函数的零点与方程的根教学设计新人教A版必修1科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）四川省成都市高中数学第三章函数的应用3.1.1函数的零点与方程的根教学设计新人教A版必修1教学内容新人教A版必修1四川省成都市高中数学第三章函数的应用3.1.1函数的零点与方程的根。本节课主要讲解函数零点的概念、求法以及与方程根的关系，并通过实例分析，使学生掌握如何利用函数零点解决实际问题。核心素养目标培养学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析等数学核心素养。通过函数零点的学习，提升学生运用数学语言描述现实世界的能力，增强逻辑推理和数学运算的准确性，培养解决实际问题的能力，同时提高学生对数学与生活联系的认知。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：

学生在进入本节课之前，已经学习了函数的基本概念、图像与性质，以及一元二次方程的解法。他们能够识别函数的类型，理解函数图像的基本特征，并能够解一些简单的一元二次方程。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：

高中学生对数学的兴趣因人而异，部分学生对函数的概念和性质表现出浓厚的兴趣，喜欢通过图形直观理解数学问题。他们的学习能力方面，有的学生具有较强的逻辑思维能力，能够快速掌握抽象概念；有的学生则更偏向于直观和形象的学习方式。学习风格上，有的学生偏好独立思考，有的则更倾向于小组合作学习。

3.学生可能遇到的困难和挑战：

在学习函数的零点与方程的根时，学生可能会遇到以下困难和挑战：一是理解函数零点的概念，二是掌握零点存在的条件，三是将零点与方程的根联系起来，四是解决实际问题时如何运用这些知识。此外，学生可能对抽象的数学概念感到困惑，缺乏直观的图像支持，或者在实际问题中难以找到合适的函数模型。教学方法与策略1.采用讲授与讨论相结合的方法，先通过讲授介绍函数零点的概念和性质，随后引导学生讨论如何应用这些知识解决实际问题。

2.设计角色扮演活动，让学生扮演数学家，探讨如何发现函数的零点，以增强学生的参与感和互动性。

3.利用多媒体教学，展示函数图像和实际问题的动画演示，帮助学生直观理解函数零点的概念和求解方法。同时，结合在线互动平台，让学生在课后进行自主练习和讨论。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

发布预习任务：在课前一周，通过在线教学平台发布PPT和视频资料，介绍函数零点的基本概念和求解方法，要求学生阅读并完成相关练习题。

设计预习问题：围绕“函数的零点与方程的根”这一主题，设计以下问题：“如何判断一个函数是否有零点？”“如何求一个函数的零点？”“函数的零点与方程的根有何联系？”

监控预习进度：通过在线平台的互动功能和学生的预习报告，监控学生的预习进度，确保每位学生都能提前接触新知识。

学生活动：

自主阅读预习资料：学生自主阅读提供的资料，尝试解答预习问题。

思考预习问题：学生针对预习问题进行独立思考，记录自己的理解和疑问。

提交预习成果：学生将预习笔记和解答提交至教学平台。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：通过预习活动，培养学生的自主学习能力。

信息技术手段：利用在线平台，实现预习资源的共享和监控。

作用与目的：

帮助学生提前接触新知识，为课堂学习做好准备。

2.课中强化技能

教师活动：

导入新课：通过展示实际问题，如“某商品的销售量与价格的关系”，引出函数零点的概念。

讲解知识点：详细讲解函数零点的定义、存在性定理以及求法，如连续函数的零点定理。

组织课堂活动：设计小组讨论，让学生分析不同类型函数的零点分布情况。

解答疑问：针对学生在讨论中提出的问题，进行及时解答和指导。

学生活动：

听讲并思考：学生认真听讲，积极思考教师提出的问题。

参与课堂活动：学生积极参与小组讨论，分享自己的见解。

提问与讨论：学生针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。

教学方法/手段/资源：

讲授法：通过讲解，帮助学生理解函数零点的概念和求法。

活动教学法：通过小组讨论，培养学生的合作能力和问题解决能力。

作用与目的：

帮助学生深入理解函数零点的概念和求法，掌握相关技能。

3.课后拓展应用

教师活动：

布置作业：布置一些实际问题的函数零点求解题，要求学生运用所学知识解决。

提供拓展资源：推荐一些与函数零点相关的数学竞赛题目或拓展阅读材料。

反馈作业情况：及时批改作业，针对学生的错误给予反馈和指导。

学生活动：

完成作业：学生独立完成作业，巩固课堂所学。

拓展学习：学生利用拓展资源进行自主学习，提升解题能力。

反思总结：学生对自己的学习过程和成果进行反思，总结学习经验。

教学方法/手段/资源：

自主学习法：通过课后作业和拓展学习，培养学生的自主学习能力。

反思总结法：通过反思总结，帮助学生提高自我学习和自我评价的能力。

作用与目的：

巩固学生在课堂上学到的知识，提高学生的应用能力和创新思维。教学资源拓展一、拓展资源

1.函数零点的性质与图像

-函数零点的判定定理：介绍连续函数零点的判定定理，以及如何应用该定理判断函数零点的存在性。

-函数零点的图像特征：分析函数零点在图像上的特征，如零点附近的函数值变化、图像的凹凸性等。

2.一元二次方程的根与函数零点

-一元二次方程的解法：回顾一元二次方程的求根公式，并讨论其在函数零点求解中的应用。

-根的判别式：介绍一元二次方程根的判别式，以及如何通过判别式判断方程根的性质。

3.高次方程与函数零点

-高次方程的解法：简要介绍高次方程的解法，如因式分解、牛顿迭代法等。

-高次函数的零点：讨论高次函数零点的求解方法，如罗尔定理、中值定理等。

4.函数零点在实际问题中的应用

-经济学中的应用：介绍函数零点在经济学中的实际应用，如成本函数、收益函数的零点分析。

-生物学中的应用：讨论函数零点在生物学中的实际应用，如种群增长的零点分析。

二、拓展建议

1.深入研究函数零点的性质与图像

-鼓励学生通过绘制函数图像，观察函数零点附近的图像特征，如极值点、拐点等。

-引导学生探究不同类型函数的零点分布规律，如多项式函数、三角函数、指数函数等。

2.探索一元二次方程与函数零点的关系

-通过实例分析，让学生理解一元二次方程的根与函数零点之间的关系。

-引导学生运用一元二次方程的求根公式，解决函数零点求解问题。

3.研究高次方程与函数零点

-介绍高次方程的解法，如因式分解、牛顿迭代法等，并让学生尝试应用这些方法解决函数零点问题。

-讨论高次函数零点的求解方法，如罗尔定理、中值定理等，并让学生通过实例进行验证。

4.应用函数零点解决实际问题

-引导学生关注函数零点在实际问题中的应用，如经济学、生物学等领域。

-鼓励学生结合实际案例，分析函数零点在解决实际问题中的作用。

5.拓展阅读与学习

-建议学生阅读与函数零点相关的数学著作，如《数学分析新讲》、《高等数学》等。

-鼓励学生参加数学竞赛，如全国高中数学联赛、全国大学生数学竞赛等，提升自己的数学素养。

6.交流与合作

-鼓励学生与同学、老师进行交流，分享自己的学习心得和经验。

-组织学生开展小组合作学习，共同探讨函数零点相关的数学问题。教学评价与反馈1.课堂表现：

课堂表现评价将关注学生的参与度、专注度和对知识的理解程度。教师将观察学生在课堂上的发言次数、回答问题的准确性以及解决问题的能力。例如，通过提问和小组讨论，教师可以评估学生对函数零点概念的理解是否到位，以及他们是否能够将理论知识应用于解决实际问题。

2.小组讨论成果展示：

小组讨论成果展示将作为评价学生合作能力和沟通技巧的重要指标。教师将评估学生在小组讨论中的贡献，包括是否积极参与、是否能够提出有见地的观点、是否能够有效地倾听他人意见并进行建设性的反馈。此外，教师还将评估小组是否能够共同完成讨论任务，如分析函数图像、讨论函数零点的求解方法等。

3.随堂测试：

随堂测试将包括选择题、填空题和简答题，旨在评估学生对函数零点与方程根相关知识的掌握程度。测试将覆盖以下内容：

-函数零点的定义和性质

-函数零点的存在性定理

-利用函数零点求解一元二次方程

-将函数零点应用于实际问题

教师将根据学生的测试成绩，了解学生对知识点的掌握情况，并及时调整教学策略。

4.课后作业反馈：

课后作业的完成情况将作为评价学生自主学习能力和知识巩固效果的重要依据。教师将检查作业的准确性和完整性，并提供个性化的反馈。例如，对于学生在作业中出现的错误，教师将提供详细的解释和纠正方法，帮助学生理解错误的原因并避免类似错误。

5.教师评价与反馈：

教师评价将针对以下几个方面：

-学生对函数零点概念的理解程度

-学生应用函数零点解决实际问题的能力

-学生在小组讨论中的表现

-学生在随堂测试和课后作业中的成绩

针对学生的具体表现，教师将提供以下反馈：

-对于理解深刻、表现优秀的学生，教师将给予肯定和鼓励，并提出更高的学习要求。

-对于理解有困难的学生，教师将提供额外的辅导和练习，帮助他们克服学习障碍。

-对于在小组讨论中表现积极的学生，教师将表扬他们的贡献，并鼓励他们在未来继续保持。

-对于作业完成情况不佳的学生，教师将分析原因，提供针对性的改进建议，并督促他们加强练习。课后拓展1.拓展内容：

-阅读材料：《数学分析新讲》中关于连续函数零点的章节，深入理解函数零点的理论背景和数学意义。

-视频资源：《数学之美》系列视频中的相关内容，通过动画和实例展示函数零点在实际问题中的应用。

-实际案例：收集并分析一些经济学、生物学等领域的实际案例，探讨函数零点在这些领域中的应用。

2.拓展要求：

-鼓励学生利用课后时间阅读《数学分析新讲》中关于连续函数零点的章节，通过阅读深入了解函数零点的数学理论和应用。

-观看《数学之美》系列视频，通过视频中的动画和实例，帮助学生将抽象的数学概念与实际应用联系起来。

-学生可以选择收集并分析经济学、生物学等领域的实际案例，通过这些案例，学生可以更好地理解函数零点在解决实际问题中的作用。

-教师推荐阅读材料：《数学分析新讲》中的相关章节，特别是关于连续函数零点的部分，这些内容有助于学生深入理解函数零点的数学背景。

-教师解答疑问：学生在阅读和观看拓展材料时可能会遇到疑问，教师应提供必要的指导和帮助，如组织讨论会、个别辅导等。

-实践应用：学生可以尝试自己设计一些实际问题，并运用函数零点的知识来解决问题，以此来加深对知识的理解和应用。

-小组合作：鼓励学生组成学习小组，共同探讨拓展内容，通过小组合作，学生可以互相学习，共同进步。

-反馈与总结：学生在完成拓展学习后，应撰写学习心得，总结自己的学习收获和体会，教师可以收集这些心得，了解学生的学习效果，并提供进一步的指导。板书设计①函数零点的概念

-定义：函数的零点是指使得函数值为零的自变量的值。

-表示：设f(x)为函数，f(x)=0的解x即为函数f(x)的零点。

②函数零点的存在性定理

-罗尔定理：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则在(a,b)内至少存在一点c，使得f'(c)=0。

-中值定理：如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)≠f(b)，则在(a,b)内至少存在一点c，使得f(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

③函数零点的求法

-直接法：通过观察函数图像，直接找到函数的零点。

-间接法：利用函数的性质，如单调性、奇偶性等，结合零点定理，推断零点的存在性。

-解方程法：将函数等于零的方程求解，得到函数的零点。

④函数零点与方程根的关系

-一元二次方程的根与函数零点的关系：一元二次方程ax^2+bx+c=0的根x1,x2即为函数f(x)=ax^2+bx+c的零点。

-函数零点与方程根的个数关系：函数的零点个数与方程根的个数相同。

⑤函数零点在实际问题中的应用

-成本函数与收益函数的零点：通过分析成本函数和收益函数的零点，可以确定产品的盈亏平衡点。

-种群增长的零点：通过分析种群增长函数的零点，可以预测种群数量的变化趋势。教学反思今天这节课，我们学习了函数的零点与方程的根。回顾一下，我觉得有几个地方值得反思。

首先，我觉得我在导入新课的时候做得还不错。我通过一个实际问题引入了函数零点的概念，学生们听起来很感兴趣。但是，我发现有些学生对于函数零点的概念理解得还不够深刻，他们在回答问题时，有时候会混淆零点和极值点的区别。这说明我在讲解概念时，可能需要更加细致，用更直观的方法来帮助学生理解。

接着，我在讲解函数零点的存在性定理时，使用了罗尔定理和中值定理作为理论依据。我发现学生们对于这些定理的理解也有一定的困难，尤其是在应用这些定理来证明函数零点的存在性时。我觉得这可能是因为定理的证明过程比较抽象，学生难以在短时间内消化。所以，我可能在接下来的教学中，需要更多地结合实例来讲解这些定理，让学生在实际操作中理解其含义。

在组织课堂活动时，我设计了小组讨论和角色扮演，希望学生们能够在互动中加深对知识的理解。但是，我发现有些小组讨论的时候，学生们参与度不高，可能是因为他们对讨论的话题不够感兴趣，或者是对讨论的规则不够清楚。我觉得在未来的教学中，我需要更好地设计讨论话题，同时也要明确讨论规则，让学生知道如何有效地参与讨论。