八年级上册数学举一反三系列专题02 角度计算中的经典模型(举一反三)(原卷版)

专题02角度计算中的经典模型【举一反三】

《岂击超II

【条件】ZB=ZD=ZACE=90°.

【结论】ZBAC=ZDCE,ZACB=ZCED.

【例1】（2019春•润州区校级月考）如图，在AABC中，ZACB=90J,F是AC延长线上一点，FD1AB,

垂足为D,FD与BC相交于点E,ZBED=55°.求NA的度数.

【变式1-1］（2019秋•凉州区校级期中）如图,AABC中,ZB=ZC,FD±BC,DE1AB,ZAFD=152°,

求NA的度数.

A

【变式1-2】（2019春•莲湖区期中）如图，在4ACB中，ZACB=90°,CD_LAB于D.

（1）求证：ZACD=ZB；

（2）若AF平分NCAB分别交CD、BC于E、F,求证：ZCEF=ZCFE.

【变式1-3］（1）如图①，在Rt^ABC中，/ACB-90',CD1AB.垂足为D,4CD与NB有什么关系？

为什么？

（2）如图②，在RtABC中，NC=90；D、E分别在AC,AB±,且/ADE=/B，判断ADE的形

状是什么？为什么？

（3）如图③，在RtABC和RtDBE中，NC=90°,NE=90°,AB_LBD,点C,B，E在同一直线上,

NA与ND有什么关系？为什么？

【结论】ZBDE+ZCED=180°+ZA

【例2】（2019春•资中县月考）如图所示，AABC中，NC=75,,若沿图中虚线截去NC,则N1+N2等

于多少度？

【变式2-1】（2019春•长沙县校级期中）如图，已知NA=40°,求N1+N2+N3+/4的度数.

【变式2-2］（2019春•吁胎县期中）我们容易证明，三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和，那么,

三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢?

（图3）

I.尝试探究：

（1）如图1,NDBC与NECB分别为aABC的两个外角，试探究NA与NDBC+NECB之间存在怎样的数

量关系？为什么？

II.初步应用：

（2）如图2,在ABC纸片中剪去aCED,得到四边形ABDE,Z1=130°,则N2-/C=；

（3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3,在AABC中，BP、CP分别平分外角NDBC、ZECB,

NP与NA有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案.

【变式2-3】（2019春•盐都区期中）⑴如图1,已知AABC为直角三角形，/A=90°,若沿图中虚线剪

去NA,则N1+N2等于

A90°B.1350C.27O0D.3150

A

【变式3-2】(2019春•南岗区期末)已知在AABC中，NA=100°,点D在AABC的内部连接BD,CD,

且NABD=NCBD,ZACD=ZBCD.

(1)如图1,求NBDC的度数；

(2)如图2,延长BD交AC于点E,延长CD交AB于点F,若NAED-NAFD=12°,求NACF的度数.

【变式3-3】(2019春•东阿县期末)已知任意一个三角形的三个内角的和是180°.如图K在ABC中，

ZABC的角平分线BO与NACB的角平分线CO的交点为O

(1)若NA=70°,求NBOC的度数：

(2)若NA=a,求NBOC的度数；

(3)如图2,若BO、CO分别是NABC、NACB的三等分线，也就是NOBC=1NABC,ZOCB=lzACB,

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ZA=a,求NBOC的度数.

【模型4内外角平分线模型】

【条件】BP、CP分别为NABC、NACD的角平分线.

【结论】ZA=1ZP.

2

[ft4](2018秋•江岸区期中)如图，AABC中，NABC与NACB的外角的平分线相交于点E.

(1)已知NA=60°,求NE的度数；

【变式41】(2019秋•卫滨区校级期中)如图，AABC的外角NACD的平分线CP与内角NABC平分线BP

【变式42】(2019秋•莆田校级期中)如图所示，已知BD为aABC的角平分线，CD为AABC外角NACE

的平分线，且与BD交于点D；

(1)若/ABC=60。，ZDCE=70°,则/D=0；

(2)若NABC=70°,ZA=80°,则ND=°；

(3)当NABC和NACB在变化，而NA始终保持不变，则ND是否发生变化？为什么？由此你能得出什么

【变式43】(2018秋•彭水县校级月考)如图，已知BD是AABC的角平分线，CD是AABC的外角NACE

的外角平分线，CD与BD交于点D.

(1)若NA=50°,则ND=；

(2)若NA=80°,则ND=；

(3)若NA=130°,则ND=?

(4)若/D=36"，则NA=；

(5)综上所述，你会得到什么结论？证明你的结论的准确性.

A

D

【模型5双外角平分线模型】

【条件】BP、CP分别为/EBC、NBCD的角平分线.

【结论】ZP=90-1ZA.

2

【例5】（2018秋•鄂伦春自治旗月考）如图，Z\ABC中，分别延长AABC的边AB、AC至iJD、E,ZCBD

与NBCE的平分线相交于点P,爱动脑筋的小明在写作业的时发现如下规律：

（1）若NA=60°,则NP=°；

（2）若NA=40°,则NP=°；

（3）若NA=100°,则NP=0；

（4）请你用数学表达式归纳NA与NP的关系.

【变式5-1】（2019秋•团风县校级月考）BD、CD分别是AABC的两个外角NCBE、NBCF的平分线,

求证：ZBDC=90:1ZA.

2

【变式5-2】（2019春•雨城区校级期中）如图,BI,CI分别平分△ABC的外角NDBC和NECB,

(1)若NABC=40°,ZACB=36°,求NBIC的大小；

(2)若NA=96。，试求NBIC；

(3)根据前面问题的求解，请归纳NBIC和/A的数量关系并正行证明.

【变式5-3］如图，在AABC中，BD,CD是内角平分线，BP,CP是/ABC,NACB的外角平分线，分别

交于点D,P.

(1)若/A=30。，求NBDC,/BPC的度数.

(2)若NA=m0,求NBDC,/BPC的度数(直接写出结果，不必说明理由)

(3)想想，/A的大小变化，对ND+NP的值是否有影响，若有影响，请说明理由，若无影响，直接求

出其值.

【结论】ZA+ZB=ZD+ZE.

【例6】(2019春•辉县市期末)图1,线段AB、CD相交于点O,连接AD、CB.我们把形如图1的图形称

之为“8翎夕.如图2,在图1的条件下，NDAB和NBCD的平分线AP和CP相交于点P,并且与CD、

AB分别相交于M、N.试解答下列问题：

(1)在图1中，请直接写出NA、/B、NC、ND之间的数量关系：；

(2)仔细观察，在图2中“8字形”的个数：______个；

(3)图2中，当ND=50度，NB=40度时;求NP的度数.

（4）图2中ND和NB为任意角时，其他条件不变，试问NP与ND、NB之间存在着怎样的数量关系.直（

接写出结果，不必证明）.

【变式6~1】（2018春•新泰市期中）已知：如图，AM,CM分别平分NBAD和NBCD.

①若NB=32°,ND=38°,求NM的度数；

②探索NM与NB、ND的关系并证明你的结论.

【变式6~2】（2018秋•南昌期中）如图1,已知线段AB、CD相交于点O,连接AC、BD,则我们把形如这

样的图形称为“8字型”.

（1）求证：ZA+ZC=ZB+ZD：

（2）如图2,若NCAB和NBDC的平分线AP和DP相交于点P,且与CD、AB分别相交于点M、N.

①以线段AC为边的“8字型”有个，以点。为交点的“8字型”有个；

②若NB=100",NC=120°,求NP的度数：

③若角平分线中角的关系改为“NCAP二L/CAB,ZCDP=lzCDBn,iiWtZP与NB、ZC之间存在

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的数量关系，并证明理由.

【变式&3】（2018秋•青岛期末）【问题背景】

（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明NA+NB=NC+ND

B

B

【简单应用】

（2）如图2,AP、CP分别平分/BAD、ZBCD,若NABC=20"，NADC=26°,求NP的度数（可直接

使用问题（1）中的结论）

【问题探究】

（3）如图3,直线AP平分NBAD的外角NFAD,CP平分/BCD的外角NBCE,若NABC=36°,ZADC

=16°,猜想NP的度数为

【拓展延伸】

（4）在图4中，若设NC=x,ZB=y,ZCAP=LzCAB,ZCDP=LzCDB,试问NP与NC、NB之间

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的数量关系为（用x、y表示/P）

（5）在图5中，AP平分/BAD,CP平分/BCD的外角NBCE,猜想NP与/B、ND的关系，直接写出

结论.

【模型7燕尾模型】

【结论】ZBPC=ZA+ZB+ZC.

【例7】（2019春•冠县期末）（1）探究：如图1,求证：ZBOC=ZA+ZB+ZC.

(2)应用：如图2,ZABC=100°,ZDEF=130°,求NA+NC+ND+NF的度数.

【变式7-1】（2019秋•平度市期末）材料阅读：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品-圆规.我

们不妨把这样图形叫做“规形图”.

解决问题：

（1）观察“规形图”，试探究NBDC与NA,ZB,NC之间的数量关系，并说明理由；

（2）请你直接利用以上结论，解决以卜两个问题：

I.如图②，把一块三角尺DEF放置在AABC上，使三角尺的两条直角边DE,DF恰好经过点B,C，若

NA=40'，则NABD+NACD=

II.如图③，BD平分/ABP,CD平分NACP，若NA=40'，ZBPC=130°,求NBDC的度数.

【变式7-2】（2019秋•阜阳月考）在数学学习中整体思想与转化思想是我们常用到的数学思想.如图（1）

中，求NA+NB+NC+ND+NE的度数等于多少时，我们可以连接CD,利用三角形的内角和贝!有NB+NE

=NECD+NBDC,这样NA、NB、NC、ND、NE的和就转化到同一个4ACD中，

即NA+NB+NC+ND+NE=180°.

尝试练习：

图(2)中NA+NB+/C+/D+NE的度数等于.

图(3)中/A+NB+/C+ND+NE的度数等于.

图(4)中NA+NB+NC+ND+NE+NF的度数等于.

【变式7-3】(2019秋•襄城区期中)已知：点D是AABC所在平面内一点，连接AD、CD.

(1)如图1,若NA=28°,ZB=72°,ZC=11°,求NADC；

(2)如图2,若存在一点P,使得PB平分NABC,同时PD平分NADC,探究/A,ZP,NC的关系并证

明；

(3)如图3,在(2)的条件下，将点D移至NABC的外部，其它条件不变，探究NA,ZP,NC的关系

并证明.

【模型8筝型】

【结论】NPBD+NPCD=NA+NP

【例8】(2019春•邳州市校级月考)如图，在折纸活动中，小明制作了一张AABC纸片，点D、E分别在

边AB、AC上，将AABC沿着DE折叠压平，A与A'重合.

(1)若NA=75°,则N1+N2=.

(2)若NA=n°,则N1+N2=.

(3)由(1)(2)探索NA与/1+N2之间的数量关系，并说明理由.

c

【变式8-1】（2018春•迁安市期末）动手操作：

一个三角形的纸片ABC,沿DE折叠，使点A落在点A'处.

观察猜想

（1）如图1,若NA=40"，则/1+/2=0；

若NA=55°,则N1+N2=°；

若NA=n°,则/1+/2=°.

探索证明：