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文档简介

浙江省温州市新力量联盟2025年招生全国统一考试数学试题仿真试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数,,若总有恒成立.记的最小值为,则的最大值为()A.1 B. C. D.2.执行如图所示的程序框图,则输出的()A.2 B.3 C. D.3.中国铁路总公司相关负责人表示,到2018年底,全国铁路营业里程达到13.1万公里,其中高铁营业里程2.9万公里,超过世界高铁总里程的三分之二,下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程(单位:万公里)的折线图,以下结论不正确的是()A.每相邻两年相比较,2014年到2015年铁路运营里程增加最显著B.从2014年到2018年这5年,高铁运营里程与年价正相关C.2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上D.从2014年到2018年这5年,高铁运营里程数依次成等差数列4.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设,用表示不超过的最大整数,则称为高斯函数,例如:,,已知函数(),则函数的值域为()A. B. C. D.5.我国古代数学巨著《九章算术》中,有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”这个问题用今天的白话叙述为:有一位善于织布的女子,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这位女子每天分别织布多少?根据上述问题的已知条件,若该女子共织布尺,则这位女子织布的天数是()A.2 B.3 C.4 D.16.为比较甲、乙两名高二学生的数学素养,对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验(指标值满分为5分,分值高者为优),根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图,则下面叙述正确的是()A.乙的数据分析素养优于甲B.乙的数学建模素养优于数学抽象素养C.甲的六大素养整体水平优于乙D.甲的六大素养中数据分析最差7.已知向量,,若,则()A. B. C.-8 D.88.若双曲线的渐近线与圆相切,则双曲线的离心率为()A.2 B. C. D.9.在四面体中,为正三角形,边长为6,,,,则四面体的体积为()A. B. C.24 D.10.函数的值域为()A. B. C. D.11.《普通高中数学课程标准(2017版)》提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平,现以六大素养为指标对二人进行了测验,根据测验结果绘制了雷达图(如图,每项指标值满分为5分,分值高者为优),则下面叙述正确的是()A.甲的数据分析素养高于乙B.甲的数学建模素养优于数学抽象素养C.乙的六大素养中逻辑推理最差D.乙的六大素养整体平均水平优于甲12.双曲线﹣y2=1的渐近线方程是()A.x±2y=0 B.2x±y=0 C.4x±y=0 D.x±4y=0二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.曲线在点处的切线方程为__.14.如图,在菱形ABCD中,AB=3,,E,F分别为BC,CD上的点,,若线段EF上存在一点M,使得,则____________,____________.(本题第1空2分,第2空3分)15.设、满足约束条件,若的最小值是,则的值为__________.16.已知实数,满足约束条件,则的最小值为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在直角坐标系中,直线的参数方程为.(为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求的普通方程及的直角坐标方程;(2)求曲线上的点到距离的取值范围.18.(12分)设函数,是函数的导数.(1)若,证明在区间上没有零点;(2)在上恒成立,求的取值范围.19.(12分)如图所示,在三棱锥中,,,,点为中点.(1)求证:平面平面;(2)若点为中点,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.20.(12分)已知公比为正数的等比数列的前项和为,且,.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.21.(12分)已知数列的前项和为,且满足().(1)求数列的通项公式;(2)设(),数列的前项和.若对恒成立,求实数,的值.22.(10分)如图,在四棱锥中,底面为菱形,底面,.(1)求证:平面;(2)若直线与平面所成的角为,求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

根据总有恒成立可构造函数,求导后分情况讨论的最大值可得最大值最大值,即.根据题意化简可得,求得,再换元求导分析最大值即可.【详解】由题,总有即恒成立.设,则的最大值小于等于0.又,若则,在上单调递增,无最大值.若,则当时,,在上单调递减,当时,,在上单调递增.故在处取得最大值.故,化简得.故,令,可令,故,当时,,在递减;当时,,在递增.故在处取得极大值,为.故的最大值为.故选:C【点睛】本题主要考查了根据导数求解函数的最值问题,需要根据题意分析导数中参数的范围,再分析函数的最值,进而求导构造函数求解的最大值.属于难题.2、B【解析】

运行程序,依次进行循环,结合判断框,可得输出值.【详解】起始阶段有,,第一次循环后,,第二次循环后,,第三次循环后,,第四次循环后,,所有后面的循环具有周期性,周期为3,当时,再次循环输出的,,此时,循环结束,输出,故选:B【点睛】本题主要考查程序框图的相关知识,经过几次循环找出规律是关键,属于基础题型.3、D【解析】

由折线图逐项分析即可求解【详解】选项,显然正确;对于,,选项正确;1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差数列,故错.故选:D【点睛】本题考查统计的知识,考查数据处理能力和应用意识,是基础题4、B【解析】

利用换元法化简解析式为二次函数的形式,根据二次函数的性质求得的取值范围,由此求得的值域.【详解】因为(),所以,令(),则(),函数的对称轴方程为,所以,,所以,所以的值域为.故选:B【点睛】本小题考查函数的定义域与值域等基础知识,考查学生分析问题,解决问题的能力,运算求解能力,转化与化归思想,换元思想,分类讨论和应用意识.5、B【解析】

将问题转化为等比数列问题,最终变为求解等比数列基本量的问题.【详解】根据实际问题可以转化为等比数列问题,在等比数列中,公比,前项和为,,,求的值.因为,解得,,解得.故选B.【点睛】本题考查等比数列的实际应用,难度较易.熟悉等比数列中基本量的计算,对于解决实际问题很有帮助.6、C【解析】

根据题目所给图像,填写好表格,由表格数据选出正确选项.【详解】根据雷达图得到如下数据:数学抽象逻辑推理数学建模直观想象数学运算数据分析甲454545乙343354由数据可知选C.【点睛】本题考查统计问题,考查数据处理能力和应用意识.7、B【解析】

先求出向量,的坐标,然后由可求出参数的值.【详解】由向量,,则,,又,则,解得.故选:B【点睛】本题考查向量的坐标运算和模长的运算,属于基础题.8、C【解析】

利用圆心到渐近线的距离等于半径即可建立间的关系.【详解】由已知,双曲线的渐近线方程为,故圆心到渐近线的距离等于1,即,所以,.故选:C.【点睛】本题考查双曲线离心率的求法,求双曲线离心率问题,关键是建立三者间的方程或不等关系,本题是一道基础题.9、A【解析】

推导出,分别取的中点,连结,则,推导出,从而,进而四面体的体积为,由此能求出结果.【详解】解:在四面体中,为等边三角形,边长为6,,,,,,分别取的中点,连结,则,且,,,,平面,平面,,四面体的体积为:.故答案为:.【点睛】本题考查四面体体积的求法,考查空间中线线,线面,面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力.10、A【解析】

由计算出的取值范围,利用正弦函数的基本性质可求得函数的值域.【详解】,,,因此,函数的值域为.故选:A.【点睛】本题考查正弦型函数在区间上的值域的求解,解答的关键就是求出对象角的取值范围,考查计算能力,属于基础题.11、D【解析】

根据雷达图对选项逐一分析,由此确定叙述正确的选项.【详解】对于A选项,甲的数据分析分,乙的数据分析分,甲低于乙,故A选项错误.对于B选项,甲的建模素养分,乙的建模素养分,甲低于乙,故B选项错误.对于C选项,乙的六大素养中,逻辑推理分,不是最差,故C选项错误.对于D选项,甲的总得分分,乙的总得分分,所以乙的六大素养整体平均水平优于甲,故D选项正确.故选:D【点睛】本小题主要考查图表分析和数据处理,属于基础题.12、A【解析】试题分析:渐近线方程是﹣y2=1,整理后就得到双曲线的渐近线.解:双曲线其渐近线方程是﹣y2=1整理得x±2y=1.故选A.点评:本题考查了双曲线的渐进方程,把双曲线的标准方程中的“1”转化成“1”即可求出渐进方程.属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

对函数求导后,代入切点的横坐标得到切线斜率,然后根据直线方程的点斜式,即可写出切线方程.【详解】因为,所以,从而切线的斜率,所以切线方程为,即.故答案为:【点睛】本题主要考查过曲线上一点的切线方程的求法,属基础题.14、【解析】

根据题意,设,则,所以,解得,所以,从而有.15、【解析】

画出满足条件的平面区域,求出交点的坐标,由得,显然直线过时,最小,代入求出的值即可.【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示:联立,解得,则点.由得,显然当直线过时,该直线轴上的截距最小,此时最小,,解得.故答案为:.【点睛】本题考查了简单的线性规划问题,考查数形结合思想,是一道中档题.16、【解析】

作出满足约束条件的可行域,将目标函数视为可行解与点的斜率,观察图形斜率最小在点B处,联立,解得点B坐标,即可求得答案.【详解】作出满足约束条件的可行域,该目标函数视为可行解与点的斜率,故由题可知,联立得,联立得所以,故所以的最小值为故答案为:【点睛】本题考查分式型目标函数的线性规划问题,属于简单题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1),.(2)【解析】

(1)根据直线的参数方程为(为参数),消去参数,即可求得的的普通方程,曲线的极坐标方程为,利用极坐标化直角坐标的公式:,即可求得答案;(2)的标准方程为,圆心为,半径为,根据点到直线距离公式,即可求得答案.【详解】(1)直线的参数方程为(为参数),消去参数的普通方程为.曲线的极坐标方程为,利用极坐标化直角坐标的公式:的直角坐标方程为.(2)的标准方程为,圆心为,半径为圆心到的距离为,点到的距离的取值范围是.【点睛】本题解题关键是掌握极坐标化直角坐标的公式和点到直线距离公式,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.18、(1)证明见解析(2)【解析】

(1)先利用导数的四则运算法则和导数公式求出,再由函数的导数可知,函数在上单调递增,在上单调递减,而,,可知在区间上恒成立,即在区间上没有零点;(2)由题意可将转化为,构造函数,利用导数讨论研究其在上的单调性,由,即可求出的取值范围.【详解】(1)若,则,,设,则,,,故函数是奇函数.当时,,,这时,又函数是奇函数,所以当时,.综上,当时,函数单调递增;当时,函数单调递减.又,,故在区间上恒成立,所以在区间上没有零点.(2),由,所以恒成立,若,则,设,.故当时,,又,所以当时,,满足题意;当时,有,与条件矛盾,舍去;当时,令,则,又,故在区间上有无穷多个零点,设最小的零点为,则当时,,因此在上单调递增.,所以.于是,当时,,得,与条件矛盾.故的取值范围是.【点睛】本题主要考查导数的四则运算法则和导数公式的应用,以及利用导数研究函数的单调性和最值,涉及分类讨论思想和放缩法的应用,难度较大,意在考查学生的数学建模能力,数学运算能力和逻辑推理能力,属于较难题.19、(1)答案见解析.(2)【解析】

(1)通过证明平面,证得,证得,由此证得平面,进而证得平面平面.(2)建立空间直角坐标系,利用平面和平面的法向量,计算出平面与平面所成锐二面角的余弦值.【详解】(1)因为,所以平面,因为平面,所以.因为,点为中点,所以.因为,所以平面.因为平面,所以平面平面.(2)以点为坐标原点,直线分别为轴,轴,过点与平面垂直的直线为轴,建立空间直角坐标系,则,,,,,,,,,,设平面的一个法向量,则即取,则,,所以,设平面的一个法向量,则即取,则,,所以,设平面与平面所成锐二面角为,则.所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明,考查二面角的求法,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.20、(1)(2)【解析】

(1)判断公比不为1,运用等比数列的求和公式,解方程可得公比,进而得到所求通项公式;(2)求得,运用数列的错位相减法求和,以及等比数列的求和公式,计算可得所求和.【详解】解:(1)设公比为正数的等比数列的前项和为,且,,可得时,,不成立;当时,,即,解得(舍去),则;(2),前项和,,两式相减可得,化简可得.【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用,考查数列的错位相减法求和,考查方程思想

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