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文档简介

吉林大学附属中学2025届高三教学调研(二)数学试题试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数,给出下列四个结论:①函数的值域是;②函数为奇函数;③函数在区间单调递减;④若对任意,都有成立,则的最小值为;其中正确结论的个数是()A. B. C. D.2.若函数函数只有1个零点,则的取值范围是()A. B. C. D.3.的展开式中的一次项系数为()A. B. C. D.4.已知双曲线C的两条渐近线的夹角为60°,则双曲线C的方程不可能为()A. B. C. D.5.三棱柱中,底面边长和侧棱长都相等,,则异面直线与所成角的余弦值为()A. B. C. D.6.由曲线围成的封闭图形的面积为()A. B. C. D.7.已知(i为虚数单位,),则ab等于()A.2 B.-2 C. D.8.已知集合,则()A. B.C. D.9.已知是虚数单位,若,,则实数()A.或 B.-1或1 C.1 D.10.双曲线的左右焦点为,一条渐近线方程为,过点且与垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于,满足,则该双曲线的离心率为()A. B.3 C. D.211.某几何体的三视图如右图所示,则该几何体的外接球表面积为()A. B.C. D.12.设全集,集合,,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.(5分)已知为实数,向量,,且,则____________.14.在《九章算术》中,将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.如图,若四棱锥为阳马,侧棱底面,且,,设该阳马的外接球半径为,内切球半径为,则__________.15.已知不等式的解集不是空集,则实数的取值范围是;若不等式对任意实数恒成立,则实数的取值范围是___16.平面向量与的夹角为,,,则__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,点的极坐标为.(1)求的直角坐标方程和的直角坐标;(2)设与交于,两点,线段的中点为,求.18.(12分)设函数,.(1)解不等式;(2)若对任意的实数恒成立,求的取值范围.19.(12分)已知函数,其中.(1)当时,求在的切线方程;(2)求证:的极大值恒大于0.20.(12分)已知函数.(1)若,解关于的不等式;(2)若当时,恒成立,求实数的取值范围.21.(12分)正项数列的前n项和Sn满足:(1)求数列的通项公式;(2)令,数列{bn}的前n项和为Tn,证明:对于任意的n∈N*,都有Tn<.22.(10分)设直线与抛物线交于两点,与椭圆交于两点,设直线(为坐标原点)的斜率分别为,若.(1)证明:直线过定点,并求出该定点的坐标;(2)是否存在常数,满足?并说明理由.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】

化的解析式为可判断①,求出的解析式可判断②,由得,结合正弦函数得图象即可判断③,由得可判断④.【详解】由题意,,所以,故①正确;为偶函数,故②错误;当时,,单调递减,故③正确;若对任意,都有成立,则为最小值点,为最大值点,则的最小值为,故④正确.故选:C.【点睛】本题考查三角函数的综合运用,涉及到函数的值域、函数单调性、函数奇偶性及函数最值等内容,是一道较为综合的问题.2.C【解析】

转化有1个零点为与的图象有1个交点,求导研究临界状态相切时的斜率,数形结合即得解.【详解】有1个零点等价于与的图象有1个交点.记,则过原点作的切线,设切点为,则切线方程为,又切线过原点,即,将,代入解得.所以切线斜率为,所以或.故选:C【点睛】本题考查了导数在函数零点问题中的应用,考查了学生数形结合,转化划归,数学运算的能力,属于较难题.3.B【解析】

根据多项式乘法法则得出的一次项系数,然后由等差数列的前项和公式和组合数公式得出结论.【详解】由题意展开式中的一次项系数为.故选:B.【点睛】本题考查二项式定理的应用,应用多项式乘法法则可得展开式中某项系数.同时本题考查了组合数公式.4.C【解析】

判断出已知条件中双曲线的渐近线方程,求得四个选项中双曲线的渐近线方程,由此确定选项.【详解】两条渐近线的夹角转化为双曲渐近线与轴的夹角时要分为两种情况.依题意,双曲渐近线与轴的夹角为30°或60°,双曲线的渐近线方程为或.A选项渐近线为,B选项渐近线为,C选项渐近线为,D选项渐近线为.所以双曲线的方程不可能为.故选:C【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程,属于基础题.5.B【解析】

设,,,根据向量线性运算法则可表示出和;分别求解出和,,根据向量夹角的求解方法求得,即可得所求角的余弦值.【详解】设棱长为1,,,由题意得:,,,又即异面直线与所成角的余弦值为:本题正确选项:【点睛】本题考查异面直线所成角的求解,关键是能够通过向量的线性运算、数量积运算将问题转化为向量夹角的求解问题.6.A【解析】

先计算出两个图像的交点分别为,再利用定积分算两个图形围成的面积.【详解】封闭图形的面积为.选A.【点睛】本题考察定积分的应用,属于基础题.解题时注意积分区间和被积函数的选取.7.A【解析】

利用复数代数形式的乘除运算化简,再由复数相等的条件列式求解.【详解】,,得,..故选:.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数相等的条件,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,是基础题.8.C【解析】

由题意和交集的运算直接求出.【详解】∵集合,∴.故选:C.【点睛】本题考查了集合的交集运算.集合进行交并补运算时,常借助数轴求解.注意端点处是实心圆还是空心圆.9.B【解析】

由题意得,,然后求解即可【详解】∵,∴.又∵,∴,∴.【点睛】本题考查复数的运算,属于基础题10.A【解析】

设,直线的方程为,联立方程得到,,根据向量关系化简到,得到离心率.【详解】设,直线的方程为.联立整理得,则.因为,所以为线段的中点,所以,,整理得,故该双曲线的离心率.故选:.【点睛】本题考查了双曲线的离心率,意在考查学生的计算能力和转化能力.11.A【解析】

由三视图知:几何体为三棱锥,且三棱锥的一条侧棱垂直于底面,结合直观图判断外接球球心的位置,求出半径,代入求得表面积公式计算.【详解】由三视图知:几何体为三棱锥,且三棱锥的一条侧棱垂直于底面,高为2,底面为等腰直角三角形,斜边长为,如图:的外接圆的圆心为斜边的中点,,且平面,,的中点为外接球的球心,半径,外接球表面积.故选:A【点睛】本题考查了由三视图求几何体的外接球的表面积,根据三视图判断几何体的结构特征,利用几何体的结构特征与数据求得外接球的半径是解答本题的关键.12.B【解析】

可解出集合,然后进行补集、交集的运算即可.【详解】,,则,因此,.故选:B.【点睛】本题考查补集和交集的运算,涉及一元二次不等式的求解,考查运算求解能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.5【解析】

由,,且,得,解得,则,则.14.【解析】

该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径,由此能求出,内切球在侧面内的正视图是的内切圆,从而内切球半径为,由此能求出.【详解】四棱锥为阳马,侧棱底面,且,,设该阳马的外接球半径为,该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径,,,侧棱底面,且底面为正方形,内切球在侧面内的正视图是的内切圆,内切球半径为,故.故答案为.【点睛】本题考查了几何体外接球和内切球的相关问题,补形法的运用,以及数学文化,考查了空间想象能力,是中档题.解决球与其他几何体的切、接问题,关键是能够确定球心位置,以及选择恰当的角度做出截面.球心位置的确定的方法有很多,主要有两种:(1)补形法(构造法),通过补形为长方体(正方体),球心位置即为体对角线的中点;(2)外心垂线法,先找出几何体中不共线三点构成的三角形的外心,再找出过外心且与不共线三点确定的平面垂直的垂线,则球心一定在垂线上.15.【解析】

利用绝对值的几何意义,确定出的最小值,然后根据题意即可得到的取值范围化简不等式,求出的最大值,然后求出结果【详解】的最小值为,则要使不等式的解集不是空集,则有化简不等式有,即而当时满足题意,解得或所以答案为【点睛】本题主要考查的是函数恒成立的问题和绝对值不等式,要注意到绝对值的几何意义,数形结合来解答本题,注意去绝对值时的分类讨论化简16.【解析】

由平面向量模的计算公式,直接计算即可.【详解】因为平面向量与的夹角为,所以,所以;故答案为【点睛】本题主要考查平面向量模的计算,只需先求出向量的数量积,进而即可求出结果,属于基础题型.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1),(2)【解析】

(1)利用互化公式把曲线C化成直角坐标方程,把点P的极坐标化成直角坐标;(2)把直线l的参数方程的标准形式代入曲线C的直角坐标方程,根据韦达定理以及参数t的几何意义可得.【详解】(1)由ρ2得ρ2+ρ2sin2θ=2,将ρ2=x2+y2,y=ρsinθ代入上式并整理得曲线C的直角坐标方程为y2=1,设点P的直角坐标为(x,y),因为P的极坐标为(,),所以x=ρcosθcos1,y=ρsinθsin1,所以点P的直角坐标为(1,1).(2)将代入y2=1,并整理得41t2+110t+25=0,因为△=1102﹣4×41×25=8000>0,故可设方程的两根为t1,t2,则t1,t2为A,B对应的参数,且t1+t2,依题意,点M对应的参数为,所以|PM|=||.【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程,属中档题.18.(1);(2)【解析】试题分析:(1)将绝对值不等式两边平方,化为二次不等式求解.(2)将问题化为分段函数问题,通过分类讨论并根据恒成立问题的解法求解即可.试题解析:整理得解得①②解得③,且无限趋近于4,综上的取值范围是19.(1)(2)证明见解析【解析】

(1)求导,代入,求出在处的导数值及函数值,由此即可求得切线方程;(2)分类讨论得出极大值即可判断.【详解】(1),当时,,,则在的切线方程为;(2)证明:令,解得或,①当时,恒成立,此时函数在上单调递减,∴函数无极值;②当时,令,解得,令,解得或,∴函数在上单调递增,在,上单调递减,∴;③当时,令,解得,令,解得或,∴函数在上单调递增,在,上单调递减,∴,综上,函数的极大值恒大于0.【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程,考查利用导数研究函数的极值,考查分类讨论的数学思想方法,属于中档题.20.(1)(2)【解析】

(1)利用零点分段法将表示为分段函数的形式,由此求得不等式的解集.(2)对分成三种情况,求得的最小值,由此求得的取值范围.【详解】(1)当时,,由此可知,的解集为(2)当时,的最小值为和中的最小值,其中,.所以恒成立.当时,,且,不恒成立,不符合题意.当时,,若,则,故不恒成立,不符合题意;若,则,故不恒成立,不符合题意.综上,.【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法,考查根据绝对值不等式恒成立求参数的取值范围,考查分类讨论的数学思想方法,属于中档题.21.(1)(2)见解析【解析】

(1)因为数列的前项和满足:,所以当时,,即解得或,因为数列都是正项,所以,因为,所以,解得或,因为数列都是正项,所以,当时,有,所以,解得,当时,,符合所以数列的通项公式,;(2)因为,所以,所以数列的前项和为:,当时,有,所以,所以对于任意,数列

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