人教A版新课标高中数学必修一教案-《等式性质与不等式性质》

人教A版新课标高中数学必修一教案-《等式性质与不等式性质》一、教学目标1.知识与技能目标理解等式性质与不等式性质，能运用等式性质与不等式性质进行等式或不等式的变形。掌握比较两个实数大小的方法。2.过程与方法目标通过对实际问题的分析，经历从具体到抽象、从特殊到一般的归纳过程，培养学生的归纳总结能力。在探究等式性质与不等式性质的过程中，体会类比的数学思想方法，提高学生的逻辑推理能力。3.情感态度与价值观目标通过积极参与数学活动，培养学生学习数学的兴趣，激发学生的求知欲。培养学生严谨的科学态度和勇于探索的精神，让学生体会数学的应用价值。二、教学重难点1.教学重点等式性质与不等式性质的理解和应用。比较两个实数大小的方法。2.教学难点不等式性质的证明以及性质的灵活运用。三、教学方法讲授法、讨论法、探究法相结合四、教学过程（一）导入新课1.展示生活中的实际问题问题1：某商场推出两种购物方案。方案一：先打9折，再打8折；方案二：先打8折，再打9折。请问哪种方案更优惠？问题2：某种杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入不低于20万元呢？2.引导学生思考让学生尝试分析上述问题，思考如何解决这些问题。在解决问题的过程中，会涉及到等式与不等式的相关知识，从而引出本节课的主题等式性质与不等式性质。（二）讲授新课1.等式性质回顾初中所学的等式性质，引导学生用语言和数学式子描述等式性质。等式性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。用式子表示为：如果\(a=b\)，那么\(a±c=b±c\)。等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。用式子表示为：如果\(a=b\)，那么\(ac=bc\)；如果\(a=b(c≠0)\)，那么\(\frac{a}{c}=\frac{b}{c}\)。通过简单的例子，如已知\(x=3\)，求\(x+2\)的值，\(3x\)的值等，让学生巩固等式性质的应用。2.比较两个实数大小的方法思考：如何比较两个实数\(a\)与\(b\)的大小？引导学生回忆两个实数比较大小的基本事实：如果\(ab\gt0\)，那么\(a\gtb\)；如果\(ab=0\)，那么\(a=b\)；如果\(ab\lt0\)，那么\(a\ltb\)。例如，比较\(5\)与\(3\)的大小，因为\(53=2\gt0\)，所以\(5\gt3\)。再如，比较\(\frac{3}{4}\)与\(\frac{5}{6}\)的大小。先通分：\(\frac{3}{4}=\frac{9}{12}\)，\(\frac{5}{6}=\frac{10}{12}\)。然后计算\(\frac{10}{12}\frac{9}{12}=\frac{1}{12}\gt0\)，所以\(\frac{5}{6}\gt\frac{3}{4}\)。3.不等式性质类比等式性质，探究不等式性质。不等式性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。用式子表示为：如果\(a\gtb\)，那么\(a±c\gtb±c\)。证明：因为\((a+c)(b+c)=ab\gt0\)，所以\(a+c\gtb+c\)；同理可证\(ac\gtbc\)。例如，已知\(x\gt3\)，则\(x+2\gt3+2\)，即\(x+2\gt5\)。不等式性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。用式子表示为：如果\(a\gtb\)，\(c\gt0\)，那么\(ac\gtbc\)（或\(\frac{a}{c}\gt\frac{b}{c}\)）。证明：因为\(acbc=(ab)c\)，又\(a\gtb\)，\(c\gt0\)，所以\((ab)c\gt0\)，即\(ac\gtbc\)；同理可证\(\frac{a}{c}\gt\frac{b}{c}\)。例如，已知\(x\gt2\)，那么\(2x\gt2×2\)，即\(2x\gt4\)。不等式性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。用式子表示为：如果\(a\gtb\)，\(c\lt0\)，那么\(ac\ltbc\)（或\(\frac{a}{c}\lt\frac{b}{c}\)）。证明：因为\(acbc=(ab)c\)，又\(a\gtb\)，\(c\lt0\)，所以\((ab)c\lt0\)，即\(ac\ltbc\)；同理可证\(\frac{a}{c}\lt\frac{b}{c}\)。例如，已知\(x\gt3\)，那么\(2x\lt2×3\)，即\(2x\lt6\)。组织学生讨论不等式性质与等式性质的异同点，加深对不等式性质的理解。4.不等式性质的应用例1：已知\(a\gtb\gt0\)，\(c\lt0\)，求证：\(\frac{c}{a}\gt\frac{c}{b}\)。分析：要证明\(\frac{c}{a}\gt\frac{c}{b}\)，可根据不等式性质进行变形。证明：因为\(a\gtb\gt0\)，所以\(ab\gt0\)，\(\frac{1}{ab}\gt0\)。由不等式性质2，两边同时乘以\(\frac{1}{ab}\)，得\(\frac{a}{ab}\gt\frac{b}{ab}\)，即\(\frac{1}{b}\gt\frac{1}{a}\)。又因为\(c\lt0\)，由不等式性质3，两边同时乘以\(c\)，得\(\frac{c}{b}\lt\frac{c}{a}\)，即\(\frac{c}{a}\gt\frac{c}{b}\)。例2：若\(1\lta\ltb\lt0\)，则下列不等式中正确的是（）A.\(\frac{1}{a}\lt\frac{1}{b}\)B.\(a+b\ltab\)C.\(ab\ltb^{2}\)D.\(a^{2}\ltb^{2}\)分析：根据已知条件\(1\lta\ltb\lt0\)，结合不等式性质逐一分析选项。解：对于A选项，因为\(a\ltb\lt0\)，所以\(ab\gt0\)，由不等式性质2，两边同时除以\(ab\)，得\(\frac{1}{b}\lt\frac{1}{a}\)，A选项错误。对于B选项，因为\(1\lta\ltb\lt0\)，所以\(a+b\lt0\)，\(ab\gt0\)，所以\(a+b\ltab\)，B选项正确。对于C选项，因为\(a\ltb\lt0\)，由不等式性质3，两边同时乘以\(b\)，得\(ab\gtb^{2}\)，C选项错误。对于D选项，因为\(1\lta\ltb\lt0\)，所以\(\verta\vert\gt\vertb\vert\)，即\(a^{2}\gtb^{2}\)，D选项错误。综上，答案选B。（三）课堂练习1.已知\(a\gtb\)，用"\(\gt\)"或"\(\lt\)"填空：\(a+3\)____\(b+3\)；\(a5\)____\(b5\)；\(6a\)____\(6b\)；\(\frac{a}{2}\)____\(\frac{b}{2}\)。2.已知\(x\gty\)，\(xy\gt0\)，求证：\(\frac{1}{x}\lt\frac{1}{y}\)。3.若\(30\ltx\lt42\)，\(16\lty\lt24\)，求\(x+y\)，\(xy\)，\(xy\)，\(\frac{x}{y}\)的取值范围。（四）课堂小结1.引导学生回顾本节课所学内容等式性质与不等式性质的内容及证明。比较两个实数大小的方法。不等式性质的应用。2.强调本节课的重点和难点重点：等式性质与不等式性质的理解和应用，比较两个实数大小的方法。难点：不等式性质的证明以及性质的灵活运用。3.鼓励学生在课后继续思考和探索相关问题（五）布置作业1.书面作业课本第43页练习第1、2、3、4题。已知\(a\gtb\gt0\)，\(c\ltd\lt0\)，求证：\(\frac{a}{d}\lt\frac{b}{c}\)。2.拓展作业查阅资料，了解不等式在其他领域的应用，并写一篇简短的报告。思考：如果\(a\gtb\)，\(c\gtd\)，那么\(a+c\gtb+d\)，\(ac\gtbd\)一定成立吗？说明理由。五、教学反思通过本节课的教学，学生对等式性质与不等式性质有了较好的理解和掌握，能够运用相关性质进行等式和不等式的变形以及比较两个实数的大小。在教学过程中，通过实际问题导入，