必修五解三角形专题复习教案

必修五解三角形专题复习教案一、教学目标1.知识与技能目标系统梳理解三角形的相关知识，包括正弦定理、余弦定理及其推论，三角形面积公式等，形成完整的知识体系。熟练掌握利用正弦定理、余弦定理解决各种解三角形问题，如已知两角一边、两边及夹角、三边等情况求其他边和角。能够运用解三角形的知识解决实际生活中的测量、航海、物理等相关问题，提高学生分析问题和解决问题的能力。2.过程与方法目标通过对典型例题的分析与讲解，引导学生总结解题思路和方法，培养学生的逻辑思维能力和归纳总结能力。组织学生进行课堂练习和小组讨论，让学生在实践中巩固所学知识，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。鼓励学生自主探究和合作交流，培养学生的创新意识和团队合作精神。3.情感态度与价值观目标通过解三角形在实际生活中的应用，让学生体会数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。在解决问题的过程中，培养学生勇于探索、敢于创新的精神，增强学生学习数学的自信心。二、教学重难点1.教学重点正弦定理、余弦定理的理解与应用。利用正弦定理、余弦定理解决各类解三角形问题。2.教学难点灵活运用正弦定理、余弦定理解决三角形中的多解问题、边角互化问题以及实际应用问题。引导学生根据题目条件选择合适的定理和方法进行解题，培养学生的解题策略意识。三、教学方法1.讲授法：系统讲解解三角形的相关知识和解题方法，使学生对所学内容有一个全面的认识。2.讨论法：组织学生进行小组讨论，让学生在交流中分享解题思路和方法，拓宽思维视野，培养团队合作精神。3.练习法：通过课堂练习，让学生及时巩固所学知识，提高解题能力，同时教师及时反馈学生的练习情况，针对存在的问题进行有针对性的辅导。4.案例分析法：选取一些典型的实际应用案例，引导学生分析问题、建立数学模型、解决问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。四、教学过程（一）知识回顾1.正弦定理内容：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即\(\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sinC}=2R\)（\(R\)为三角形外接圆半径）。变形：\(a=2R\sinA\)，\(b=2R\sinB\)，\(c=2R\sinC\)。\(\sinA=\frac{a}{2R}\)，\(\sinB=\frac{b}{2R}\)，\(\sinC=\frac{c}{2R}\)。\(a:b:c=\sinA:\sinB:\sinC\)。2.余弦定理内容：\(a^{2}=b^{2}+c^{2}2bc\cosA\)。\(b^{2}=a^{2}+c^{2}2ac\cosB\)。\(c^{2}=a^{2}+b^{2}2ab\cosC\)。推论：\(\cosA=\frac{b^{2}+c^{2}a^{2}}{2bc}\)。\(\cosB=\frac{a^{2}+c^{2}b^{2}}{2ac}\)。\(\cosC=\frac{a^{2}+b^{2}c^{2}}{2ab}\)。3.三角形面积公式\(S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}ab\sinC=\frac{1}{2}bc\sinA=\frac{1}{2}ac\sinB\)。（二）典型例题讲解1.已知两角一边解三角形例1：在\(\triangleABC\)中，已知\(A=30^{\circ}\)，\(B=45^{\circ}\)，\(a=2\)，求\(b\)，\(c\)及\(C\)。分析：已知两角一边，可先利用三角形内角和求出\(C\)，再根据正弦定理求出\(b\)，最后利用正弦定理求出\(c\)。解：因为\(A+B+C=180^{\circ}\)，所以\(C=180^{\circ}AB=180^{\circ}30^{\circ}45^{\circ}=105^{\circ}\)。由正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}\)，可得\(b=\frac{a\sinB}{\sinA}=\frac{2\sin45^{\circ}}{\sin30^{\circ}}=\frac{2\times\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}=2\sqrt{2}\)。又因为\(\sinC=\sin105^{\circ}=\sin(60^{\circ}+45^{\circ})=\sin60^{\circ}\cos45^{\circ}+\cos60^{\circ}\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)。再由正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=\frac{c}{\sinC}\)，可得\(c=\frac{a\sinC}{\sinA}=\frac{2\times\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{6}+\sqrt{2}\)。总结：已知两角一边解三角形，先求第三角，再利用正弦定理求其他两边。2.已知两边及夹角解三角形例2：在\(\triangleABC\)中，已知\(a=3\)，\(b=2\)，\(C=60^{\circ}\)，求\(c\)及\(A\)，\(B\)。分析：已知两边及夹角，可先利用余弦定理求出第三边\(c\)，再利用余弦定理的推论求出角\(A\)，最后利用三角形内角和求出角\(B\)。解：由余弦定理\(c^{2}=a^{2}+b^{2}2ab\cosC\)，可得\(c^{2}=3^{2}+2^{2}2\times3\times2\times\cos60^{\circ}=9+46=7\)，所以\(c=\sqrt{7}\)。由余弦定理的推论\(\cosA=\frac{b^{2}+c^{2}a^{2}}{2bc}\)，可得\(\cosA=\frac{2^{2}+(\sqrt{7})^{2}3^{2}}{2\times2\times\sqrt{7}}=\frac{4+79}{4\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}}{14}\)，所以\(A=\arccos\frac{\sqrt{7}}{14}\)。因为\(A+B+C=180^{\circ}\)，所以\(B=180^{\circ}AC=180^{\circ}\arccos\frac{\sqrt{7}}{14}60^{\circ}\)。总结：已知两边及夹角解三角形，先利用余弦定理求第三边，再利用余弦定理的推论求其他两角。3.已知三边解三角形例3：在\(\triangleABC\)中，已知\(a=4\)，\(b=5\)，\(c=6\)，求\(A\)，\(B\)，\(C\)。分析：已知三边，可利用余弦定理的推论分别求出三个角。解：由余弦定理的推论\(\cosA=\frac{b^{2}+c^{2}a^{2}}{2bc}\)，可得\(\cosA=\frac{5^{2}+6^{2}4^{2}}{2\times5\times6}=\frac{25+3616}{60}=\frac{3}{4}\)，所以\(A=\arccos\frac{3}{4}\)。由余弦定理的推论\(\cosB=\frac{a^{2}+c^{2}b^{2}}{2ac}\)，可得\(\cosB=\frac{4^{2}+6^{2}5^{2}}{2\times4\times6}=\frac{16+3625}{48}=\frac{9}{16}\)，所以\(B=\arccos\frac{9}{16}\)。由余弦定理的推论\(\cosC=\frac{a^{2}+b^{2}c^{2}}{2ab}\)，可得\(\cosC=\frac{4^{2}+5^{2}6^{2}}{2\times4\times5}=\frac{16+2536}{40}=\frac{1}{8}\)，所以\(C=\arccos\frac{1}{8}\)。总结：已知三边解三角形，直接利用余弦定理的推论求三个角。4.三角形中的边角互化问题例4：在\(\triangleABC\)中，已知\(a\cosB=b\cosA\)，判断\(\triangleABC\)的形状。分析：已知等式中既有边又有角，可利用正弦定理将边化为角，再通过三角函数的运算来判断三角形的形状。解：由正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}\)，可得\(a=2R\sinA\)，\(b=2R\sinB\)（\(R\)为三角形外接圆半径）。将\(a=2R\sinA\)，\(b=2R\sinB\)代入\(a\cosB=b\cosA\)中，得\(2R\sinA\cosB=2R\sinB\cosA\)，即\(\sinA\cosB=\sinB\cosA\)。移项可得\(\sinA\cosB\sinB\cosA=0\)，根据两角差的正弦公式\(\sin(AB)=\sinA\cosB\cosA\sinB\)，可得\(\sin(AB)=0\)。因为\(A\)，\(B\)是三角形内角，所以\(180^{\circ}\ltAB\lt180^{\circ}\)，那么\(AB=0^{\circ}\)，即\(A=B\)。所以\(\triangleABC\)是等腰三角形。总结：解决三角形中的边角互化问题，通常利用正弦定理或余弦定理将边化为角或角化为边，再通过三角函数的恒等变换来求解。5.解三角形的实际应用问题例5：如图，为了测量河对岸两点\(A\)，\(B\)之间的距离，在河岸这边取点\(C\)，\(D\)，测得\(\angleADC=85^{\circ}\)，\(\angleBDC=60^{\circ}\)，\(\angleACD=47^{\circ}\)，\(\angleBCD=72^{\circ}\)，\(CD=100m\)，求\(A\)，\(B\)之间的距离。（精确到\(0.1m\)）分析：本题是一个实际测量问题，可通过解三角形来求解\(A\)，\(B\)之间的距离。先在\(\triangleACD\)和\(\triangleBCD\)中分别利用正弦定理求出\(AC\)和\(BC\)，再在\(\triangleABC\)中利用余弦定理求出\(AB\)。解：在\(\triangleACD\)中，\(\angleCAD=180^{\circ}\angleADC\angleACD=180^{\circ}85^{\circ}47^{\circ}=48^{\circ}\)。由正弦定理\(\frac{AC}{\sin\angleADC}=\frac{CD}{\sin\angleCAD}\)，可得\(AC=\frac{CD\sin\angleADC}{\sin\angleCAD}=\frac{100\sin85^{\circ}}{\sin48^{\circ}}\)。在\(\triangleBCD\)中，\(\angleCBD=180^{\circ}\angleBDC\angleBCD=180^{\circ}60^{\circ}72^{\circ}=48^{\circ}\)。由正弦定理\(\frac{BC}{\sin\angleBDC}=\frac{CD}{\sin\angleCBD}\)，可得\(BC=\frac{CD\sin\angleBDC}{\sin\angleCBD}=\frac{100\sin60^{\circ}}{\sin48^{\circ}}\)。在\(\triangleABC\)中，由余弦定理\(AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}2AC\cdotBC\cdot\cos\angleACB\)，而\(\angleACB=\angleACD+\angleBCD=47^{\circ}+72^{\circ}=119^{\circ}\)。所以\(AB^{2}=(\frac{100\sin85^{\circ}}{\sin48^{\circ}})^2+(\frac{100\sin60^{\circ}}{\sin48^{\circ}})^22\times\frac{100\sin85^{\circ}}{\sin48^{\circ}}\times\frac{100\sin60^{\circ}}{\sin48^{\circ}}\times\cos119^{\circ}\)。计算可得\(AB\approx168.5m\)。总结：解决解三角形的实际应用问题，关键是根据实际情况建立数学模型，将实际问题转化为解三角形问题，然后运用正弦定理、余弦定理等知识进行求解。（三）课堂练习1.在\(\triangleABC\)中，已知\(A=60^{\circ}\)，\(b=1\)，\(S_{\triangleABC}=\sqrt{3}\)，则\(\frac{a}{\sinA}\)的值为（）A.\(\frac{8\sqrt{3}}{81}\)B.\(\frac{2\sqrt{39}}{3}\)C.\(\frac{26\sqrt{3}}{3}\)D.\(2\sqrt{7}\)2.在\(\triangleABC\)中，\(a=3\)，\(b=5\)，\(\sinA=\frac{1}{3}\)，则\(\sinB=\)（）A.\(\frac{1}{5}\)B.