电子教案-高频电子线路-习题解答-第二章

电子教案-高频电子线路-习题解答-第二章一、习题2.1题目已知载波电压\(u_c=U_c\cos(\omega_ct)\)，调制信号电压\(u_{\Omega}=U_{\Omega}\cos(\omega_{\Omega}t)\)，试分别写出调幅波、调频波和调相波的表达式。解答1.调幅波表达式：普通调幅波（AM）的表达式为\(u_{AM}(t)=U_c(1+m_a\cos(\omega_{\Omega}t))\cos(\omega_ct)\)，其中\(m_a=\frac{U_{\Omega}}{U_c}\)为调幅系数。展开可得\(u_{AM}(t)=U_c\cos(\omega_ct)+m_aU_c\cos(\omega_ct)\cos(\omega_{\Omega}t)\)。根据三角函数的积化和差公式\(\cosA\cosB=\frac{1}{2}[\cos(A+B)+\cos(AB)]\)，进一步得到\(u_{AM}(t)=U_c\cos(\omega_ct)+\frac{m_aU_c}{2}[\cos((\omega_c+\omega_{\Omega})t)+\cos((\omega_c\omega_{\Omega})t)]\)。2.调频波表达式：调频波的瞬时频率\(\omega(t)=\omega_c+k_fu_{\Omega}(t)=\omega_c+k_fU_{\Omega}\cos(\omega_{\Omega}t)\)。设调频波的初始相位为\(\varphi_0\)，则相位\(\varphi(t)=\int_{0}^{t}\omega(\tau)d\tau+\varphi_0=\omega_ct+\frac{k_fU_{\Omega}}{\omega_{\Omega}}\sin(\omega_{\Omega}t)+\varphi_0\)。调频波的表达式为\(u_{FM}(t)=U_c\cos(\omega_ct+\frac{k_fU_{\Omega}}{\omega_{\Omega}}\sin(\omega_{\Omega}t)+\varphi_0)\)。令\(m_f=\frac{k_fU_{\Omega}}{\omega_{\Omega}}\)为调频指数，则\(u_{FM}(t)=U_c\cos(\omega_ct+m_f\sin(\omega_{\Omega}t)+\varphi_0)\)。3.调相波表达式：调相波的瞬时相位\(\varphi(t)=\varphi_c+k_pu_{\Omega}(t)=\varphi_c+k_pU_{\Omega}\cos(\omega_{\Omega}t)\)。调相波的表达式为\(u_{PM}(t)=U_c\cos(\varphi_c+k_pU_{\Omega}\cos(\omega_{\Omega}t))\)。令\(m_p=k_pU_{\Omega}\)为调相指数，则\(u_{PM}(t)=U_c\cos(\varphi_c+m_p\cos(\omega_{\Omega}t))\)。二、习题2.2题目已知某调幅波的表达式为\(u(t)=5(1+0.6\cos(2\pi\times10^3t))\cos(2\pi\times10^6t)\)V，试求：1.载波频率\(f_c\)、调制信号频率\(f_{\Omega}\)、调幅系数\(m_a\)。2.该调幅波的频带宽度\(B_{AM}\)。3.画出该调幅波的频谱图。解答1.求载波频率\(f_c\)、调制信号频率\(f_{\Omega}\)、调幅系数\(m_a\)：已知调幅波表达式\(u(t)=5(1+0.6\cos(2\pi\times10^3t))\cos(2\pi\times10^6t)\)。对于载波电压\(u_c=U_c\cos(\omega_ct)\)，这里\(\omega_c=2\pi\times10^6\rad/s\)，所以载波频率\(f_c=\frac{\omega_c}{2\pi}=10^6\Hz=1\MHz\)。对于调制信号电压\(u_{\Omega}=U_{\Omega}\cos(\omega_{\Omega}t)\)，这里\(\omega_{\Omega}=2\pi\times10^3\rad/s\)，所以调制信号频率\(f_{\Omega}=\frac{\omega_{\Omega}}{2\pi}=10^3\Hz=1\kHz\)。调幅系数\(m_a\)由表达式中\(\cos(\omega_{\Omega}t)\)的系数决定，\(m_a=0.6\)。2.求该调幅波的频带宽度\(B_{AM}\)：根据调幅波频带宽度公式\(B_{AM}=2f_{\Omega}\)。已知\(f_{\Omega}=1\kHz\)，所以\(B_{AM}=2\times1\kHz=2\kHz\)。3.画出该调幅波的频谱图：调幅波的频谱由载波分量和上下边频分量组成。载波频率\(f_c=1\MHz\)，幅度为\(U_c=5\V\)。上边频频率\(f_{c}+f_{\Omega}=1\MHz+1\kHz=1.001\MHz\)，幅度为\(\frac{m_aU_c}{2}=\frac{0.6\times5}{2}=1.5\V\)。下边频频率\(f_{c}f_{\Omega}=1\MHz1\kHz=0.999\MHz\)，幅度为\(\frac{m_aU_c}{2}=1.5\V\)。频谱图以频率\(f\)为横轴，幅度为纵轴，画出\(f=0.999\MHz\)、\(f=1\MHz\)、\(f=1.001\MHz\)处的谱线，\(f=1\MHz\)处幅度为\(5\V\)，\(f=0.999\MHz\)和\(f=1.001\MHz\)处幅度为\(1.5\V\)。三、习题2.3题目已知某调幅发射机，载波功率\(P_c=10\kW\)，调幅系数\(m_a=0.8\)，试求：1.边频功率\(P_{SB}\)。2.总功率\(P_{T}\)。解答1.求边频功率\(P_{SB}\)：调幅波总功率\(P_T\)与载波功率\(P_c\)和边频功率\(P_{SB}\)的关系为\(P_T=P_c+P_{SB}\)。边频功率\(P_{SB}\)的计算公式为\(P_{SB}=P_c\frac{m_a^2}{2}\)。已知\(P_c=10\kW\)，\(m_a=0.8\)，则\(P_{SB}=10\times\frac{0.8^2}{2}=3.2\kW\)。2.求总功率\(P_{T}\)：由\(P_T=P_c+P_{SB}\)。已求得\(P_c=10\kW\)，\(P_{SB}=3.2\kW\)，所以\(P_T=10+3.2=13.2\kW\)。四、习题2.4题目已知调制信号\(u_{\Omega}(t)=U_{\Omega}\cos(\omega_{\Omega}t)\)，载波电压\(u_c(t)=U_c\cos(\omega_ct)\)，设初始相位为零，试推导窄带调频波和窄带调相波的表达式，并说明它们之间的关系。解答1.窄带调频波表达式推导：调频波的瞬时频率\(\omega(t)=\omega_c+k_fu_{\Omega}(t)=\omega_c+k_fU_{\Omega}\cos(\omega_{\Omega}t)\)。当为窄带调频时，\(k_fU_{\Omega}\ll\omega_c\)，此时相位\(\varphi(t)=\int_{0}^{t}\omega(\tau)d\tau=\omega_ct+\frac{k_fU_{\Omega}}{\omega_{\Omega}}\sin(\omega_{\Omega}t)\)。窄带调频波表达式\(u_{NBFM}(t)=U_c\cos(\omega_ct+\frac{k_fU_{\Omega}}{\omega_{\Omega}}\sin(\omega_{\Omega}t))\)。根据三角函数公式\(\cos(A+B)=\cosA\cosB\sinA\sinB\)，将上式展开得\(u_{NBFM}(t)=U_c\cos(\omega_ct)\cos(\frac{k_fU_{\Omega}}{\omega_{\Omega}}\sin(\omega_{\Omega}t))U_c\sin(\omega_ct)\sin(\frac{k_fU_{\Omega}}{\omega_{\Omega}}\sin(\omega_{\Omega}t))\)。因为\(k_fU_{\Omega}\ll\omega_c\)，\(\cos(\frac{k_fU_{\Omega}}{\omega_{\Omega}}\sin(\omega_{\Omega}t))\approx1\)，\(\sin(\frac{k_fU_{\Omega}}{\omega_{\Omega}}\sin(\omega_{\Omega}t))\approx\frac{k_fU_{\Omega}}{\omega_{\Omega}}\sin(\omega_{\Omega}t)\)。所以窄带调频波表达式为\(u_{NBFM}(t)=U_c\cos(\omega_ct)\frac{k_fU_{\Omega}}{\omega_{\Omega}}U_c\sin(\omega_ct)\sin(\omega_{\Omega}t)\)。2.窄带调相波表达式推导：调相波的瞬时相位\(\varphi(t)=\varphi_c+k_pu_{\Omega}(t)=\varphi_c+k_pU_{\Omega}\cos(\omega_{\Omega}t)\)。当为窄带调相时，\(k_pU_{\Omega}\ll\omega_c\)，窄带调相波表达式\(u_{NBPM}(t)=U_c\cos(\varphi_c+k_pU_{\Omega}\cos(\omega_{\Omega}t))\)。展开得\(u_{NBPM}(t)=U_c\cos(\varphi_c)\cos(k_pU_{\Omega}\cos(\omega_{\Omega}t))U_c\sin(\varphi_c)\sin(k_pU_{\Omega}\cos(\omega_{\Omega}t))\)。因为\(k_pU_{\Omega}\ll\omega_c\)，\(\cos(k_pU_{\Omega}\cos(\omega_{\Omega}t))\approx1\)，\(\sin(k_pU_{\Omega}\cos(\omega_{\Omega}t))\approxk_pU_{\Omega}\cos(\omega_{\Omega}t)\)。所以窄带调相波表达式为\(u_{NBPM}(t)=U_c\cos(\varphi_c)k_pU_{\Omega}U_c\sin(\varphi_c)\cos(\omega_{\Omega}t)\)。3.它们之间的关系：比较窄带调频波和窄带调相波表达式，若令\(k_f=\frac{k_p}{\omega_{\Omega}}\)，则窄带调频波和窄带调相波表达式形式上是相似的。窄带调频波和窄带调相波在窄带情况下，其波形特点和频谱结构有相似之处，只是调制指数与调制参数的关系有所不同。窄带调频的调制指数为\(m_f=\frac{k_fU_{\Omega}}{\omega_{\Omega}}\)，窄带调相的调制指数为\(m_p=k_pU_{\Omega}\)，当\(k_f=\frac{k_p}{\omega_{\Omega}}\)时，两者调制指数在数值上有一定关联。五、习题2.5题目已知某调频波，载波频率\(f_c=100\MHz\)，调制信号频率\(f_{\Omega}=1\kHz\)，调频指数\(m_f=10\)，试求：1.调频波的频带宽度\(B_{FM}\)。2.若调制信号幅度不变，频率增大为\(f_{\Omega}'=2\kHz\)，此时调频波的频带宽度\(B_{FM}'\)。解答1.求调频波的频带宽度\(B_{FM}\)：根据调频波频带宽度公式\(B_{FM}=2(m_f+1)f_{\Omega}\)。已知\(f_c=100\MHz\)，\(f_{\Omega}=1\kHz\)，\(m_f=10\)，则\(B_{FM}=2(10+1)\times1\kHz=22\kHz\)。2.求调制信号频率增大后的频带宽度\(B_{FM}'\)：当调制信号频率变为\(f_{\Omega}'=2\kHz\)，调制信号幅度不变，调频指数变为\(m_f'=\frac{k_fU_{\Omega}}{f_{\Omega}'}\)。由于调制信号幅度不变，\(m_f=\frac{k_fU_{\Omega}}{f_{\Omega}}\)，所以\(m_f'=\frac{f_{\Omega}}{f_{\Omega}'}m_f\)。这里\(f_{\Omega}=1\kHz\)，\(f_{\Omega}'=2\kHz\)，\(m_f=10\)，则\(m_f'=\frac{1}{2}\times10=5\)。此时频带宽度\(B_{FM}'=2(m_f'+1)f_{\Omega}'\)。代入\(m_f'=5\)，\(f_{\Omega}'=2\kHz\)，得\(B_{FM}'=2(5+1)\times2\kHz=24\kHz\)。六、习题2.6题目已知某调相波，载波频率\(f_c=50\MHz\)，调制信号\(u_{\Omega}(t)=U_{\Omega}\cos(\omega_{\Omega}t)\)，调相指数\(m_p=5\)，试求：1.调制信号频率\(f_{\Omega}\)为某值时调相波的频带宽度\(B_{PM}\)。2.若调制信号频率增大一倍，调相波的频带宽度\(B_{PM}'\)。解答1.求调制信号频率\(f_{\Omega}\)为某值时调相波的频带宽度