切线的性质和判定教案

切线的性质和判定教案一、教学目标1.知识与技能目标学生能理解切线的判定定理和性质定理，并能准确表述其内容。学生能运用切线的判定定理和性质定理进行简单的证明和计算，解决与切线相关的几何问题。2.过程与方法目标通过探索切线的判定定理和性质定理的过程，培养学生的观察、分析、归纳和逻辑推理能力。经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展学生的合情推理能力和演绎推理能力，体会数学思想方法。3.情感态度与价值观目标通过积极参与数学活动，培养学生勇于探索的精神，激发学生学习数学的兴趣。在数学学习活动中，培养学生的合作交流意识，体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心。二、教学重难点1.教学重点切线的判定定理和性质定理的理解与掌握。运用切线的判定定理和性质定理解决相关的几何问题。2.教学难点切线判定定理中"经过半径的外端并且垂直于这条半径"这两个条件的理解与应用。灵活运用切线的性质定理和判定定理进行综合推理和证明。三、教学方法1.讲授法：通过清晰、准确的语言，向学生讲解切线的性质和判定的基本概念、定理及证明过程，使学生系统地掌握知识。2.直观演示法：利用多媒体、实物模型等直观手段，展示切线的形成过程、切线与圆的位置关系等，帮助学生直观地理解抽象的概念和定理。3.讨论法：组织学生就切线的判定和性质相关问题进行讨论，鼓励学生积极思考、发表自己的见解，培养学生的合作交流能力和思维能力。4.练习法：通过有针对性的练习题，让学生及时巩固所学的切线的判定和性质知识，提高学生运用知识解决问题的能力。四、教学过程（一）导入新课（5分钟）1.复习回顾提问：什么是圆的切线？（引导学生回答直线与圆只有一个公共点时，这条直线叫做圆的切线）展示一些直线与圆的位置关系的图形，让学生判断哪些直线是圆的切线，回顾直线与圆的三种位置关系（相交、相切、相离）。2.情境导入播放一段视频：工人师傅在制作圆形零件时，如何用工具在材料上画出圆形零件的切线，以确保零件的边缘符合设计要求。提出问题：工人师傅是依据什么来确定画出的直线是圆的切线呢？这节课我们就来深入研究切线的性质和判定。（二）探究新知（25分钟）1.切线的判定定理实验操作让学生在纸上画一个圆O，半径为OA，在圆上取一点A，过点A作一条直线l。思考：当直线l满足什么条件时，直线l是圆O的切线？引导学生尝试不同的画法，通过观察、测量等方法，探索直线l与圆O的位置关系和直线l与半径OA的关系。教师利用几何画板进行动态演示，当直线l经过点A且垂直于半径OA时，直线l与圆O只有一个公共点，即直线l是圆的切线。归纳总结引导学生总结切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。强调定理中的两个条件：一是经过半径的外端，二是垂直于这条半径，缺一不可。符号语言表示已知：如图，OA是⊙O的半径，直线l经过点A，且l⊥OA。求证：直线l是⊙O的切线。证明：因为直线l经过半径OA的外端A，且l⊥OA，根据切线的定义，直线l与圆O只有一个公共点，所以直线l是⊙O的切线。符号语言：∵OA是⊙O的半径，l⊥OA于点A，∴直线l是⊙O的切线。2.切线的性质定理观察思考展示一个圆O，一条切线l与圆O相切于点A，连接OA。引导学生观察切线l与半径OA的位置关系，提问：切线l与半径OA有什么特殊的位置关系？学生通过观察、思考，发现切线l垂直于半径OA。理论证明已知：如图，直线l与⊙O相切于点A，OA是⊙O的半径。求证：l⊥OA。证明：假设l与OA不垂直，过点O作OB⊥l于点B。因为直线l与⊙O相切于点A，所以圆心O到直线l的距离等于半径，即OB=OA。又因为OB⊥l，在Rt△OAB中，OB是直角边，OA是斜边，所以OB＜OA，这与OB=OA矛盾。所以假设不成立，即l⊥OA。归纳总结切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。符号语言：∵直线l是⊙O的切线，切点为A，OA是⊙O的半径，∴l⊥OA。（三）例题讲解（15分钟）例1：如图，已知直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。求证：直线AB是⊙O的切线。分析：要证明直线AB是⊙O的切线，已知直线AB经过圆上一点C，所以只需证明OC⊥AB即可。证明：连接OC。因为OA=OB，CA=CB，所以OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线。根据等腰三角形三线合一的性质，可得OC⊥AB。又因为OC是⊙O的半径，所以直线AB是⊙O的切线。例2：如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，C是⊙O上一点，∠APB=40°，求∠ACB的度数。分析：连接OA、OB，根据切线的性质可知OA⊥PA，OB⊥PB，再利用四边形内角和求出∠AOB的度数，最后根据圆周角定理求出∠ACB的度数。解：连接OA、OB。因为PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，所以OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°。在四边形OAPB中，∠AOB+∠OAP+∠APB+∠OBP=360°，已知∠APB=40°，所以∠AOB=360°90°90°40°=140°。当点C在优弧AB上时，∠ACB=1/2∠AOB=70°；当点C在劣弧AB上时，∠ACB=180°70°=110°。综上，∠ACB的度数为70°或110°。（四）课堂练习（15分钟）1.已知⊙O的半径为3，直线l与⊙O相切，圆心O到直线l的距离是（）A.1.5B.3C.6D.92.如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD。求证：DC是⊙O的切线。3.如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠P=50°，那么∠ACB等于（）A.40°B.50°C.65°D.130°（五）课堂小结（5分钟）1.引导学生回顾本节课所学内容，包括切线的判定定理和性质定理。2.请学生分享自己在本节课中的收获和体会，以及在学习过程中遇到的困难和解决方法。3.教师对学生的发言进行总结和补充，强调本节课的重点知识和解题方法，鼓励学生在课后继续巩固和拓展。（六）布置作业（5分钟）1.书面作业教材课后练习题第1、2、3题。已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC=30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D。求∠D的度数。2.拓展作业如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD。过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F。求证：点F是AC的中点。若⊙O的半径为5，BC=12，求线段EF的长。五、教学反思通过本节课的教学，学生对切线的性质和判定有了较为深入的理解和掌握，能够运用相关定理进行简单的证明和计算。在教学过程中，采用了多种教学方法，如讲授法、直观演示法、讨论法和练习法等，激发了学生的学习兴趣，培养了学生的观察、分析、归纳和逻辑推理能力。同时，通过例题讲解和课堂练习，及时巩固了所学知识，提高了学生运用知识解决问题的能力。然而，在教学过程中也发现了一些不足之处。例如，在讲解切线判定定理时，虽然通过实验操作和动态演示帮助学生理解，但仍有部分学生对定理中的两个条件理解不够深刻，在应用时出现错误。在今后的教学中，应加强对这部分学生的个别辅导，通过更多的实例和练习，让他们熟练掌握切线的判定方法。另外，在课堂