高中数学必修二《2.1.1-平面》教学设计

高中数学必修二《2.1.1-平面》教学设计一、教学目标1.知识与技能目标让学生理解平面的概念，掌握平面的表示方法。使学生掌握平面的基本性质，即公理1、公理2、公理3，并能运用这些公理解决一些简单的问题。通过实例和练习，培养学生的空间想象能力、逻辑推理能力以及文字语言、图形语言和符号语言之间的转化能力。2.过程与方法目标通过对生活中实际例子的观察、分析，引导学生抽象出平面的概念，培养学生的观察能力和抽象概括能力。在探究平面基本性质的过程中，让学生经历直观感知、操作确认、推理论证等数学活动，体会数学知识的形成过程，提高学生的数学思维能力。通过练习和例题，让学生学会运用平面的基本性质进行推理和证明，培养学生的逻辑推理能力和表达能力。3.情感态度与价值观目标通过对平面概念和性质的学习，让学生感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。在探究活动中，培养学生的合作交流意识和勇于探索的精神，让学生体会数学的严谨性和科学性。二、教学重难点1.教学重点平面的概念和表示方法。平面的基本性质，即公理1、公理2、公理3。运用平面的基本性质进行简单的推理和证明。2.教学难点对平面概念的理解，平面是一个抽象的几何概念，没有具体的实物与之对应。平面基本性质的理解和应用，特别是公理3的理解和应用，学生容易出现逻辑混乱的情况。三种语言（文字语言、图形语言和符号语言）之间的转化，这需要学生具备较强的抽象思维能力和表达能力。三、教学方法1.讲授法：讲解平面的概念、表示方法以及平面的基本性质，使学生系统地掌握新知识。2.直观演示法：通过展示生活中的实例、实物模型以及多媒体动画等，让学生直观地感受平面的存在和性质，帮助学生理解抽象的概念。3.探究法：引导学生对平面的基本性质进行探究，让学生在探究过程中发现问题、解决问题，培养学生的探究能力和创新思维。4.练习法：通过适量的练习题，让学生及时巩固所学知识，提高学生运用知识解决问题的能力。四、教学过程（一）导入新课1.展示生活实例利用多媒体展示一些生活中常见的平面图形，如黑板面、桌面、平静的水面等。提问学生：这些物体的表面有什么共同的特征？2.引导学生思考让学生观察教室中的物体，思考哪些物体的表面可以近似地看作平面。请学生举例说明生活中还有哪些地方可以看到平面的形象。3.引出课题通过对生活实例的观察和分析，引出本节课的课题平面。（二）讲解新课1.平面的概念定义：几何里所说的"平面"，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的。几何里的平面是无限延展的。特征：平面是平的，没有厚度。平面是无限延展的，没有边界。表示方法：通常用希腊字母α、β、γ等表示平面，如平面α、平面β、平面γ等。也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写英文字母来表示，如平面ABCD、平面AC等。2.平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。文字语言：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。图形语言：（画出直线l在平面α内的图形）符号语言：A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α作用：判断直线是否在平面内的依据。实例分析：教师拿出一支笔，将笔的两端分别放在讲台上，让学生观察笔是否在讲台所在的平面内，引导学生理解公理1。公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。文字语言：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。图形语言：（画出过A、B、C三点的平面α）符号语言：A、B、C三点不共线⇒存在唯一的平面α，使A∈α，B∈α，C∈α作用：确定平面的依据。实例分析：教师拿出一个三脚架，将三脚架的三个脚分别放在地面上，让学生观察三脚架是否能稳定地支撑在地面上，引导学生理解公理2。公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。文字语言：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。图形语言：（画出两个平面α和β相交于直线l，点P在直线l上的图形）符号语言：P∈α，P∈β⇒α∩β=l，且P∈l作用：判断两个平面相交的依据，以及确定两个平面交线的依据。实例分析：教师将一本书打开，让学生观察书的两个页面的交线，引导学生理解公理3。3.三种语言的转化引导学生将平面的基本性质的文字语言、图形语言和符号语言进行相互转化。例如：文字语言："如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内"转化为图形语言和符号语言。图形语言：（画出相应的图形）转化为文字语言和符号语言。符号语言："A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α"转化为文字语言和图形语言。通过练习，让学生熟练掌握三种语言的转化，提高学生的抽象思维能力和表达能力。（三）例题讲解例1：判断下列说法是否正确，并说明理由。（1）平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点。（2）经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。（3）经过两条相交直线，有且只有一个平面。（4）如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合。解：（1）错误。平面α与平面β相交，它们有一条公共直线，这条直线上有无数个公共点。（2）正确。根据公理2，过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。设直线为l，直线外一点为A，在直线l上取两点B、C，则A、B、C三点不共线，所以经过A、B、C三点有且只有一个平面，即经过直线l和点A有且只有一个平面。（3）正确。设两条相交直线为a、b，它们的交点为P。在直线a上取一点A（异于P），在直线b上取一点B（异于P），则A、B、P三点不共线，根据公理2，经过A、B、P三点有且只有一个平面，即经过两条相交直线a、b有且只有一个平面。（4）正确。根据公理2，过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这三个点确定一个平面，所以这两个平面重合。例2：已知△ABC在平面α外，AB∩α=P，AC∩α=R，BC∩α=Q，求证：P、Q、R三点共线。证明：因为AB∩α=P，所以P∈AB，P∈α。又因为AB⊂平面ABC，所以P∈平面ABC。所以P是平面ABC与平面α的公共点。同理，R是平面ABC与平面α的公共点，Q是平面ABC与平面α的公共点。根据公理3，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。所以平面ABC与平面α的公共直线经过P、Q、R三点，即P、Q、R三点共线。（四）课堂练习1.下列说法正确的是（）A.平面是有边界的B.一个平面的面积可以是16cm²C.平面是无限延展的D.平面就是平行四边形2.空间中四点可确定的平面有（）A.1个B.3个C.4个D.1个或4个或无数个3.已知直线a，b，c，若a⊂α，b⊂α，c∩a=A，c∩b=B，求证：直线c在平面α内。4.已知平面α与平面β相交于直线l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，画出满足条件的图形，并指出平面ABC与平面α的交线。（五）课堂小结1.请学生回顾本节课所学的主要内容，包括平面的概念、表示方法、平面的基本性质以及三种语言的转化。2.教师对学生的回答进行补充和完善，强调本节课的重点和难点，以及在学习过程中需要注意的问题。3.总结平面基本性质的应用，如判断直线与平面的位置关系、确定平面、证明点共线、线共面等问题的方法。（六）布置作业1.教材P51练习第1、2、3、4题。2.已知正方体ABCDA₁B₁C₁D₁，E、F分别为棱A₁D₁、C₁D₁的中点，求证：平面ACE与平面BCF相交，并求其交线。五、教学反思在本节课的教学中，通过生活实例导入新课，能够激发学生的学习兴趣，让学生感受到数学与生活的紧密联系。在讲解平面的概念和性质时，运用直观演示法和探究法，让学生通过观察、操作、思考等活动，自主探究平面的概念和性质，培养了学生的观察能力、抽象概括能力和探究能力。同时，注重三种语言的转化训练，提高了学生的抽象思维能力和表达能力。在例题讲解和课堂练习环节，通过适量的题目让学生及时巩固所学知识，提高了学生运用知识解决问题的能力。然而，在教学过程中也发现了一些不足之处。例如，对于平面概念的理解，部分学生还存在困难，需要在今后的教学中进一步加强引导。在平面基本性质的应用方面，学生的逻辑推理能力还