TI图形计算器在三角函数教学中的实际应用

TI图形计算器在三角函数教学中的实际应用摘要：本文探讨了TI图形计算器在三角函数教学中的实际应用。通过介绍TI图形计算器的功能特点，阐述了其如何在三角函数概念讲解、图像绘制、性质探究、公式推导与验证以及实际问题解决等方面发挥作用，有效帮助学生理解和掌握三角函数知识，提高教学效果和学生的数学素养。一、引言三角函数是高中数学的重要内容，它具有概念抽象、公式繁多、图像复杂等特点，给学生的学习带来了一定的困难。传统的教学方法往往侧重于理论讲解和公式推导，学生在理解和应用方面存在诸多障碍。TI图形计算器作为一种先进的数学教学工具，具有强大的图形绘制、数据处理和动态演示功能，能够为三角函数教学提供直观、形象的教学手段，帮助学生更好地理解三角函数的本质，提高学习效率。二、TI图形计算器简介TI图形计算器是德州仪器公司生产的一系列具有图形显示功能的计算器，如TI84Plus等型号。它集计算、绘图、编程等多种功能于一体。其主要特点包括：1.强大的计算功能：能够快速准确地进行各种数值计算，包括三角函数的求值计算，如计算sin30°、cos45°等。2.直观的图形绘制功能：可以方便地绘制三角函数的图像，如y=sinx、y=cosx、y=tanx等，通过图像直观展示函数的形态。3.动态演示功能：可以对函数进行动态变化演示，观察函数在不同参数变化下的图像变化情况，帮助学生理解函数的性质。4.数据处理功能：能对实验数据等进行处理和分析，辅助三角函数在实际问题中的应用教学。三、TI图形计算器在三角函数概念教学中的应用（一）直观引入三角函数概念在讲解三角函数概念时，传统教学往往从直角三角形中的边角关系引入，对于学生来说较为抽象。利用TI图形计算器，可以通过动态演示摩天轮的运动来引入。在TI图形计算器上编写一个简单的程序，模拟摩天轮的转动过程。设摩天轮的半径为R，座舱离地面的初始高度为h，摩天轮以角速度ω匀速转动，经过时间t后，座舱离地面的高度y与时间t的关系可以表示为y=Rsin(ωt)+h。通过在计算器屏幕上实时显示座舱高度随时间的变化曲线（即函数y=Rsin(ωt)+h的图像），让学生直观地看到随着时间的推移，座舱高度呈现周期性的变化，从而引出三角函数是描述周期变化现象的数学模型这一概念，使学生更容易理解三角函数的本质。（二）理解三角函数的定义域和值域利用TI图形计算器绘制不同三角函数的图像，让学生观察图像的范围来确定定义域和值域。例如，绘制y=sinx的图像，学生可以清晰地看到x可以取任意实数，而y的值在[1,1]之间，从而直观地得出正弦函数的定义域为R，值域为[1,1]。对于余弦函数y=cosx也可以通过类似的方法让学生自主观察得出其定义域为R，值域为[1,1]。对于正切函数y=tanx，绘制图像时会发现x不能取某些值（如x=kπ+π/2,k∈Z），从而确定其定义域，同时观察到函数值可以取到任意实数，得出值域为R。四、TI图形计算器在三角函数图像绘制中的应用（一）绘制标准三角函数图像1.绘制y=sinx的图像在TI图形计算器的"Y="菜单中输入"Y1=sin(X)"，然后按下"GRAPH"键，即可快速绘制出正弦函数的图像。学生可以观察到正弦函数的图像是一条波浪线，具有周期性，周期为2π，并且关于原点对称等特点。2.绘制y=cosx的图像同样在"Y="菜单中输入"Y2=cos(X)"，绘制出余弦函数的图像。与正弦函数图像对比，学生可以发现余弦函数图像与正弦函数图像形状相同，只是位置有所不同，余弦函数图像是正弦函数图像向左平移π/2个单位得到的，并且余弦函数图像关于y轴对称。3.绘制y=tanx的图像在"Y="菜单中输入"Y3=tan(X)"，绘制正切函数图像。学生可以看到正切函数图像是由无数条曲线组成，具有渐近线x=kπ+π/2,k∈Z，通过观察图像能更好地理解正切函数的定义域和函数的变化趋势。（二）观察函数图像的变换1.振幅变换在绘制y=sinx的基础上，输入"Y4=2sin(X)"，绘制出y=2sinx的图像。学生可以对比y=sinx和y=2sinx的图像，发现y=2sinx的图像是将y=sinx的图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，从而理解振幅A对函数图像的影响，即y=Asinx（A>0）的振幅为A，它决定了函数图像在y轴方向上的伸缩程度。2.周期变换输入"Y5=sin(2X)"，绘制y=sin(2x)的图像。对比y=sinx和y=sin(2x)的图像，学生可以发现y=sin(2x)的周期变为π，是y=sinx周期的一半。从而理解ω对函数周期的影响，对于y=sin(ωx)（ω>0），其周期T=2π/ω。3.相位变换输入"Y6=sin(X+π/3)"，绘制y=sin(x+π/3)的图像。观察到y=sin(x+π/3)的图像是将y=sinx的图像向左平移了π/3个单位，理解φ对函数图像相位的影响，即y=sin(x+φ)（φ>0）的图像是将y=sinx的图像向左平移φ个单位。通过TI图形计算器进行函数图像变换的演示，学生可以更加直观地理解三角函数图像变换的规律，比传统的理论讲解更容易掌握。五、TI图形计算器在三角函数性质探究中的应用（一）周期性探究利用TI图形计算器的表格功能，观察三角函数值的变化规律来探究周期性。对于y=sinx，在计算器的"TBLSET"菜单中设置合适的起始值和步长，如起始值X=0，步长ΔX=π/6，然后按下"TABLE"键，得到一系列x和sinx的值。学生可以观察到随着x的增大，sinx的值呈现出周期性重复出现的规律，每隔2π重复一次，从而验证正弦函数的周期为2π。对于余弦函数和正切函数也可以用类似的方法进行探究。（二）单调性探究绘制三角函数图像，结合图像观察函数的单调性。例如，绘制y=sinx的图像后，观察图像在一个周期内的上升和下降部分。在区间[π/2,π/2]上，图像是上升的，说明y=sinx在[π/2,π/2]上单调递增；在区间[π/2,3π/2]上，图像是下降的，说明y=sinx在[π/2,3π/2]上单调递减。通过这种直观的方式，学生可以更好地理解三角函数的单调性，并且可以进一步探究在整个定义域内的单调区间情况。（三）奇偶性探究观察三角函数图像的对称性来判断奇偶性。绘制y=sinx的图像，发现图像关于原点对称，所以正弦函数是奇函数，即sin(x)=sinx。绘制y=cosx的图像，发现图像关于y轴对称，所以余弦函数是偶函数，即cos(x)=cosx。学生通过观察图像的对称性质，能够更深刻地理解三角函数的奇偶性概念。六、TI图形计算器在三角函数公式推导与验证中的应用（一）两角和与差的正弦公式推导1.利用单位圆模型在TI图形计算器上绘制单位圆，设角α和β的终边与单位圆分别交于A、B两点。通过计算向量OA和OB的坐标，利用向量的加法和三角函数的定义来推导两角和的正弦公式。设A(cosα,sinα)，B(cosβ,sinβ)，则向量OA+OB=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)。设向量OA+OB与x轴正方向的夹角为γ，则sinγ=(sinα+sinβ)/|OA+OB|。通过计算器计算|OA+OB|，并利用三角函数的诱导公式等进行化简，最终可以推导出sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ。2.验证公式在"Y="菜单中输入"Y1=sin(X+π/6)"和"Y2=sin(X)*cos(π/6)+cos(X)*sin(π/6)"，然后绘制这两个函数的图像。观察到两条曲线完全重合，说明sin(x+π/6)=sinxcos(π/6)+cosxsin(π/6)成立，从而验证了两角和的正弦公式。对于两角差的正弦公式sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ也可以用类似的方法进行推导和验证。（二）二倍角公式推导与验证1.推导在两角和的正弦公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ中，令β=α，得到sin2α=2sinαcosα。同样，在两角和的余弦公式cos(α+β)=cosαcosβsinαsinβ中令β=α，可得cos2α=cos²αsin²α=2cos²α1=12sin²α。2.验证在"Y="菜单中分别输入"Y3=sin(2X)"，"Y4=2*sin(X)*cos(X)"，"Y5=cos(2X)"，"Y6=2*cos(X)^21"，"Y7=12*sin(X)^2"，然后绘制这些函数的图像。可以发现Y3与Y4的图像重合，Y5与Y6、Y7的图像也分别重合，从而验证了二倍角公式的正确性。通过TI图形计算器进行公式的推导和验证，学生可以更加深入地理解公式的来源和本质，而不仅仅是死记硬背公式。七、TI图形计算器在三角函数实际问题解决中的应用（一）测量高度问题例如，要测量一个建筑物的高度。在距离建筑物底部一定距离（如d米）的地方，用TI图形计算器测量仰角α。根据三角函数正切的定义，tanα=h/d（h为建筑物高度），则h=dtanα。通过在计算器上输入已知的距离d和测量得到的仰角α的值，即可快速计算出建筑物的高度h。（二）简谐振动问题一个质点做简谐振动，其位移x与时间t的关系为x=Asin(ωt+φ)。已知A=2，ω=π/2，φ=π/6。利用TI图形计算器的绘图功能，输入"Y=2*sin((π/2)*X+π/6)"，绘制出位移随时间变化的图像。通过观察图像，学生可以直观地了解质点的振动情况，如振动的周期、振幅、初始相位等，还可以根据图像分析在不同时刻质点的位移、速度等物理量的变化情况。（三）交流电问题对于交流电的电压u=Umaxsin(ωt)，已知Umax=220√2，ω=100π。在TI图形计算器上绘制"Y=220*sqrt(2)*sin(100*π*X)"的图像，学生可以观察到电压随时间的周期性变化规律，理解交流电的概念。还可以通过计算不同时刻的电压值，分析电压的变化范围等，解决与交流电相关的实际问题，如计算电器在不同时刻的功率等。八、结论TI图形计算器在三角函数教学中具有重要的应用价值。它能够将抽象的三角函数知识直观化、形象化，帮