苏教版五年级数学下册典型例题第三单元：因数、倍数、质数、合数综合应用“基础版”(原卷版+解析)

2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列第三单元：因数、倍数、质数、合数综合应用“基础版”一、填空题。1．20的因数有()，其中最大的是()，既是质数又是偶数的是()。2．能同时被3和5整除的最小三位数是()，既有因数2，又是3和5的倍数的最大三位数是()。3．用4、3、0这三个数字组成的三位数中有()个是偶数，组成的三位数中最小的奇数是()。4．20的因数有()个，20的最小倍数是()，把20写成两个质数相加的形式是()＋()或()＋()。5．在□里填一个数字，使“9□”既是奇数又是5的倍数。这个数字是()。在□里填一个数字，使“5□2”既是3的倍数，又有因数2，这个数字最小是()。6．一个商场某天的收入是一个六位数（单位：元）。十万位上的数：既是偶数，又是质数。万位上的数：是最小的自然数。千位上的数：既是4的倍数，又是4的因数。百位上的数：既是2的倍数，又是3的倍数。十位上的数：既是奇数，又是合数。个位上的数：既是质数，又是奇数，并且是12的因数。你知道这个商场该天的收入是()元？7．哥德巴赫猜想被称为“数学皇冠上的明珠”，中国20世纪三十年代就开始着手这一研究。新中国成立后，我国数学家陈景润在这一领域取得了举世瞩目的成果。这一猜想是：所有大于2的偶数，可以表示为两个质数的和，如：，。照这样想：18＝()。8．定义运算“△”：对于两个自然数a和b，它们的最大公因数与最小公倍数的和记为。例如：。根据上面定义的运算，则()。9．哥德巴赫提出了这样一个猜想：所有大于2的偶数都可以表示为两个质数的和。请根据该猜想把下面的偶数写成两个质数的和。18＝()＋()

30＝()＋()10．五（1）班进行体操表演。若每行10人，则少2人；若每行8人，则正好排整行。已知这个班的学生人数在40到50之间，这个班有学生()人。二、解答题。11．丁丁也不甘示弱：你们知道著名的“斐波那契”数列吗？它是这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，21，……从第三个数开始，以后每个数都是它前两个数的和，请问：前2016个数中共有多少个偶数？12．五年级学生参加舞蹈队队员选拔。演出时需要两次队形变换，一次3人一组，一次5人一组，要求不能有剩余，已经有26人选上，至少再选多少人刚好合适？13．一个长方形草坪的周长是38米，它的长和宽的长度都是质数，这个草坪的面积是多少平方米？14．有95个苹果，如果每5个装一袋，能正好装完吗？如果每3个装一袋，能正好装完吗？如果不能，至少还需要多少个苹果才能正好装完？15．体育课上同学们做游戏，把全班60人平均分成相同的几组，每组不少于12人，不多于20人，有几种分法？16．42名同学去参观水立方，老师要把同学们平均分成若干小组，而且每组人数都是偶数，可以分成几组，每组几人？（组数大于1）（写出思考过程）17．果园里有几行果树，每行棵数相等。下面是几名小朋友数出的总棵数，其中只有一名小朋友数对了，你知道他是谁吗？说明理由。18．中国第一次参加奥运会的年份是一个四位数。千位上的数既不是质数也不是合数，百位上的数是一位数中最大的合数，十位上的数的最小倍数是3，个位上的数是最小的质数。中国第一次参加奥运会是哪一年？19．小明家无线网络的密码是一个六位数。从左数第一位既是偶数又是质数。第二位数既是4的倍数又是4的因数，第三位数既是奇数又是合数，第四位数不是0，且既不是质数也不是合数，第五位数是8的最小因数，最后一位数是最大的一位数。小明家无线网络的密码是多少？20．东东家电话号码前三位是521，第四位是最小的质数，第五位是最小的偶数，第六位是最小的奇数，末尾数字既是合数又是奇数，东东家电话号码是多少？2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列第三单元：因数、倍数、质数、合数综合应用“基础版”一、填空题。1．20的因数有()，其中最大的是()，既是质数又是偶数的是()。【答案】1、2、4、5、10、20202【分析】列乘法算式找因数，按照从小到大的顺序，一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式，乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。除了1和它本身以外不再有其他因数，这样的数叫质数。【详解】20＝1×20＝2×10＝4×520的因数有1、2、4、5、10、20，其中最大的是20，既是质数又是偶数的是2。【点睛】关键是会求一个数的因数，理解质数和偶数的分类标准。2．能同时被3和5整除的最小三位数是()，既有因数2，又是3和5的倍数的最大三位数是()。【答案】105990【分析】个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。个位上是0或5的数都是5的倍数。一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。根据2、5、3的倍数的特征解答即可。【详解】因为能被5整除，所以这个最小三位数个位上是0或5；又因为这个三位数最小，所以百位上最小是1，十位上最小是0，1＋0＋5＝6，6是3的倍数，所以能同时被3和5整除的最小三位数是105。因为既有因数2，又是5的倍数，所以这个最大三位数个位上是0；又因为这个三位数最大，所以百位上是9，十位上也是9，9＋9＋0＝18，18是3的倍数，所以既有因数2，又是3和5的倍数的最大三位数是990。【点睛】此题考查了2、5、3的倍数的特征。求同时是2、5、3的倍数的数，可以先确定同时是2、5的倍数的数，再考虑这个数是3的倍数。3．用4、3、0这三个数字组成的三位数中有()个是偶数，组成的三位数中最小的奇数是()。【答案】3403【分析】整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。根据奇数、偶数的意义解答即可。【详解】用4、3、0这三个数字组成的三位数有430、403、340、304。其中430、340、304是偶数，共3个；403是奇数。即用4、3、0这三个数字组成的三位数中有3个偶数，组成的三位数中最小的奇数是403。【点睛】整数中，个位上是0，2，4，6，8的数是偶数，个位上是1，3，5，7，9的数是奇数。4．20的因数有()个，20的最小倍数是()，把20写成两个质数相加的形式是()＋()或()＋()。【答案】620317713【分析】求一个数的因数时，就用这个数从1开始去整除，一直除到除数和商交换位置或除数和商相同为止，除数和商都是被除数的因数，重复的因数只写一个；一个数的最大因数和最小倍数都是这个数本身；一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫作质数，先写出20以内的所有质数，再找出符合条件的质数，据此解答。【详解】20÷1＝2020÷2＝1020÷4＝520的因数有：1，2，4，5，10，20，一共6个因数。20以内的质数有：2，3，5，7，11，13，17，19。所以，20的因数有6个，20的最小倍数是20，把20写成两个质数相加的形式是3＋17或7＋13。【点睛】掌握因数和倍数的求法以及质数的意义是解答题目的关键。5．在□里填一个数字，使“9□”既是奇数又是5的倍数。这个数字是()。在□里填一个数字，使“5□2”既是3的倍数，又有因数2，这个数字最小是()。【答案】52【分析】根据5的倍数的特征，个位上是0或5的数都是5的倍数，据此解答第一空。根据2、3的倍数的特征，个位上是0、2、4、6、8的数都是2的倍数；一个数各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数一定是3的倍数。同时是2和3的倍数的数，个位上是偶数且各位上的数字之和是3的倍数。据此解答第二空。【详解】要使“9□”既是奇数又是5的倍数，□里这个数字是5；5＋2＝79－7＝2所以，在□里填一个数字，使“5□2”既是3的倍数，又有因数2，这个数字最小是2。【点睛】此题考查的目的是理解掌握2、3、5的倍数的特征及综合应用。6．一个商场某天的收入是一个六位数（单位：元）。十万位上的数：既是偶数，又是质数。万位上的数：是最小的自然数。千位上的数：既是4的倍数，又是4的因数。百位上的数：既是2的倍数，又是3的倍数。十位上的数：既是奇数，又是合数。个位上的数：既是质数，又是奇数，并且是12的因数。你知道这个商场该天的收入是()元？【答案】204693【分析】号码的每个数都是比10小的整数，也就是说每个数肯定是0到9两者以及两者之间的某个整数，那么根据偶数、质数、自然数、因数、倍数、奇数、合数的概念确定各个数位，就能得到这个商场某天的收入是204693。【详解】既是偶数，又是质数的数只有2，即十万位上的数是2；最小的自然数0，即万位上的数是0；既是4的倍数，又是4的因数的数是4，即千位上的数是4；既是2的倍数，又是3的倍数的数是6，即百位上的数是6；既是奇数，又是合数的数是9，即十位上的数是9；既是质数，又是奇数，并且是12的因数的数是3，即个位上的数是3。【点睛】理解和掌握自然数的概念，弄清因数和倍数、质数和合数、以及奇数和偶数之间的区别是解题关键。7．哥德巴赫猜想被称为“数学皇冠上的明珠”，中国20世纪三十年代就开始着手这一研究。新中国成立后，我国数学家陈景润在这一领域取得了举世瞩目的成果。这一猜想是：所有大于2的偶数，可以表示为两个质数的和，如：，。照这样想：18＝()。【答案】或【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数。根据质数的意义，先写出18以内的质数，再从中找出哪两个质数的和是18。【详解】18以内的质数有2，3，5，7，11，13，17。其中5＋13＝18，7＋11＝18。所以18＝5＋13或18＝7＋11。【点睛】明确质数的意义是解决此题的关键。8．定义运算“△”：对于两个自然数a和b，它们的最大公因数与最小公倍数的和记为。例如：。根据上面定义的运算，则()。【答案】231【分析】根据题意，求得57和12的最大公因数和最小公倍数，然后把最大公因数和最小公倍数相加即要。【详解】57＝3×1912＝2×2×357和12的最大公因数是：357和12的最小公倍数是：3×19×2×2＝2283＋228＝231【点睛】解答此题的关键是，根据定义的新运算，找出运算方法，列式解答即可。9．哥德巴赫提出了这样一个猜想：所有大于2的偶数都可以表示为两个质数的和。请根据该猜想把下面的偶数写成两个质数的和。18＝()＋()

30＝()＋()【答案】513723【分析】一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫作质数，列举出30以内的所有质数，再找出符合条件的质数，据此解答。【详解】30以内的质数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29，所以18＝5＋13＝7＋11，30＝7＋23＝11＋19＝13＋17。【点睛】掌握质数的意义并找出30以内的所有质数是解答题目的关键。10．五（1）班进行体操表演。若每行10人，则少2人；若每行8人，则正好排整行。已知这个班的学生人数在40到50之间，这个班有学生()人。【答案】48【分析】每行8人刚好排整行，总人数是8的倍数，每行10人，则少2人，总人数加上2应该是10的倍数；在40到50之间的8的倍数有40和48，40＋2＝42不是10的倍数排除，48＋2＝50，刚好是10的倍数，符合题意。【详解】根据分析可知，这个班的人数有48人。【点睛】此题考查一个数的倍数的求法，解决问题的关键在于明确倍数的取值范围。二、解答题。11．丁丁也不甘示弱：你们知道著名的“斐波那契”数列吗？它是这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，21，……从第三个数开始，以后每个数都是它前两个数的和，请问：前2016个数中共有多少个偶数？【答案】672个【分析】由奇数＋奇数＝偶数，偶数十奇数＝奇数，从而可以发现斐波那契数列中数列是以“奇数、奇数、偶数、奇数、奇数、偶数……”3个一周期排列的，所以2016÷3＝672（个）周期，每个周期里有1个偶数，672×1＝672（个），即有672个偶数。【详解】2016÷3＝672（个）672×1＝672（个）答：前2016个数中共有672个偶数。【点睛】找到题干中的数列规律是解题的关键。12．五年级学生参加舞蹈队队员选拔。演出时需要两次队形变换，一次3人一组，一次5人一组，要求不能有剩余，已经有26人选上，至少再选多少人刚好合适？【答案】4人【分析】只要舞蹈队的人数既是3的倍数，也是5的倍数即可，既是3的倍数又是5的倍数的特征：个位上的数字是0或5，各个数位上的数字的和是3的倍数的数，据此找到比26大，又最小的3和5的倍数，减去已选上人数即可。【详解】比26大，又是3和5的倍数，最小是30。30－26＝4（人）答：至少再选4人刚好合适。【点睛】关键是掌握3和5的倍数的特征。13．一个长方形草坪的周长是38米，它的长和宽的长度都是质数，这个草坪的面积是多少平方米？【答案】34平方米【分析】根据长方形周长公式：周长＝（长＋宽）×2，长＋宽＝周长÷2，代入数据，求出长与宽的和；再根据质数的意义：一个自然数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，求出长和宽；再根据长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，即可解答。【详解】38÷2＝19；19＝17＋2长方形的长是17米，宽是2米。面积：17×2＝34（平方米）答：这个草坪的面积是34平方米。【点睛】根据长方形周长公式、面积公式，以及质数的意义进行解答。14．有95个苹果，如果每5个装一袋，能正好装完吗？如果每3个装一袋，能正好装完吗？如果不能，至少还需要多少个苹果才能正好装完？【答案】如果每5个装一袋，能正好装完，如果每3个装一袋，不能正好装完，至少还需要1个苹果才能正好装完【分析】先计算一下95能不能被5和3整除，如果能，就能正好装完，反之，则不能；求至少还需几个，先求出余数，然后用除数减去余数，即至少买的个数。【详解】95÷5＝19（袋）95÷3＝31（袋）……2（个）3－2＝1（个）答：如果每5个装一袋，能正好装完，如果每3个装一袋，不能正好装完，至少还需要1个苹果才能正好装完。【点睛】此题考查3和5的倍数特征，明确它们的倍数特征是解题的关键。15．体育课上同学们做游戏，把全班60人平均分成相同的几组，每组不少于12人，不多于20人，有几种分法？【答案】3种【分析】根据找一个数的因数的方法，可以利用乘法算式，按因数从小到大的顺序一组一组地找，首先找出60的因数，通过每组不少于12人，不多于20人的条件，然后再判断即可。【详解】60的因数：1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60；每组12人，可以分成5组；每组15人，可以分成4组；每组20人，可以分成3组；答：有3种分法。【点睛】此题的解题关键是掌握找一个数的因数的方法。16．42名同学去参观水立方，老师要把同学们平均分成若干小组，而且每组人数都是偶数，可以分成几组，每组几人？（组数大于1）（写出思考过程）【答案】①分成21组，每组2人；②分成3组，每组14人；③分成7组，每组6人。【分析】写出乘积是42的所有乘法算式，偶数因数作为每组人数，另一个因数作为组数，组数不能为1。【详解】42＝1×42，42＝2×21，42＝3×14，42＝6×7；由于组数是大于1的数，所以分成2组，每组21人，不符合题意；分成21组，每组2人，符合题意；分成3组，每组14人，符合题意；分成14组，每组3人，不符合题意；分成6组，每组7人，不符合题意；分成7组，每组6人，符合题意。答：①分成21组，每组2人；②分成3组，每组14人；③分成7组，每组6人。【点睛】此题的关键是找到42的所有因数，并判断因数的奇偶性。17．果园里有几行果树，每行棵数相等。下面是几名小朋友数出的总棵数，其中只有一名小朋友数对了，你知道他是谁吗？说明理由。【答案】小明；理由见详解【分析】由题意可知，果园里有几行果树，且每行果树的棵数相等，则果树种植的行数是总棵数的因数，果树的总棵数除了1和它本身至少还有一个因数，一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数，所以果园里果树的总棵数是一个合数，据此解答。【详解】因为73的因数只有1和73，所以73是质数，不符合题意；因为75的因数有：1、3，5、15、25、75，所以75是合数，符合题意；因为79的因数只有1和79，所以79是质数，不符合题意；所以，果园里果树的总棵数是75棵。答：小明说对了。【点睛】本题主要考查质数、合数的应用，掌握质数、合数的意义是解答题目的关键。18．中国第一次参加奥运会的年份是一个四位数。千位上的数既不是质数也不是合数，百位上的数是一位数中最大的合数，十位上的数的最小倍数是3，个位上的数是最小的质数。中国第一次参加奥运会是哪一年？【答案】1932年【分析】质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。合数是指在大于1