吉林省长春市九台区2025届九年级上学期期末考试数学试卷(含解析)

2024-2025学年吉林省长春市九台区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8道题，每题3分，共24分）1．（3分）若有意义，则x的取值范围是（）A．x≥﹣1 B．x≤﹣1 C．x＞﹣1 D．x＜﹣12．（3分）盒子里有10个球，它们只有颜色不同，其中红球有6个，黄球有3个，黑球有1个．小军从中任意摸一个球，下面说法正确的是（）A．一定是红球 B．摸出红球的可能性最大 C．不可能是黑球 D．摸出黄球的可能性最小3．（3分）已知∠A是锐角，，则cosA的值为（）A． B． C． D．4．（3分）下面计算正确的是（）A． B． C． D．5．（3分）在△ABC中，∠ACB＝90°，用直尺和圆规在边AB上确定一点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，下列正确的是（）A． B． C． D．6．（3分）俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（）A．20.3% B．25.2% C．29.3% D．50%7．（3分）如图，已知点G是△ABC的重心，分别延长线段BG、CG，交边AC、AB于点E，D．若BE＝15，则BG的长是（）A．5 B．7.5 C．9 D．108．（3分）如图，在△ABC中，AC＝BC＝BD＝5，AB⊥x轴，垂足为A．反比例函数y（x＞0）的图象经过点C，交AB'于点D，若tanB，则k的值是（）A．12 B．24 C．36 D．48二、填空题（本大题共6道题，每题3分，共18分）9．（3分）如果一个行人在斜坡为1：2.4的坡面上行走130米，则他升高了米．10．（3分）已知二次函数y＝（k﹣1）x2+2x+1的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是．11．（3分）如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB的长为4.8km，则M、C两点间的距离为km．12．（3分）如图，在边长为3的菱形ABCD中，点E在边CD上，点F为BE延长线与AD延长线的交点，若DE＝1，则DF的长为．13．（3分）在如图所示的平面直角坐标系中有△OAB，点A、B的坐标分别为（1，2）、（3，1），以原点O为位似中心将△OAB进行放缩，若放缩后点A的对应点坐标为（2，4），则点B的对应点坐标为．14．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的正半轴交于点A，对称轴为直线x＝1．下面结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一个根大于﹣1且小于0．其中正确的是．（只填序号）三、解答题（本大题共78分）15．（6分）计算：．16．（6分）如图，CA⊥AD，ED⊥AD，点B是线段AD上的一点，且CB⊥BE．已知AB＝8，AC＝6，DE＝4．（1）证明：△ABC∽△DEB．（2）求线段BD的长．17．（6分）阅读下面的例题：解方程：x2﹣|x|﹣2＝0．解：①当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）；②当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得x1＝1（不合题意，舍去），x2＝﹣2．综上，原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2．请参照例题解方程：x2﹣|x﹣3|﹣3＝0．18．（7分）如图，湖边A、B两点由两段笔直的观景栈道AC和CB相连．为了计算A、B两点之间的距离，经测量得：∠BAC＝37°，∠ABC＝53°，AC＝80米，求A、B两点之间的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）19．（7分）班级开展迎新年联欢晚会时，在教室悬挂了如图所示的四个福袋A，B，C，D．在抽奖时，每次随机取下一个福袋，且取A之前需先取下B，取C之前需先取下D，直到4个福袋都被取下．（1）第一个取下的是D福袋的概率为；（2）请用画树状图或列表的方法，求第二个取下的是A福袋的概率．20．（7分）图①、图②、图③都是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，按下列要求画图，所画图形的顶点均在格点上，只保留作图痕迹，不要求写出画法．（1）在图①中以AB为边画一个钝角三角形ABC，使tan∠CAB；（2）在图②中以AB为边画一个Rt△ABD，使tan∠DAB＝1；（3）在图②中以AB为边画一个△ABE，使tan∠AEB．21．（8分）如图，一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处跳起投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮筐内，已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，试解答下列问题：（1）建立图中所示的平面直角坐标系，求抛物线所对应的函数表达式．（2）这次跳投时，球出手处离地面多高？22．（9分）【感知】如图①，以△ABC的边AB、AC为直角边，A为直角顶点，向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，连接BE、CD，易知△ADC≌△ABE．（不要求证明）【探究】如图②，已知∠ABC＝45°，∠CAE＝90°，AB＝BC＝2，AC＝AE，求BE的长．【应用】如图③，AB＝4，BD＝8，∠DAC＝90°，∠ABC＝∠ACD＝30°，则BC＝ ．23．（10分）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，BD平分∠ABC，动点P从点A出发，沿AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时，动点Q从点B出发，沿射线BD以每秒个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，点Q、点P同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，△BPQ与△ABC重叠部分面积为S．（1）用含t的代数式表示点Q到AB的距离是；（2）求点D到BC的距离；（3）当PQ与△ABC的一边平行时，求S的值；（4）当点Q不与点B重合时，作点Q关于直线AB的对称点Q′，当直线PQ'经过△ABC一边中点时，直接写出t的值．24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（0，3）和（3，0）点A，B均在这条抛物线上，点A的横坐标为m，点B的横坐标为4﹣2m．（1）求该抛物线所对应的函数表达式；（2）当点A、点B关于此抛物线的对称轴对称时，连结AB，求线段AB的长；（3）当﹣1＜x≤2时，求y的取值范围；（4）将此抛物线上A，B两点之间的部分（包含A，B两点）记为图象G，若点M的坐标为（2m，0），点N的坐标为（0，﹣2m），以OM，ON为边构造正方形OMPN，当图象G在正方形OMPN内部（包括边界）最高点与最低点的纵坐标之差为3时，直接写出m的取值范围．

2024-2025学年吉林省长春市九台区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析题号12345678答案ABBBCCDC一、选择题（本大题共8道题，每题3分，共24分）1．解析：解：∵二次根式有意义，∴x+1≥0，解得x≥﹣1．故选：A．2．解析：解：由题意可得，摸出红球的概率为，摸出黄球的概率为：，摸出黑球的概率为：，故选：B．3．解析：解：如图所示：∵，设BC＝3a，AB＝5a，则，∴cosA．故选：B．4．解析：解：A.3不是同类项无法进行运算，故A选项错误；B.3，故B选项正确；C.，故C选项错误；D．∵2，故D选项错误；故选：B．5．解析：解：当CD是AB的垂线时，∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠BDC＝90°，又∵∠A+∠ACD＝∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD．根据作图痕迹可知，A选项中，CD是∠ACB的角平分线，CD不一定与AB垂直，不符合题意；B选项中，CD是△ABC的中线，CD不一定与AB垂直，不符合题意；C选项中，CD是AB的垂线，符合题意；D选项中，CD不与AB垂直，不符合题意．故选：C．6．解析：解：设每天“遗忘”的百分比为x，（1﹣x），解得x1，x（不合题意，舍去），∵0.293，∴每天“遗忘”的百分比约为29.3%．故选：C．7．解析：解：∵点G是△ABC的重心，∴BG＝2GE，∵BE＝BG+GE＝15，∴BG＝10，故选：D．8．解析：解：过点C作CE⊥AB于点E，CF⊥OA于F，则CF＝AE，∵AC＝BC，∴BE＝AE，∵tanB，∴，由勾股定理可知，，，∵AC＝BC＝BD＝5，∴CE＝3，BE＝4，∴AB＝2BE＝8，∴AD＝8﹣5＝3，设点C（m，4），则D（m+3，3），∵反比例函数y（x＞0）的图象经过点C，交AB于点D，∴k＝4m＝3（m+3），∴m＝9，∴k＝4m＝36．故选：C．二、填空题（本大题共6道题，每题3分，共18分）9．解析：解：∵斜坡为1：2.4，∴坡度为1：2.4，设升高的高度为x米，则水平距离为2.4x米，则在坡面上走的距离为：2.6x，令2.6x＝130，解得x＝50，即一个行人在斜坡为1：2.4的坡面上行走130米，他升高的高度为50米，故答案为：50．10．解析：解：由题意，∵二次函数y＝（k﹣1）x2+2x+1的图象与x轴有两个交点，∴k﹣1≠0，且Δ＝4﹣4（k﹣1）＞0．∴k≠1且k＜2．∴k＜2且k≠1．故答案为：k＜2且k≠1．11．解析：解：公路AC、BC互相垂直，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点M是斜边AB的中点，AB＝4.8km，则CMAB＝2.4km，故答案为：2.4．12．解析：解：∵边长为3的菱形ABCD，∴AD∥BC，BC＝CD＝3，∴CE＝CD﹣DE＝3﹣1＝2，∵AD∥BC，∴△DEF∽△CEB，∴，即，解得：DF，故答案为：．13．解析：解：∵将△OAB进行放缩，点A的坐标为（1，2），放缩后点A的对应点坐标为（2，4），∴将△OAB在第一象限放大2倍，∵点B的坐标为（3，1），∴点B的对应点坐标为（6，2），故答案为：（6，2）．14．解析：解：由图象可得，a＜0，b＞0，c＞0，则abc＜0，故①正确；∵1，∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故②正确；∵函数图象与x轴的正半轴交点在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x＝1，∴函数图象与x轴的另一个交点在点（0，0）和点（﹣1，0）之间，故④正确；∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴y＝a+2a+c＜0，∴3a+c＜0，故③错误；故答案为：①②④．三、解答题（本大题共78分）15．解析：解：原式11+2．16．解析：（1）证明：∵CA⊥AD，ED⊥AD，CB⊥BE，∴∠A＝∠CBE＝∠D＝90°，∴∠C+∠CBA＝90°，∠CBA+∠DBE＝90°，∴∠C＝∠DBE，∴△ABC∽△DEB；（2）解：∵△ABC∽△DEB，∴，∴，∴BD＝3．17．解析：解：①当x≥3时，原方程可化为x2﹣（x﹣3）﹣3＝0，解得x1＝0（不符合题意，舍去），x2＝1（不符合题意，舍去）；②当x＜3时，原方程可化为x2+x﹣3﹣3＝0，解得x3＝﹣3，x4＝2．综上所述，原方程的根是x3＝﹣3，x4＝2．18．解析：解：∵∠A＝37°，∠B＝53°，又∵∠ACB+∠A+∠B＝180°，∴∠ACB＝90°，在Rt△ACB中，∵∠BAC＝37°，AC＝80米，∴（米）．答：A、B两点之间的距离约为100米．19．解析：解：（1）∵第一次摘只能先从B和D中选择任意一个，∴第一个摘下D灯笼的概率是．故答案为：；（2）由题意，画树状图为：共有4种等可能的结果，其中第二个取下的是A福袋的结果数有1种，∴第二个摘下A灯笼的概率为．20．解析：解：（1）答案不唯一，以下答案供参考．（2）答案不唯一，以下答案供参考．（3）如图所示：21．解析：解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5），∴可设抛物线的函数关系式为y＝ax2+3.5．∵篮圈中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得3.05＝a×1.52+3.5，∴a，∴yx2+3.5．（2）设这次跳投时，球出手处离地面hm，因为（1）中求得y＝﹣0.2x2+3.5，∴当x＝﹣2.5时，h＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5＝2.25m．∴这次跳投时，球出手处离地面2.25m．22．解析：解：【探究】如图②，过点A作AH⊥AB，且AH＝AB＝2，连接CH，BH，∵AB＝AH＝2，AH⊥AB，∴BH＝2，∠ABH＝45°，∵∠ABC＝45°，∴∠HBC＝90°，∴HC2，∵∠EAC＝90°＝∠BAH，∴∠BAE＝∠CAH，又∵AC＝AE，AB＝AH，∴△ABE≌△AHC（SAS），∴BE＝CH＝2；【应用】如图③，过点B作BN⊥BC，过点A作AN⊥AB，交BN于点N，连接CN，∴∠BAN＝∠CAD＝∠CBN＝90°，∴∠BAD＝∠CAN，∵∠ABC＝∠ACD＝30°，∴ACAD，∠ABN＝60°，∴∠ANB＝30°，∴BN＝2AB＝8，ANAB，∴，∴△BAD∽△NAC，∴，∴NC＝8，∴BC8，故答案为：8．23．解析：解：（1）如图1中，过点Q作QJ⊥AB于点J．∵∠QBJ＝45°，∠QJB＝90°，∴∠JBQ＝∠JQB＝45°，∴QJ＝BJ，∵BQ＝t，∴QJ＝t，∴点Q到AB的距离为t；故答案为：t；（2）如图1中，过点D作DM⊥BC于点M，∵∠ABC＝90°，∴DM∥AB，∴△CMD∽△CBA，∴，∵∠DMB＝∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，∴∠MBD＝∠MDB＝45°，∴DM＝BM，∵AB＝4，BC＝3，设DM＝BM＝x，∴，解得，∴；（3）如图2中，当PQ∥AC时，则有，∴，∴t，此时S．如图3中，当PQ∥BC时，PQ⊥AB，此时PQ＝BP＝t，AP＝t，∴2t＝4，∴t＝2，此时S，综上所述，满足条件的S的值为或；（4）由（3）可知，当t＝2时，PQ′垂直平分线段AB，此时直线PQ′经过AB，AC的中点．如图4中，当直线PA′经过AC的中点H时，过点Q作QJ⊥AB于点J．∵AP＝B