2024-2025学年河南省郑州十九中高一（下）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河南省郑州十九中高一（下）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若z(1−2i)=2+i，则复数z=(

)A.−1 B.−i C.1 D.i2.如图，四边形ABCD为平行四边形，DE=2EC，F为线段BE的中点，若以AF，BE为基底表示向量BC，则BC=(

)A.23AF+34BE

B.13.已知e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中不能作为基底的一组是(

)A.e1+e2和e1−2e2 B.e1−2e24.已知平面向量a，b的夹角为π3，且|b|=1，|a+2A.2 B.3 C.1 D.5.下列命题：①向量a与b都是单位向量，则a=b；

②在△ABC中，必有AB+BC+CA=0；

③四边形ABCD是平行四边形，则AB=DC；

④若向量a与bA.①② B.②③ C.③④ D.①④6.已知△ABC中，a=22，b=3，B=πA.有两个解 B.有一个解 C.无解 D.不确定7.一艘船向正北航行，在A处看灯塔S在船的北偏东30°方向上，航行10nmile后到B处，看到灯塔S在船的北偏东75°的方向上，此时船距灯塔S的距离(即BS的长)为(

)A.522nmileB.528.在△ABC中，角B，C所对的边分别为b，c，点O为△ABC的外心，若b2+c2=2b，则A.−14 B.−12 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题为真命题的是(

)A.若z=2+3i，则z−=−2+3i

B.复数2−i在复平面内对应的点位于第四象限

C.i+i202310.若向量a=(2,0)，b=(1,3A.|b|=2 B.a⋅b=2

C.b在a上的投影向量为12a11.设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是(

)A.若AM=13AB+13AC，则点M是△ABC的重心

B.若AM=2AB−AC，则点M在边BC的延长线上

C.若O在△ABC所在的平面内，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，满足以下条件2OA+2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若复数z=a+2i(i为虚数单位，a∈R)满足|z|=3，则a的值为______．13.a=(1,−2),b=(1,λ),a与14.如图，在△ABC中，BM=12BC，NC=λAC，直线AM交BN于点Q，若BQ四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知复数z=m2−4m−12+(m2−4)i，其中m∈R．

(1)若z为纯虚数，求m的值；

(2)16.(本小题15分)

已知向量a、b满足|a|=2，b=(−2,23)，且a与b的夹角为2π3．

(1)求a⋅b17.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB=(2c−b)cosA．

(1)求A；

(2)若a=6，求△ABC的周长的取值范围．18.(本小题17分)

如图，在△ABC中，D为边BC上一点，且CD=2AD，AC=33，cos∠ADC=13．

(Ⅰ)求CD；

(Ⅱ)若19.(本小题17分)

在平面直角坐标系xOy中，对于非零向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，定义这两个向量的“相离度”为d(a,b)=|x1y2−x2y1|x12+y12⋅x22+y22，容易知道a,b平行的充要条件为d(a,参考答案1.D

2.C

3.B

4.A

5.B

6.A

7.B

8.A

9.BCD

10.ABC

11.ACD

12.±13.(−∞,−2)∪(−2,114.3515.解：(1)∵z=m2−4m−12+(m2−4)i且z为纯虚数，

∴m2−4m−12=0m2−4≠0，解得m=6．

(2)∵z在复平面内对应的点在第一象限，

∴16.17.解：(1)在△ABC中，acosB=(2c−b)cosA，

由正弦定理：sinAcosB=2sinCcosA−sinBcosA，可得：sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosA，可得sinC=2sinCcosA，

因为C∈(0,π)，故sinC>0，从而cosA=12，

又A∈(0,π)，所以A=π3．

(2)在△ABC中，由余弦定理有a2=b2+c2−2bccosA=b2+c2−bc=

(b+c)2−3bc≥(b+c18.解：(Ⅰ)因为CD=2AD，AC=33，cos∠ADC=1