初中数学组卷难度略大(以重庆市题目为主)

选择题（共1小题，满分3分，每小题3分）

1.（3分）（2015•重庆校级模拟）如图所示，已知:产出（x>0）图象上一点P,PA±x轴

x

于点A(a,0),点B坐标为0,b)(b>0).

动点M在y轴上，且在B点上方，动点N在射线AP上，过点B作AB的垂线，交射线

AP于点D,交直线MN于点Q,连接AQ,取AQ的中点为C.若四边形BQNC是菱形,

面积为2如,此时P点的坐标为

A.(3,2)B.3后cd

3⑷f¥事

填空题（共9小题，满分27分，每小题3分）_

2.（3分）（2015•海安县校级模拟）如图，aAOB为等腰三角形，顶点A的坐标（2,旗）,

底边OB在x轴上.将AAOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得AA'O'B',点A

的对应点A'在x轴上，则点0,的坐标为.

3.（3分）（2011•浦口区二模）如图所示，在圆。。内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,

ZA=ZB=60°,贝ijBC的长为.

4.（3分）（2015•游仙区模拟）如图，正方形ABCD的边长为3,延长CB至点M,使SBM=--

AA2

过点B作BNLAM,垂足为N,O是对角线AC,BD的交点，连接ON,则ON的长

为.

5.（3分）（2014•重庆）如图，在边长为6a的正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是

AD延长线上一点，BE=DG,连接EG,CF_LEG交EG于点H,交AD于点F,连接CE,

BH.若BH=8,贝ljFG=.

6.（3分）（2015•重庆）如图，AC是矩形ABCD的对角线，AB=2,BC=2«,点E,F分

别是线段AB,AD上的点，连接CE,CF.当/BCE=NACF,且CE=CF时，

AE+AF=.

7.（3分）（2015•重庆）如图，在矩形ABCD中，AB=4捉，AD=10.连接BD,NDBC的

角平分线BE交DC于点E,现把ABCE绕点B逆时针旋转，记旋转后的ABCE为

△BC'E'.当射线BE'和射线BC'都与线段AD相交时，设交点分别为F,G.若△BFD

为等腰三角形，则线段DG长为.

BC

8.（3分）（2014•重庆）如图，正方形ABCD的边长为6,点。是对角线AC、BD的交点,

点E在CD上，且DE=2CE,过点C作CF_LBE,垂足为F,连接OF,则OF的长为.

9.（3分）（2013•重庆）如图，平面直角坐标系中，已知直线y=x上一点P（1,1）,C为y

轴上一点，连接PC,线段PC绕点P顺时针旋转90。至线段PD,过点D作直线ABLx轴，

垂足为B,直线AB与直线y=x交于点A,且BD=2AD,连接CD,直线CD与直线y=x交

于点Q,则点Q的坐标为.

10.（3分）（2012•重庆）甲、乙两人玩纸牌游戏，从足够数量的纸牌中取牌.规定每人最

多两种取法，甲每次取4张或（4-k）张，乙每次取6张或（6-k）张（k是常数，0<k<

4）.经统计，甲共取了15次，乙共取了17次，并且乙至少取了一次6张牌，最终两人所取

牌的总张数恰好相等，那么纸牌最少有张.

三.解答题（共20小题，满分189分）

11.（9分）（2012•巴中）如图，在平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴、y轴上，四边

形ABCO为矩形，AB=16,点D与点A关于y轴对称，tan/ACB=1.点E、F分别是线段

AD、AC上的动点（点E不与A、D点重合），且/CEF=NACB.

（1）求AC的长与点D的坐标.

（2）说明4AEF与4DCE相似.

（3）当AEFC为等腰三角形时，求点E的坐标.

12.（9分）（2016•重庆校级模拟）如图1,ZkABC是等腰直角三角形，AC=BC,ZACB=90°,

直线1经过点C,AFL1于点F,AEL于点E,点D是AB的中点，连接ED.

（1）求证：△ACF0Z\CBE；

（2）求证：AF=BE-H/2DE；

（3）如图2,将直线1旋转到AABC的外部，其他条件不变，（2）中的结论是否仍然成立,

如果成立请说明理由，如果不成立AF、BE、DE又满足怎样的关系？并说明理由.

S1图2

13.(10分)(2015•重庆校级模拟)如图，在矩形ABCD中，DB=6,AD=3,在RtZXEFG

中，ZGEF=90°,EF=3,GF=6,Z\EFG(点F和点A重合)的边EF和矩形的边AB在同

一直线上.现RtZ^EFG将从A以每秒1个单位的速度向射线AB方向匀速平移，当点F与

点B重合时停止运动，设运动时间为t秒，解答下列问题：

(1)当4EFG运动到秒时，GF经过点D；

(2)在整个运动过程中，设4EFG与4ABD重叠部分面积为S,请直接写出S与t的函数

关系式和相应t的取值范围；

(3)当点F到达点B时，将4EFG绕点F顺时针旋转a(0<a<180°),旋转过程中EG所

在直线交CD所在直线于M,交直线DB所在直线于点N,是否存在这样的a,使△DNM

为等腰三角形？若存在，求DM的长，并直接写出答案；若不存在，请说明理由.

14.(10分)(2007•河南)如图，对称轴为直线x=I的抛物线经过点A(6,0)和B(0,4).

2

(1)求抛物线解析式及顶点坐标；

(2)设点E(x,y)是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角

线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x

的取值范围；

①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？

②是否存在点E,使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，

请说明理由.

15.(11分)(2014•兰州)如图，抛物线y=-L?+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交

于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A(-1,0),C(0,2).

(1)求抛物线的表达式；

(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使4PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在,

直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；

(3)点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运

动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的

坐标.

16.(10分)(20H•威海)如图，抛物线y=a?+bx+c交x轴于点A(-3,0),点B(l,0),

交y轴于点E(0,-3).点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线1

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H,与抛物线交于

点G,求线段HG长度的最大值；

(3)在直线1上取点M,在抛物线上取点N,使以点A,C,M,N为顶点的四边形是平行

四边形，求点N的坐标.

17.（9分）（2015•重庆）在aABC中,AB=AC,ZA=60",点D是线段BC的中点，/EDF=120。，

DE与线段AB相交于点E.DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F.

（1）如图1,若DF_LAC,垂足为F,AB=4,求BE的长；

（2）如图2,将（1）中的/EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于

点F.求证：BE+CF=1AB；

2

（3）如图3,将（2）中的NEDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的

延长线相交于点F,作DNLAC于点N,若DNJ_AC于点N,若DN=FN,求证：BE+CF=

（BE-CF）.

18.（10分）（2015•重庆）如图，抛物线y=-x?+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B

的左边），与y轴交于点C,点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴交于点

（1）求直线AD的解析式；

（2）如图1,直线AD上方的抛物线上有一点F,过点F作FGXAD于点G,作FH平行于

x轴交直线AD于点H,求△FGH周长的最大值；

（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A,M,P,

Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形.若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的

坐标.

19.(9分)(2015•重庆)如图1,在AABC中，ZACB=90",ZBAC=60°,点E是/BAC

角平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线，两垂线交于点D,连接DB,

点F是BD的中点，DHLAC,垂足为H,连接EF,HF.

(1)如图1,若点H是AC的中点，AC=2jj,求AB,BD的长；

(2)如图1,求证：HF=EF；

(3)如图2,连接CF,CE.猜想：4CEF是否是等边三角形？若是,请证明；若不是，

说明理由.

20.(10分)(2015•重庆)如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=-步X2+J5X+3J5交x

4

轴于A,B两点(点A在点B的左侧)，交y轴于点W,顶点为C,抛物线的对称轴与x轴

的交点为D.

(1)求直线BC的解析式；

(2)点E(m,0),F(m+2,0)为x轴上两点，其中2<m<4,EE',FFZ分别垂直于

x轴，交抛物线于点口,P,交BC于点M,N,当ME，+NF，的值最大时，在y轴上

找一点R,使IRF'-RE'I的值最大，请求出R点的坐标及IRF'-RE'I的最大值；

(3)如图2,已知x轴上一点P(20),现以P为顶点，2正为边长在x轴上方作等边三

2

角形QPG,使GP，x轴，现将△QPG沿PA方向以每秒1个单位长度的速度平移，当点P

到达点A时停止，记平移后的△QPG为AQ'P'G'.设AQ'P'G'与AADC的重叠部

分面积为s.当Q'到x轴的距离与点Q'到直线AW的距离相等时，求s的值.

21.(9分)(2014•重庆)已知：如图①，在矩形ABCD中，AB=5,AD=",AEXBD,垂

(1)求AE和BE的长；

(2)若将AABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m(平移距离指点B沿BD方向

所经过的线段长度).当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值.

(3)如图②，将4ABF绕点B顺时针旋转一个角a(00<a<180°),记旋转中的4ABF为

△A，BF',在旋转过程中，设A'F'所在的直线与直线AD交于点P,与直线BD交于

点Q.是否存在这样的P、Q两点，使ADPa为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长;

若不存在，请说明理由.

22.(10分)(2014•重庆)如图1,在ABCD中，AH±DC,垂足为H,AB=4、R,AD=7,

AH=V21.现有两个动点E,F同时从点A出发，分别以每秒1个单位长度、每秒3个单位

长度的速度沿射线AC方向匀速运动，在点E,F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG,

使4EFG与AABC在射线AC的同侧，当点E运动到点C时，E,F两点同时停止运动，设

运动时间为t秒.

(1)求线段AC的长；

(2)在整个运动过程中，设等边4EFG与AABC重叠部分的面积为S,请直接写出S与t

之间的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围；

(3)当等边4EFG的顶点E到达点C时，如图2,将4EFG绕着点C旋转一个角度a(0。

<a<360°),在旋转过程中，点E与点C重合，F的对应点为F',G的对应点为G',设

直线F'G'与射线DC、射线AC分别相交于M,N两点.试问：是否存在点M,N,使得

△CMN是以/MCN为底角的等腰三角形？若存在，请求出CM的长度；若不存在，请说

明理由.

23.（9分）（2013•重庆）已知，在矩形ABCD中，E为BC边上一点，AEJ_DE,AB=12,

BE=16,F为线段BE上一点,EF=7,连接AF.如图1,现有一张硬质纸片△GMN,ZNGM=90",

NG=6,MG=8,斜边MN与边BC在同一直线上，点N与点E重合，点G在线段DE上.如

图2,AGMN从图1的位置出发，以每秒1个单位的速度沿EB向点B匀速移动，同时点P

从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AD向点D匀速移动，点Q为直线GN与线段AE

的交点，连接PQ.当点N到达终点B时，△GMN和点P同时停止运动.设运动时间为t

秒，解答下列问题：

（1）在整个运动过程中，当点G在线段AE上时，求t的值；

（2）在整个运动过程中，是否存在点P,使AAPQ是等腰三角形？若存在，求出t的值；

若不存在，说明理由；

（3）在整个运动过程中，设△GMN与4AEF重叠部分的面积为S.请直接写出S与t之间

的函数关系式以及自变量t的取值范围.

24.（9分）（2012•重庆）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD〃BC,ZB=90°,AD=2,

BC=6,AB=3.E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG,使正方形BEFG和梯形ABCD

在BC的同侧.

（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；

（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移,记平移中的正方形BEFC为正方形B'EFG,

当点E与点C重合时停止平移.设平移的距离为t,正方形B'EFG的边EF与AC交于点

M,连接B'D,B'M,DM,是否存在这样的t,DM是直角三角形？若存在，求

出t的值；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B'EFG与AADC重叠部分的面积为S,请直接

写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围.

25.(9分)(2011•重庆)如图，矩形ABCD中，AB=6,BC=2«,点。是AB的中点，点

P在AB的延长线上，且BP=3.一动点E从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA

匀速运动，到达A点后，立即以原速度沿AO返回；另一动点F从P点发发，以每秒1个

单位长度的速度沿射线PA匀速运动，点E、F同时出发，当两点相遇时停止运动，在点E、

F的运动过程中,以EF为边作等边△EFG,使4EFG和矩形ABCD在射线PA的同侧.设

运动的时间为t秒(t>0).

(1)当等边4EFG的边FG恰好经过点C时，求运动时间t的值；

(2)在整个运动过程中，设等边4EFG和矩形ABCD重叠部分的面积为S,请直接写出S

与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；

(3)设EG与矩形ABCD的对角线AC的交点为H,是否存在这样的t,使△AOH是等腰

三角形？若存大，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由.

27.(10分)(2014•盐城)如图①，在平面直角坐标系中，一块等腰直角三角板ABC的直

角顶点A在y轴上,坐标为(0,-1),另一顶点B坐标为(-2,0),已知二次函数y=-|x2+bx+c

的图象经过B、C两点.现将一把直尺放置在直角坐标系中，使直尺的边A'D'〃y轴且

经过点B,直尺沿x轴正方向平移，当A'D'与y轴重合时运动停止.

(1)求点C的坐标及二次函数的关系式；

(2)若运动过程中直尺的边A'D'交边BC于点M,交抛物线于点N,求线段MN长度

的最大值；

(3)如图②，设点P为直尺的边A'D'上的任一点，连接PA、PB、PC,Q为BC的中点，

试探究：在直尺平移的过程中，当PQ=2叵时，线段PA、PB、PC之间的数量关系.请直

2

接写出结论，并指出相应的点P与抛物线的位置关系.

(说明：点与抛物线的位置关系可分为三类，例如，图②中，点A在抛物线内，点C在抛

物线上，点D'在抛物线外.)

图①国②备用图

28.（9分）（2013•盐城）阅读材料

如图①，ZiABC与4DEF都是等腰直角三角形，ZACB=ZEDF=90°,且点D在AB边上,

AB、EF的中点均为O,连结BF、CD、CO,显然点C、F、O在同一条直线上，可以证明

△BOF也△COD,贝ijBF=CD.

解决问题

（1）将图①中的RtADEF绕点O旋转得到图②，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并

证明你的结论；

（2）如图③，若AABC与4DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O,上述（1）中

的结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；

（3）如图④，若AABC与4DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为0,且顶角

ZACB=ZEDF=a,请直接写出竺的值（用含a的式子表示出来）

CD

\BB

29.(9分)(2013•盐城)如图①，若二次函数y1^x~+bx+c的图象与x轴交于A(-2,0),

B(3,0)两点，点A关于正比例函数y=\/际x的图象的对称点为C.

(1)求b、c的值；

(2)证明：点C在所求的二次函数的图象上；_

(3)如图②，过点B作DBLx轴交正比例函数y=Vjx的图象于点D,连结AC,交正比

例函数y=v13x的图象于点E,连结AD、CD.如果动点P从点A沿线段AD方向以每秒2

个单位的速度向点D运动，同时动点Q从点D沿线段DC方向以每秒1个单位的速度向点

C运动.当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，连结PQ、QE、PE.设运动时

间为t秒，是否存在某一时刻，使PE平分NAPQ,同时QE平分NPQC?若存在，求出t

的值；若不存在，请说明理由.

图①图②

2016年05月01日陌陌沫沫默默的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共1小题，满分3分，每小题3分）

1.（3分）（2015•重庆校级模拟）如图所示，已知：尸图（x>0）图象上一点P,PALx轴

x

于点A（a,0）,点B坐标为0,b）（b>0）.

动点M在y轴上，且在B点上方，动点N在射线AP上，过点B作AB的垂线，交射线

AP于点D,交直线MN于点Q,连接AQ,取AQ的中点为C.若四边形BQNC是菱形，

面积为2M,此时P点的坐标为（）

y小，J小

AA

图1图::

A.（3,2）B.（当!23后C.（4,2）D.（见1,巨星

3252

【考点】反比例函数综合题.

【分析】首先求出/BQC=60。，ZBAQ=30°,然后证明AABQ会AANQ,进而求出

NBAO=30°,由S四边形BQNC二2«,求出OA=3,于是求出P点坐标.

【解答】解：连接BN,NC,

四边形BQNC是菱形，

；.BQ=BC=NQ,ZBQC=ZNQC,

VAB±BQ,C是AQ的中点，

;.BC=CQ=4AQ,

AZBQC=60°,ZBAQ=30°,

在AABQ和AANQ中，

'BQ二NQ

"NBQA=NNQA，

QA二QA

.,.△ABQ^AANQ(SAS),

・•・ZBAQ=ZNAQ=30°,

・•・ZBAO=30°,

*«*S菱形BQNC=2，J3=1xCQxBN，

令CQ=2t=BQ,贝！］BN=2x（2tx也）=2如3

2

t=1

BQ=2,

在RtAAQB中，ZBAQ=30°,

AB=v&Q=2b，

,?ZBAO=30°

：.OA=^AB=3,

2

又P点在反比例函数y=@的图象上，

；.P点坐标为（3,2）.

故选A.

【点评】本题主要考查反比例函数综合题的知识，此题涉及的知识有全等三角形的判定与性

质、含30。角的直角三角形的性质以及菱形等知识.注意能证得/BAQ=30。是关键.

填空题（共9小题，满分27分，每小题3分）_

2.（3分）（2015•海安县校级模拟）如图，AAOB为等腰三角形，顶点A的坐标（2,巡）,

底边OB在x轴上.将^AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得AA'O'B',点A

的对应点A'在x轴上，则点O'的坐标为（理，&兀）♦

33

【考点】坐标与图形变化-旋转；等腰三角形的性质.

【分析】过点A作ACJLOB于C,过点O'作O'D，A'B于D,根据点A的坐标求出

OC、AC,再利用勾股定理列式计算求出OA,根据等腰三角形三线合一的性质求出OB,

根据旋转的性质可得BO,=OB,乙A'BOZ=/ABO,然后解直角三角形求出O'D、BD,

再求出OD,然后写出点O'的坐标即可.

【解答】解：如图，

过点A作AC_LOB于C,过点O'作O'D_LA'B于D,

VA（2,遥），

.\OC=2,AC=Vg,

由勾股定理得，OA={0C2+AC2=,22+（韭）2=3,

•••△AOB为等腰三角形，OB是底边，

.\OB=2OC=2x2=4,

由旋转的性质得，BO'=OB=4,ZA/BO'=ZABO,

：.O'D=4x立

33

BD=4X-2=8,

33

OD=OB+BD=4+3="，

33

..•点o'的坐标为（理，2匹），

33

故答案为：（理，延）.

33

【点评】本题考查了坐标与图形变化-旋转，主要利用了勾股定理，等腰三角形的性质，解

直角三角形，熟记性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键.

3.（3分）（2011•浦口区二模）如图所示，在圆。。内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,

ZA=ZB=60°,则BC的长为20.

【考点】垂径定理；等边三角形的判定与性质.

【专题】计算题；压轴题.

【分析】延长AO交BC于D,根据/A、/B的度数易证得AABD是等边三角形，由此可

求出OD、BD的长;过。作BC的垂线，设垂足为E；在RtAODE中，根据OD的长及/ODE

的度数易求得DE的长，进而可求出BE的长；由垂径定理知BC=2BE,由此得解.

【解答】解：延长AO交BC于D,作OELBC于E；

VZA=ZB=60°,.,.ZADB=60°；

.,.△ADB为等边三角形；

；.BD=AD=AB=12；

；.OD=4,又•.•/ADB=60。,

.-.DE=AOD=2；

2

；.BE=10；

；.BC=2BE=20；

故答案为20.

C

【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质以及垂径定理的应用.

4.（3分）（2015•游仙区模拟）如图，正方形ABCD的边长为3,延长CB至点M,使SBM=--

AA2

过点B作BNLAM,垂足为N,O是对角线AC,BD的交点，连接ON,则ON的长为旦后.

—5—

【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质.

【分析】先根据三角形的面积公式求出BM的长，由条件可证得△ABNsABNMs^ABM,

且可求得AM=JT5,利用对应线段的比相等可求得AN和MN,进一步可得到想出，且

AMAC

ZCAM=ZNAO,可证得△AONs^AMC,利用相似三角形的性质可求得ON

【解答】解：：正方形ABCD的边长为3,SAABM国，

2

VAB=3,BM=1,

/.AM=V10，

VZABM=90°,BN1AM,

△ABNsZ\BNMs△AMB,

AB=ANxAM,BM=MNxAM,

1010

VAB=3,CD=3,

；.AC=3&,

.-.AO=^Z2,

2_

..AQ_3V5搦_避

•AM10；AC-iy

...旭出，且/CAM=/NAO

AMAC

.,.△AON^AAMC,

.ON_AO_3V5

',MCAM10'

.­.ON=^Z^.

5_

故答案为：殳后.

5

【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此

题的关键.

5.（3分）（2014•重庆）如图，在边长为6圾的正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是

AD延长线上一点，BE=DG,连接EG,CF_LEG交EG于点H,交AD于点F,连接CE,

BH.若BH=8,则FG=5®.

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质；相似三角形的判定与

性质.

【专题】几何图形问题；压轴题.

【分析】如解答图，连接CG,首先证明△CGDgACEB,得到4GCE是等腰直角三角形；

过点H作AB、BC的垂线，垂足分别为点M、N,进而证明△HEMg△HCN,得到四边形

MBNH为正方形，由此求出CH、HN、CN的长度;最后利用相似三角形RdHCNsRt^GFH,

求出FG的长度.

【解答】解：如图所示，连接CG.

在4CGD与4CEB中

'BE=DG

-NEBC=NGDC=90°

、BC=DC

.,.△CGD^ACEB（SAS）,

；.CG=CE,ZGCD=ZECB,

AZGCE=90°,即AGCE是等腰直角三角形.

又,.,CH_LGE,

.*.CH=EH=GH.

过点H作AB、BC的垂线，垂足分别为点M、N,则NMHN=90。,

又：/EHC=90。，

.*.Z1=Z2,

.\ZHEM=ZHCN.

在△HEM与△HCN中，

fZl=Z2

<EH=CH

LZHEM=ZHCN

AAHEM^AHCN(ASA).

；.HM=HN,

四边形MBNH为正方形.

VBH=8,

；.BN=HN=4%，

；.CN=BC-BN=6我-4A/^=2我.

在Rt^HCN中，由勾股定理得：CH=2V10.

.*.GH=CH=2A/10.

；HM〃AG,

.*.Z1=Z3,

.\Z2=Z3.

又,:ZHNC=ZGHF=90",

RtAHCN^RtAGFH.

.CHHNBn2V10472

FGGHFG2V10

；.FG=5&.

故答案为：5圾.

【点评】本题是几何综合题，考查了全等二角形、相似三角形、正方形、等腰直角三角形、

勾股定理等重要知识点，难度较大.作出辅助线构造全等三角形与相似三角形，是解决本题

的关键.

6.（3分）（2015•重庆）如图，AC是矩形ABCD的对角线，AB=2,BC=2丘，点E,F分

别是线段AB,AD上的点，连接CE,CF.当NBCE=/ACF,且CE=CF时,AE+AF=虫学.

—3—

E

B

【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的性质；解直角三角形.

【专题】压轴题._

【分析】过点F作FGXAC于点G,证明ABCE之AGCF,得至UCG=CB=2«,根据勾股

定理得AC=4,所以AG=4-2，&易证△AGFS/\CBA,求出AF、FG,再求出AE,得出

AE+AF的值.

【解答】解：过点F作FGLAC于点G,如图所示，

在ABCE和4GCF中，

，ZFGC=ZEBC=90°

-ZACF=ZBCE，

CE=CF

.,.△BCE^AGCF(AAS),

；.CG=BC=2V5，

AC=VAB2+BC2=4'

；.AG=4-273,

VAAGF^ACBA

CB-CA-AB

12-4夷|距

333

故答案为：±Z1.

3

E

B

【点评】本题主要考查了三角形全等的判定和性质以及三角形相似的判定与性质，有一定的

综合性，难易适中.

7.（3分）（2015•重庆）如图，在矩形ABCD中，AB=4遥，AD=10.连接BD,/DBC的

角平分线BE交DC于点E,现把4BCE绕点B逆时针旋转，记旋转后的4BCE为

△BC7E'.当射线BE'和射线BO都与线段AD相交时，设交点分别为F,G.若4BFD

为等腰三角形，则线段DG长为例.

~1T~

【考点】旋转的性质.

【专题】压轴题.

【分析】根据角平分线的性质，可得CE的长，根据旋转的性质，可得BO=BC,E，C'=EC；

根据等腰三角形，可得FD、FB的关系，根据勾股定理，可得BF的长，根据正切函数，可

得tan/ABF,tan/FBG的值，根据三角函数的和差，可得AG的长，根据有理数的减法，

可得答案.

【解答】解：过E作EOLBD于O,

在RtZXABD中，由勾股定理，得

BD=VAB2+AD2=V（4^6）2+10^14,

在Rt^ABF中，由勾股定理，得：

2+（10-BF）2,

解得BF=坐，

5

过G作GH〃BF,交BD于H,

ZFBD=ZGHD,ZBGH=ZFBG,

VFB=FD,

AZFBD=ZFDB,

ZFDB=ZGHD,

.\GH=GD,

•?ZFBG=ZEBC=1ZDBC=AZADB=1ZFBD,

222

又；NFBG=/BGH,ZFBG=ZGBH,

；.BH=GH,

设DG=GH=BH=x,贝FG=FD-GD-"'-x,HD=14-x,

：GH〃FB,

49

•FDBD

,,而而

解得xM.

17

故答案为：98.

17

【点评】本题考查了旋转的性质，利用了勾股定理，旋转的性质，正切函数的定义，利用三

角函数的和差得出AG的长是解题关键.

8.（3分）（2014•重庆）如图，正方形ABCD的边长为6,点。是对角线AC、BD的交点,

点E在CD上，且DE=2CE,过点C作CFXBE,垂足为F,连接OF,则OF的长为匹

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质.

【专题】计算题；几何图形问题.

【分析】在BE上截取BG=CF,连接OG,证明△OBGgAOCF,则OG=OF,ZBOG=ZCOF,

得出等腰直角三角形GOF,在RT4BCE中，根据射影定理求得GF的长，即可求得OF的

长.

【解答】解：如图，在BE上截取BG=CF,连接OG,

VRTABCECF1BE,

ZEBC=ZECF,

VZOBC=ZOCD=45°,

.,.ZOBG=ZOCF,

在AOBG与△OCF中

'OB=OC

<Z0BG=Z0CF

tBG=CF

.,.△OBG^AOCF（SAS）

.*.OG=OF,ZBOG=ZCOF,

/.OG±OF,

在RSBCE中，BC=DC=6,DE=2EC,

：.EC=2,

BE=VBC2+CE2=V62+22=25^'

VBC2=BF»BE,

贝ij62=BF，2VI5，解得：

5

；.EF=BE-BF=2^!,

5

VC^BF^EF,

ACF_3V10,

5

.\GF=BF-BG=BF-CF=-^^,

5

在等腰直角△OGF中

OF2=AGF2,

2

.\OF=.-^.

5_

故答案为：£近.

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定以及射影定理、勾股定理

的应用.

9.（3分）（2013•重庆）如图，平面直角坐标系中，已知直线y=x上一点P（1,1）,C为y

轴上一点，连接PC,线段PC绕点P顺时针旋转90。至线段PD,过点D作直线ABLx轴，

垂足为B,直线AB与直线y=x交于点A,且BD=2AD,连接CD,直线CD与直线y=x交

于点Q,则点Q的坐标为弓，,）.

【考点】一次函数综合题.

【专题】压轴题.

【分析】过P作MN_Ly轴，交y轴于M,交AB于N,过D作DH_Ly轴，交y轴于H,

ZCMP=ZDNP=ZCPD=90°,求出/MCP=/DPN,证AMCP四△NPD,推出DN=PM,

PN=CM,设AD=a,求出DN=2a-1,得出2a-1=1,求出a=l,得出D的坐标，在RtADNP

中，由勾股定理求出PC=PD=石，在RCMCP中，由勾股定理求出CM=2,得出C的坐标,

设直线CD的解析式是y=kx+3,把D(3,2)代入求出直线CD的解析式，解由两函数解

析式组成的方程组，求出方程组的解即可.

【解答】解：

过P作MN_Ly轴，交y轴于M,交AB于N,过D作DH_Ly轴，交y轴于H,

ZCMP=ZDNP=ZCPD=90°,

ZMCP+ZCPM=90°,ZMPC+ZDPN=90",

ZMCP=ZDPN,

VP(1,1),

.\OM=BN=1,PM=1,

在aMCP和4NPD中

fZCMP=ZDNP

<ZMCP=ZDPN

kPC=PD

/.△MCP^ANPD(AAS),

；.DN=PM,PN=CM,

VBD=2AD,

.•.设AD=a,BD=2a,

VP(1,1),

；.DN=2a-1,

则2a-1=1,

a=l,即BD=2.

•直线y=x,

；.AB=0B=3,

在RtADNP中，由勾股定理得：PC=PD=^(3-1)2+(2-1)

在Rt^MCP中，由勾股定理得：CM=J(函)2-]2=2,

则C的坐标是(0,3),

设直线CD的解析式是y=kx+3,

把D（3,2）代入得：k=-A,

3

即直线CD的解析式是y=-°x+3,

3

即方程组|厂3日得：，

9

产x

即Q的坐标是（22），

44

故答案为：（29）.

44

【点评】本题考查了用待定系数法求出一次函数的解析式，全等三角形的性质和判定，解方

程组，勾股定理，旋转的性质等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算

的能力，题目比较好，但是有一定的难度.

10.（3分）（2012•重庆）甲、乙两人玩纸牌游戏，从足够数量的纸牌中取牌.规定每人最

多两种取法，甲每次取4张或（4-k）张，乙每次取6张或（6-k）张（k是常数，0<k<

4）.经统计，甲共取了15次，乙共取了17次，并且乙至少取了一次6张牌，最终两人所取

牌的总张数恰好相等，那么纸牌最少有108张.

【考点】应用类问题.

【专题】应用题；压轴题.

【分析】设甲a次取（4-k）张，乙b次取（6-k）张，则甲（15-a）次取4张，乙（17

-b）次取6张，从而根据两人所取牌的总张数恰好相等，得出a、b之间的关系，再有取牌

总数的表达式，讨论即可得出答案.

【解答】解：设甲a次取（4-k）张，乙b次取（6-k）张，则甲（15-a）次取4张，乙

（17-b）次取6张，

则甲取牌（60-ka）张，乙取牌（102-kb）张

则总共取牌：N=a（4-k）+4（15-a）+b（6-k）+6（17-b）=-k（a+b）+162,

从而要使牌最少，则可使N最小，因为k为正数，函数为减函数，则可使（a+b）尽可能的

大，

由题意得，a<15,b<16,

又最终两人所取牌的总张数恰好相等，

故k（b-a）=42,而0<k<4,b-a为整数，

则由整除的知识，可得k可为1,2,3,

①当k=l时，b-a=42,因为a415,b<16,所以这种情况舍去；

②当k=2时,b-a=21,因为a415,b<16,所以这种情况舍去；

③当k=3时，b-a=14,此时可以符合题意，

综上可得：要保证a415,b<16,b-a=14,（a+b）值最大，

则可使b=16,a=2；b=15,a=l；b=14,a=0；

当b=16,a=2时，a+b最大，a+b=18,

继而可确定k=3,（a+b）=18,

所以N=-3x18+162=108张.

故答案为：108.

【点评】此题属于应用类问题，设计了数的整除、一次函数的增减性及最值的求法，综合性

较强，解答本题要求我们熟练每部分知识在实际问题的应用，一定要多思考.

三.解答题（共20小题，满分189分）

11.（9分）（2012•巴中）如图，在平面直角坐标系中，点A、C分别在x轴、y轴上，四边

形ABCO为矩形，AB=16,点D与点A关于y轴对称，tan/ACB《.点E、F分别是线段

AD、AC上的动点（点E不与A、D点重合），且/CEF=/ACB.

（1）求AC的长与点D的坐标.

（2）说明4AEF与4DCE相似.

（3）当AEFC为等腰三角形时，求点E的坐标.

【考点】相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质；等腰三角形的性质；矩形的性质；解

直角三角形.

【专题】代数几何综合题；压轴题.

【分析】（1）利用矩形的性质，在Rt^ABC中，利用三角函数求出AC、BC的长度，从而

得到A点坐标；由点D与点A关于y轴对称，进而得到D点的坐标；

（2）欲证4AEF与4DCE相似，只需要证明两个对应角相等即可.如图①，在4AEF与

△DCE中，易知/CDE=/CAO,ZAEF=ZDCE,从而问题解决；

（3）当AEFC为等腰三角形时，有三种情况，需要分类讨论：

①当CE=EF时，此时4AEF与4DCE相似比为1,则有AE=CD；

②当EF=FC时，此时4AEF与4DCE相似比为则有AE=^CD；

56

③当CE=CF时，F点与A点重合，这与已知条件矛盾，故此种情况不存在.

【解答】解：（1）由题意tan/ACB，,

3

cosZACB=—.

5

:四边形ABCO为矩形，AB=16,

/.BC=——注——二12,AC=————=20,

tan/ACB