湖南省永州市宁远县明德湘南高级中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

湖南省永州市宁远县明德湘南高级中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷考试时间：120分钟 总分：150分 年级/班级：高一（1）班一、选择题（每题5分，共20分）要求：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知函数f(x)=x^3-3x+1，若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为M，最小值为m，则M-m的值为：A.3B.6C.9D.122.在平面直角坐标系中，点A(2,3)，点B(-1,1)，则线段AB的中点坐标为：A.(1,2)B.(1,3)C.(3,1)D.(3,2)3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=9，S5=25，则首项a1的值为：A.1B.3C.5D.74.若复数z满足|z-1|=|z+1|，则复数z的实部为：A.0B.1C.-1D.25.在三角形ABC中，∠A=60°，∠B=45°，则∠C的度数为：A.45°B.60°C.75°D.90°6.已知函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），若f(1)=3，f(-1)=1，则a+b+c的值为：A.2B.3C.4D.5二、填空题（每题5分，共20分）要求：将答案填入空格内。1.若函数f(x)=x^2-2ax+a^2在区间[0,2]上单调递增，则a的取值范围为______。2.已知等比数列{an}的首项a1=3，公比q=2，则第5项a5的值为______。3.若复数z满足|z-1|=|z+1|，则复数z在复平面上的几何意义为______。4.在三角形ABC中，∠A=60°，∠B=45°，则sinC的值为______。5.已知函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），若f(1)=3，f(-1)=1，则a+b+c的值为______。三、解答题（每题10分，共30分）要求：写出解答过程，步骤要完整。1.已知函数f(x)=x^2-2x+1，求f(x)的对称轴方程。2.已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，求第10项a10的值。3.已知复数z满足|z-1|=|z+1|，求复数z的实部。三、应用题（每题10分，共20分）要求：根据题目要求，运用所学知识解决问题，并写出解答过程。3.某工厂生产一批产品，前10天每天生产20件，之后每天比前一天多生产2件，求第15天生产的产品数量。4.某市举行一场马拉松比赛，参赛选手A的速度为每小时8公里，选手B的速度为每小时10公里。比赛开始时，选手A已经领先选手B5公里。求选手B追上选手A所需要的时间。五、证明题（每题10分，共20分）要求：证明以下数学命题，步骤要完整，逻辑要清晰。5.证明：对于任意实数x，都有x^3-x≥0。6.证明：若数列{an}满足an>0，且对于任意正整数n，都有an+1=an/(an-1)，则数列{an}的极限存在，并求出该极限值。本次试卷答案如下：一、选择题1.B.6解析：f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值分别在端点取得，因为f(x)是一个三次函数，所以在区间[-2,2]内先增后减，最大值出现在x=-2，最小值出现在x=1。计算得到f(-2)=1，f(1)=0，所以M-m=1-0=1。2.A.(1,2)解析：线段AB的中点坐标是两个端点坐标的算术平均值，即((2-1)/2,(3+1)/2)=(1,2)。3.B.3解析：等差数列的前n项和公式为Sn=n/2*(a1+an)，其中an是第n项。由S3=9得到3/2*(3+a3)=9，解得a3=9。由S5=25得到5/2*(3+a5)=25，解得a5=13。公差d=a5-a3=4，所以a1=a3-2d=9-8=1。4.A.0解析：复数z满足|z-1|=|z+1|，说明z到点1和点-1的距离相等，这意味着z位于这两点连线的垂直平分线上，而这条线在实轴上，所以z的实部为0。5.C.75°解析：三角形内角和为180°，已知∠A=60°，∠B=45°，所以∠C=180°-60°-45°=75°。6.A.2解析：由f(1)=3得到a+b+c=3，由f(-1)=1得到a-b+c=1。解这个方程组得到a=2，b=0，c=1。二、填空题1.a≤1解析：函数f(x)=x^2-2ax+a^2的对称轴是x=a。要使函数在区间[0,2]上单调递增，对称轴必须在区间[0,2]的左侧，即a≤1。2.48解析：等比数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)，所以a5=3*2^(5-1)=3*2^4=48。3.z位于点-1和点1之间的垂直平分线上解析：复数z满足|z-1|=|z+1|，说明z到点1和点-1的距离相等，这意味着z位于这两点连线的垂直平分线上，而这条线在实轴上，所以z的实部为0。4.√3/2解析：sinC=sin(180°-A-B)=sin(180°-60°-45°)=sin75°。使用sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=(√2/2)(√3/2)+(√2/2)(1/2)=(√6+√2)/4=√3/2。5.4解析：由f(1)=3得到a+b+c=3，由f(-1)=1得到a-b+c=1。解这个方程组得到a=2，b=0，c=1，所以a+b+c=4。三、解答题1.对称轴方程为x=1解析：函数f(x)=x^2-2x+1可以写成f(x)=(x-1)^2，所以对称轴是x=1。2.第10项a10的值为23解析：等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，所以a10=3+(10-1)*2=3+18=21。3.复数z的实部为0解析：由|z-1|=|z+1|得到z在点-1和点1之间的垂直平分线上，所以z的实部为0。三、应用题3.某工厂生产一批产品，前10天每天生产20件，之后每天比前一天多生产2件，求第15天生产的产品数量。答案：第15天生产的产品数量为52件。解析：这是一个等差数列问题，前10天每天生产的产品数量构成一个等差数列，首项a1=20，公差d=2。第15天是第11天，所以n=15，使用等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，代入a1和d的值得到第15天的生产数量a15=20+(15-1)*2=20+28=48件。4.某市举行一场马拉松比赛，参赛选手A的速度为每小时8公里，选手B的速度为每小时10公里。比赛开始时，选手A已经领先选手B5公里。求选手B追上选手A所需要的时间。答案：选手B追上选手A需要1小时。解析：选手A和选手B的速度差是2公里/小时（10-8=2），选手A领先5公里。要追上这5公里的差距，需要的时间是距离除以速度差，即5公里/2公里/小时=2.5小时，换算成小时和分钟是1小时30分钟，但题目要求只计算小时，所以答案是1小时。五、证明题5.证明：对于任意实数x，都有x^3-x≥0。答案：证明如下：解析：考虑函数g(x)=x^3-x。我们需要证明对于所有的x，g(x)都大于等于0。首先，我们观察函数在x=0时的值，g(0)=0^3-0=0。接下来，我们考虑x≠0的情况。当x>0时，x^3是正数，而-x是负数，但由于x^3的绝对值大于-x的绝对值，所以x^3-x是正数。当x<0时，x^3是负数，而-x是正数，同样由于x^3的绝对值大于-x的绝对值，所以x^3-x是负数。但由于我们要证明的是x^3-x≥0，所以我们需要证明负数的绝对值小于等于0，这是显然成立的。因此，对于任意实数x，都有x^3-x≥0。6.证明：若数列{an}满足an>0，且对于任意正整数n，都有an+1=an/(an-1)，则数列{an}的极限存在，并求出该极限值。答案：数列{an}的极限存在，且极限值为1。解析：首先，我们知道数列{an}是正数数列，因此对于所有的n，an>0。现在我们来证明数列{an}的极限存在。考虑数列的递推关系an+1=an/(an-1)，我们可以将其重写为an+1=1+1/(an-1)。注意到1/(an-1)是正数，因此an+1>1。