2025版高考数学一轮复习第十二章复数算法推理与证明第3讲合情推理与演绎推理教案文新人教A版

PAGEPAGE1第3讲合情推理与演绎推理一、学问梳理1．推理(1)定义：依据一个或几个已知的推断来确定一个新的推断的思维过程．(2)分类：推理eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(合情推理,演绎推理))2．合情推理归纳推理类比推理定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理特点由部分到整体、由个别到一般的推理由特别到特别的推理3.演绎推理(1)定义：从一般性的原理动身，推出某个特别状况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．(2)特点：演绎推理是由一般到特别的推理．(3)模式：三段论eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(①大前提：已知的一般原理；,②小前提：所探讨的特别状况；,③结论：依据一般原理，对特别状况做出的推断.))常用结论1．合情推理包括归纳推理和类比推理，其结论是猜想，不肯定正确，若要确定其正确性，则须要证明．2．在进行类比推理时，要从本质上去类比，只从一点表面现象去类比，就会犯机械类比的错误．3．应用三段论解决问题，要明确什么是大前提、小前提，假如前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．若大前提或小前提错误，尽管推理形式是正确的，但所得结论是错误的．二、习题改编1．(选修1­2P25例3改编)给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若z1，z2∈C，则z1－z2＝0⇒z1＝z2”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋beq\r(2)＝c＋deq\r(2)⇒a＝c，b＝d”；③“若a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出“若z1，z2∈C，则z1－z2>0⇒z1>z2”．其中类比得到的结论正确的是．答案：①②2．(选修1­2P23例2改编)已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是．解析：由a1＝1，an＝an－1＋2n－1，则a2＝a1＋2×2－1＝4；a3＝a2＋2×3－1＝9；a4＝a3＋2×4－1＝16，所以猜想an＝n2.答案：an＝n2一、思索辨析推断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)归纳推理得到的结论不肯定正确，类比推理得到的结论肯定正确．()(2)由平面三角形的性质推想空间四面体的性质，这是一种合情推理．()(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．()(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就肯定正确．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×二、易错纠偏eq\a\vs4\al(常见误区)(1)归纳推理没有找出规律；(2)类比推理类比规律错误．1．数列2，5，11，20，x…中的x等于．解析：由5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9，推出x－20＝12，故x＝32.答案：322．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为．解析：eq\f(V1,V2)＝eq\f(\f(1,3)S1h1,\f(1,3)S2h2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(S1,S2)))·eq\f(h1,h2)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8).答案：1∶8归纳推理(多维探究)角度一与数字(数列)有关的推理视察下列等式：1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)，1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)－eq\f(1,6)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)，…据此规律，第n个等式可为．【解析】等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交织，故第n个等式左边有2n项且正负交织，应为1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n个有n项，且由前几个的规律不难发觉第n个等式右边应为eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n).【答案】1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)角度二与式子有关的推理设函数f(x)＝eq\f(x,x＋2)(x>0)，视察：f1(x)＝f(x)＝eq\f(x,x＋2)，f2(x)＝f(f1(x))＝eq\f(x,3x＋4)，f3(x)＝f(f2(x))＝eq\f(x,7x＋8)，f4(x)＝f(f3(x))＝eq\f(x,15x＋16)，…依据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝．【解析】依据题意知，分子都是x，分母中的常数项依次是2，4，8，16，…，可知fn(x)的分母中常数项为2n，分母中x的系数为2n－1，故fn(x)＝f(fn－1(x))＝eq\f(x,（2n－1）x＋2n).【答案】eq\f(x,（2n－1）x＋2n)角度三与图形改变有关的推理我国的刺绣有着悠久的历史，如图所示(1)(2)(3)(4)为刺绣最简洁的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越美丽．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(n)的表达式为()A．f(n)＝2n－1 B．f(n)＝2n2C．f(n)＝2n2－2n D．f(n)＝2n2－2n＋1【解析】我们考虑f(2)－f(1)＝4，f(3)－f(2)＝8，f(4)－f(3)＝12，…，结合图形不难得到f(n)－f(n－1)＝4(n－1)，累加得f(n)－f(1)＝2n(n－1)＝2n2－2n，故f(n)＝2n2－2n＋1.【答案】Deq\a\vs4\al()(1)归纳推理的常见类型及求解策略①数的归纳．包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，还须要细心视察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的学问，如等差数列、等比数列等．②形的归纳．主要包括图形数目归纳和图形改变规律归纳，解决的关键是抓住相邻图形之间的关系．(2)运用归纳推理的思维步骤1.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年．如图是杨辉三角数阵，记an为图中第n行各个数之和，则a5＋a11的值为()A．528 B．1020C．1038 D．1040解析：选D.a1＝1，a2＝2，a3＝4＝22，a4＝8＝23，a5＝16＝24，…，所以an＝2n－1，a5＋a11＝24＋210＝1040，故选D.2．如图所示，是某小挚友在用火柴拼图时呈现的图形，其中第1个图形用了3根火柴，第2个图形用了9根火柴，第3个图形用了18根火柴，…，则第2018个图形用的火柴根数为()A．2014×2017 B．2015×2016C．3024×2018 D．3027×2019解析：选D.由题意，第1个图形须要火柴的根数为3×1；第2个图形须要火柴的根数为3×(1＋2)；第3个图形须要火柴的根数为3×(1＋2＋3)；…由此，可以推出第n个图形须要火柴的根数为3×(1＋2＋3＋…＋n)．所以第2018个图形须要火柴的根数为3×(1＋2＋3＋…＋2018)＝3×eq\f(2018×（2018＋1）,2)＝3027×2019.类比推理(典例迁移)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，设a，b，c分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．【解】如题图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°.设a，b，c分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.类似地，在四面体P­DEF中，∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°.设S1，S2，S3和S分别表示△PDF，△PDE，△EDF和△PEF的面积，相应于直角三角形的2条直角边a，b和1条斜边c，图中的四面体有3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S.于是，类比勾股定理的结构，我们猜想S2＝Seq\o\al(2,1)＋Seq\o\al(2,2)＋Seq\o\al(2,3)成立．【迁移探究】(变条件)若本例条件“由勾股定理，得c2＝a2＋b2”换成“cos2A＋cos2B＝1”，则在空间中，给出四面体性质的猜想．解：如图，在Rt△ABC中，cos2A＋cos2B＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))eq\s\up12(2)＝eq\f(a2＋b2,c2)＝1.于是把结论类比到四面体P­A′B′C′中，我们猜想，四面体P­A′B′C′中，若三个侧面PA′B′，PB′C′，PC′A′两两相互垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.eq\a\vs4\al()1．二维空间中，圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2，三维空间中，球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝eq\f(4,3)πr3.应用合情推理，若四维空间中，“超球”的三维测度V＝8πr3，则其四维测度W＝()A．2πr4 B．3πr4C．4πr4 D．6πr4解析：选A.二维空间中，圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2，(πr2)′＝2πr，三维空间中，球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝eq\f(4,3)πr3，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)πr3))′＝4πr2，四维空间中，“超球”的三维测度V＝8πr3，因为(2πr4)′＝8πr3，所以“超球”的四维测度W＝2πr4，故选A.2．在正项等差数列{an}中有eq\f(a41＋a42＋…＋a60,20)＝eq\f(a1＋a2＋…＋a100,100)成立，则在正项等比数列{bn}中，类似的结论为．解析：由等差数列的性质知，eq\f(a41＋a42＋…＋a60,20)＝eq\f(10（a41＋a60）,20)＝eq\f(a1＋a100,2)，eq\f(a1＋a2＋…＋a100,100)＝eq\f(50（a1＋a100）,100)＝eq\f(a1＋a100,2)，所以eq\f(a41＋a42＋…＋a60,20)＝eq\f(a1＋a2＋…＋a100,100).在正项等比数列{bn}中，类似的有：eq\r(20,b41b42…b60)＝eq\r(20,（b41b60）10)＝eq\r(20,（b1b100）10)＝eq\r(b1b100)，eq\r(100,b1b2b3…b100)＝eq\r(100,（b1b100）50)＝eq\r(b1b100)，所以eq\r(20,b41b42b43…b60)＝eq\r(100,b1b2b3…b100)，所以在正项等比数列{bn}中，类似的结论为eq\r(20,b41b42b43…b60)＝eq\r(100,b1b2b3…b100).答案：eq\r(20,b41b42b43…b60)＝eq\r(100,b1b2b3…b100)演绎推理(师生共研)数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝eq\f(n＋2,n)Sn(n∈N*)．证明：(1)数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是等比数列；(2)Sn＋1＝4an.【证明】(1)因为an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝eq\f(n＋2,n)Sn，所以(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.故eq\f(Sn＋1,n＋1)＝2·eq\f(Sn,n)，(小前提)故eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义)(2)由(1)可知eq\f(Sn＋1,n＋1)＝4·eq\f(Sn－1,n－1)(n≥2)，所以Sn＋1＝4(n＋1)·eq\f(Sn－1,n－1)＝4·eq\f(n－1＋2,n－1)·Sn－1＝4an(n≥2)．又因为a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，所以对于随意正整数n，都有Sn＋1＝4an.eq\a\vs4\al()演绎推理的推证规则(1)演绎推理是从一般到特别的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，假如前提是明显的，则可以省略．(2)在推理论证过程中，一些稍困难一点的证明题经常要由几个三段论才能完成．已知函数y＝f(x)满意：对随意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，试证明：f(x)为R上的单调递增函数．证明：设x1，x2∈R，取x1<x2，则由题意得x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)，所以x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0，因为x1<x2，所以f(x2)－f(x1)>0，f(x2)>f(x1)．所以y＝f(x)为R上的单调递增函数．核心素养系列22逻辑推理——推理中的核心素养(2024·高考全国卷Ⅱ)在“一带一路”学问测验后，甲、乙、丙三人对成果进行预料．甲：我的成果比乙高．乙：丙的成果比我和甲的都高．丙：我的成果比乙高．成果公布后，三人成果互不相同且只有一个人预料正确，那么三人按成果由高到低的次序为()A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙【解析】依题意，若甲预料正确，则乙、丙均预料错误，此时三人成果由高到低的次序为甲、乙、丙；若乙预料正确，此时丙预料也正确，这与题意相冲突；若丙预料正确，则甲预料错误，此时乙预料正确，这与题意相冲突．综上所述，三人成果由高到低的次序为甲、乙、丙，选A.【答案】Aeq\a\vs4\al()本题体现数学素养中的逻辑推理，表现为人们在数学活动中进行沟通的基本思维品质，处理此类问题常采纳辨证推理的思想．(2024·河北省九校其次次联考)学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预料如下，甲说：“是C或D作品获得一等奖”；乙说：“B作品获得一等奖”；丙说：“A，D两项作品未获得一等奖”；丁说：“是C作品获得一等奖”．若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是解析：若获得一等奖的是A，则甲、乙、丙、丁四位同学说的话都错；若获得一等奖的是B，则乙、丙两位同学说的话对，符合题意；若获得一等奖的是C，则甲、丙、丁三位同学说的话都对；若获得一等奖的是D，则只有甲同学说的话对．故获得一等奖的作品是B.答案：B[基础题组练]1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理()A．结论正确 B．大前提不正确C．小前提不正确 D．全不正确解析：选C.因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．2．若等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))为等差数列，公差为eq\f(d,2).类似地，若各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q，前n项的积为Tn，则等比数列{eq\r(n,Tn)}的公比为()A.eq\f(q,2) B．q2C.eq\r(q) D．eq\r(n,q)解析：选C.由题意知，Tn＝b1·b2·b3·…·bn＝b1·b1q·b1q2·…·b1qn－1＝beq\o\al(n,1)q1＋2＋…＋(n－1)＝beq\o\al(n,1)qeq\s\up6(\f(（n－1）n,2))，所以eq\r(n,Tn)＝b1qeq\s\up6(\f(n－1,2))，所以等比数列{eq\r(n,Tn)}的公比为eq\r(q)，故选C.3．(2024·重庆市学业质量调研)甲、乙、丙、丁四位同学参与奥赛，其中只有一位获奖，有人走访四位同学，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”已知四位同学的话只有一句是对的，则获奖的同学是()A．甲 B．乙C．丙 D．丁解析：选D.假设获奖的同学是甲，则甲、乙、丙、丁四位同学的话都不对，因此甲不是获奖的同学；假设获奖的同学是乙，则甲、乙、丁的话都对，因此乙也不是获奖的同学；假设获奖的同学是丙，则甲和丙的话都对，因此丙也不是获奖的同学．从前面推理可得丁为获奖的同学，此时只有乙的话是对的，故选D.4．(2024·荆州质检)若正偶数由小到大依次排列构成一个数列，则称该数列为“正偶数列”，且“正偶数列”有一个好玩的现象：①2＋4＝6；②8＋10＋12＝14＋16；③18＋20＋22＋24＝26＋28＋30；…依据这样的规律，则2018所在等式的序号为()A．29 B．30C．31 D．32解析：选C.由题意知，每个等式中正偶数的个数组成等差数列3，5，7，…，2n＋1，其前n项和Sn＝eq\f(n[3＋（2n＋1）],2)＝n(n＋2)，所以S31＝1023，则第31个等式中最终一个偶数是1023×2＝2046，且第31个等式中含有2×31＋1＝63个偶数，故2018在第31个等式中．5．若P0(x0，y0)在椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)外，过P0作椭圆的两条切线的切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在的直线方程是eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P0(x0，y0)在双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)外，过P0作双曲线的两条切线，切点为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程是．解析：类比椭圆的切点弦方程可得双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的切点弦方程为eq\f(x0x,a2)－eq\f(y0y,b2)＝1.答案：eq\f(x0x,a2)－eq\f(y0y,b2)＝16．依据图①～图③的规律，第10个图中圆点有个．解析：因为依据图形，第一个图有4个点，其次个图有8个点，第三个图有12个点，…，所以第10个图有10×4＝40个点．答案：407．(2024·河北石家庄模拟)视察下列式子：1＋eq\f(1,22)<eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)<eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)<eq\f(7,4)，…，依据上述规律，第n个不等式可能为．解析：1＋eq\f(1,22)<eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)<eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)<eq\f(7,4)，…，依据上述规律，第n个不等式的左端是n＋1项的和1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,（n＋1）2)，右端分母依次是2，3，4，…，n＋1，分子依次是3，5，7，…，2n＋1，故第n个不等式为1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,（n＋1）2)<eq\f(2n＋1,n＋1).答案：1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,（n＋1）2)<eq\f(2n＋1,n＋1)8．在锐角三角形ABC中，求证：sinA＋sinB＋sinC>cosA＋cosB＋cosC.证明：因为△ABC为锐角三角形，所以A＋B>eq\f(π,2)，所以A>eq\f(π