2025版高考数学大一轮复习第七章不等式4第4讲基本不等式新题培优练文含解析新人教A版

PAGE1-第4讲基本不等式[基础题组练]1．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是()A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2eq\r(ab)C.eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)>eq\f(2,\r(ab)) D.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2解析：选D.因为a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以A错误．对于B，C，当a<0，b<0时，明显错误．对于D，因为ab>0，所以eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2.2．(2024·安徽省六校联考)若正实数x，y满意x＋y＝2，且eq\f(1,xy)≥M恒成立，则M的最大值为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选A.因为正实数x，y满意x＋y＝2，所以xy≤eq\f(（x＋y）2,4)＝eq\f(22,4)＝1，所以eq\f(1,xy)≥1；又eq\f(1,xy)≥M恒成立，所以M≤1，即M的最大值为1.3．设x>0，则函数y＝x＋eq\f(2,2x＋1)－eq\f(3,2)的最小值为()A．0 B.eq\f(1,2)C．1 D.eq\f(3,2)解析：选A.y＝x＋eq\f(2,2x＋1)－eq\f(3,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＋eq\f(1,x＋\f(1,2))－2≥2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))·\f(1,x＋\f(1,2)))－2＝0，当且仅当x＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,x＋\f(1,2))，即x＝eq\f(1,2)时等号成立．所以函数的最小值为0.故选A.4．(2024·长春市质量检测(一))已知x>0，y>0，且4x＋y＝xy，则x＋y的最小值为()A．8 B．9C．12 D．16解析：选B.由4x＋y＝xy得eq\f(4,y)＋eq\f(1,x)＝1，则x＋y＝(x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,y)＋\f(1,x)))＝eq\f(4x,y)＋eq\f(y,x)＋1＋4≥2eq\r(4)＋5＝9，当且仅当eq\f(4x,y)＝eq\f(y,x)，即x＝3，y＝6时取“＝”，故选B.5．已知x>0，y>0，2x＋y＝3，则xy的最大值为________．解析：xy＝eq\f(2xy,2)＝eq\f(1,2)×2xy≤eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x＋y,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(9,8)，当且仅当2x＝y＝eq\f(3,2)时取等号．答案：eq\f(9,8)6．(2024·高考江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．解析：一年购买eq\f(600,x)次，则总运费与总存储费用之和为eq\f(600,x)×6＋4x＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(900,x)＋x))≥8eq\r(\f(900,x)·x)＝240，当且仅当x＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.答案：307．函数y＝eq\f(x2,x＋1)(x>－1)的最小值为________．解析：因为y＝eq\f(x2－1＋1,x＋1)＝x－1＋eq\f(1,x＋1)＝x＋1＋eq\f(1,x＋1)－2，x>－1，所以y≥2eq\r(1)－2＝0，当且仅当x＝0时，等号成立．答案：08．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．解：(1)由2x＋8y－xy＝0，得eq\f(8,x)＋eq\f(2,y)＝1，又x>0，y>0，则1＝eq\f(8,x)＋eq\f(2,y)≥2eq\r(\f(8,x)·\f(2,y))＝eq\f(8,\r(xy)).得xy≥64，当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．所以xy的最小值为64.(2)由2x＋8y－xy＝0，得eq\f(8,x)＋eq\f(2,y)＝1，则x＋y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,x)＋\f(2,y)))·(x＋y)＝10＋eq\f(2x,y)＋eq\f(8y,x)≥10＋2eq\r(\f(2x,y)·\f(8y,x))＝18.当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，所以x＋y的最小值为18.[综合题组练]1．若a>0，b>0，a＋b＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)，则3a＋81b的最小值为()A．6 B．9C．18 D．24解析：选C.因为a>0，b>0，a＋b＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)，所以ab(a＋b)＝a＋b>0，所以ab＝1.则3a＋81b≥2eq\r(3a·34b)＝2eq\r(3a＋4b)≥2eq\r(32\r(a·4b))＝18，当且仅当a＝4b＝2时取等号．所以3a＋81b的最小值为18.故选C.2．不等式x2＋x<eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)对随意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值范围是()A．(－2，0) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C．(－2，1) D．(－∞，－4)∪(2，＋∞)解析：选C.依据题意，由于不等式x2＋x<eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)对随意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则x2＋x<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)＋\f(b,a)))eq\s\do7(min)，因为eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≥2eq\r(\f(a,b)·\f(b,a))＝2，当且仅当a＝b时等号成立，所以x2＋x<2，求解此一元二次不等式可知－2<x<1，所以x的取值范围是(－2，1)．3．已知x>0，y>0，且2x＋4y＋xy＝1，则x＋2y的最小值是________．解析：令t＝x＋2y，则2x＋4y＋xy＝1可化为1＝2x＋4y＋xy≤2(x＋2y)＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋2y,2)))eq\s\up12(2)＝2t＋eq\f(t2,8).因为x>0，y>0，所以x＋2y>0，即t>0，t2＋16t－8≥0，解得t≥6eq\r(2)－8.即x＋2y的最小值是6eq\r(2)－8.答案：6eq\r(2)－84．已知正实数a，b满意a＋b＝4，则eq\f(1,a＋1)＋eq\f(1,b＋3)的最小值为________．解析：因为a＋b＝4，所以a＋1＋b＋3＝8，所以eq\f(1,a＋1)＋eq\f(1,b＋3)＝eq\f(1,8)[(a＋1)＋(b＋3)]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a＋1)＋\f(1,b＋3)))＝eq\f(1,8)eq\b\l