安徽省亳州市2023年九年级《数学》上学期期末试题与参考答案

11/30安徽省亳州市2023年九年级《数学》上学期期末试题与参考答案一、选择题本大题共10小题，每小题4分，共40分。1.下列各式中，y是x的二次函数的是（）A. B. C. D.【答案】C【分析】利用二次函数定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数进行解答即可．【详解】解：A、y=3x-1是一次函数，故此选项不合题意；B、不是二次函数，故此选项不合题意；C、y=3x2+x-1是二次函数，故此选项符合题意；D、y=2x3-1不是二次函数，故此选项不合题意；故选：C．2.已知2x=3y（xy≠0），那么下列比例式中成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【分析】根据比例的性质求解即可【详解】解：A．因为，所以，故A不符合题意；B．因为，所以，故B不符合题意；C．因为，所以，故C符合题意；D．因为，所以，故D不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了比例性质，掌握比例的性质是解题的关键．3.在△中，∠，如果，，那么cos的值为（）A. B.C. D.【答案】A【分析】先利用勾股定理求出AB的长度，从而可求.【详解】因为∠，，所以所以，故选A4.如果反比例函数（a是常数）的图象在第一、三象限，那么a的取值范围是（）A.a<0 B.a>0 C.a<2 D.a>2【答案】D【分析】反比例函数图象在一、三象限，可得．【详解】解：反比例函数（a是常数）的图象在第一、三象限，，．故选D．【点睛】本题运用了反比例函数图象的性质，解题关键要知道k的决定性作用．5.下列说法中，真命题的个数是（）①任何三角形有且只有一个外接圆；②任何圆有且只有一个内接三角形；③三角形的外心不一定在三角形内；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤经过三点确定一个圆；A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【分析】①根据圆的确定，进行判断即可；②根据三角形的定义进行判断即可；③直角三角形的外心在斜边上，锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，进行判断；④根据三角形的外心是三条边的中垂线的交点，进行判断即可；⑤不在同一条直线上的三个点确定一个圆．【详解】解：①任何三角形有且只有一个外接圆，是真命题；②任何圆有无数个内接三角形，原说法错误，是假命题；③三角形的外心不一定在三角形内，是真命题；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，原说法错误，是假命题；⑤不在同一条直线上的三个点确定一个圆，原说法错误，是假命题；综上，真命题的个数为2个；故选B．6.若抛物线y=﹣x2+bx+c经过点（﹣2，3），则2c﹣4b﹣9的值是（）A.5 B.﹣1 C.4 D.18【答案】A【详解】因为抛物线y=﹣x2+bx+c经过点（﹣2，3），所以-4-2b+c=3，即c-2b=7，所以2c-4b-9=2(c-2b)-9=14-9=5.故选A.7.如图，直线a∥b∥c，则下列结论不正确的为（） B. C. D.【答案】D【分析】根据平行线分线段成比例定理定理列出比例式，判断即可．【详解】A、因为a∥b∥c，所以，本选项结论正确，不符合题意；B、因为a∥b∥c，所以，本选项结论正确，不符合题意；C、因为a∥b∥c，所以，本选项结论正确，不符合题意；D、连接AF，交BE于H，因为b∥c，所以△ABH∽△ACF，所以，本选项结论不正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．8.在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosB的值为()A.1 B. C. D.【答案】B【分析】先根据sinA=得到∠A的度数，即可得到∠B的度数，再根据特殊角的锐角三角函数值即可得到结果．【详解】解：因为sinA=所以∠A=60°因为∠C=90°所以∠B=30°所以cosB=故选B．9.如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点运动终止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致表示与的函数关系的是（）A. B.C D.【答案】A【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：①时，根据，列出函数关系式，从而得到函数图象；②时，根据列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解．【详解】①当时，因为正方形的边长为，所以；②当时，，所以，与之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合，故选A．10.如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，0），点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似（不包括全等），则点C的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【分析】根据题意画出图形，根据相似三角形的判定定理即可得出结论．【详解】解：如图①，，时，．如图②，，，则，故；如图③，，，则，故△；如图④，，，则△．故选：D．二、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分。11.如图，已知A为反比例函数的图象上一点，过点A作轴，垂足为B．若的面积为2，则k的值为__________________．【答案】【分析】再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|=2，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．【详解】解：因为AB⊥y轴，所以S△OAB=|k|，所以|k|=2，因为k＜0，所以k=-4．故答案为：-4．【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．12.两个相似三角形的面积比为1：9，则它们的周长比为_____．【答案】1：3【分析】相似三角形的周长比等于其对应边长比，而面积比等于对应边长比的平方．【详解】已知两个相似三角形的面积比为1：9，相似三角形的面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比，由此可得这两个三角形的周长比为1：3，故答案为1：3．【点睛】本题考查了相似三角形的性质，主要从三角形其面积比等于周长比的平方来进行考查的，难度不大．13.若扇形的圆心角为120°的弧长是12πcm,则这个扇形的面积是______________【答案】4π【详解】设扇形的半径为R则

因为，所以R=18cm，所以S扇形＝=12π×18÷2=108πcm2，故答案是：108π.14.如图的两条直角边，，点D沿从A向B运动，速度是，同时，点E沿从B向C运动，速度为．动点E到达点C时运动终止．连接．（1）当动点运动______秒时，与相似；（2）当动点运动______秒时，．【答案】①.或②.【分析】（1）分当时，当时，两种情况利用相似三角形的性质求解即可；（2）如图所示，过点E作于F，证明，求出，，则，再证明，得到，即，解方程即可．【详解】解：（1）由题意得，则，在中，由勾股定理得，当时，所以，即，解得；当时，所以，即，解得；综上所述，当或时，与相似，故答案为：或；（2）如图所示，过点E作于F，则，所以，所以，即，所以，，所以因为，所以，所以，所以，又因为，所以，所以，即，解得，故答案为：．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键．三、解答题15.计算：．【答案】3【分析】根据零指数幂、特殊角的三角函数、二次根式、绝对值分别化简后进行合并即可．【详解】解：【点睛】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．16.已知抛物线过点和，求该抛物线的解析式．【答案】【分析】把和代入，解方程组求出b、c的值即可得答案.【详解】解：因为抛物线过点和，所以解方程组，得所以抛物线的解析式是．17.在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别是，，．（1）作出关于O点逆时针旋转得到；（2）作出以点O为位似中心，位似比为1的．【答案】（1）见详解（2）见详解【分析】（1）根据旋转性质找到点，，，分别连接起来即可得到答案；（2）根据位似性质找到，，，分别连接起来即可得到答案；【小问1详解】解：根据旋转性质找到点，，，分别连接起来，如图所示，；【小问2详解】解：根据位似比为1可得找到，，，分别连接起来，如图所示，．【点睛】本题考查画旋转图及位似图，解题的关键是熟练掌握旋转性质及位似性质．18.用“”和“”分别代表甲种植物和乙种植物，为了美化环境，采用如图所示的方案种植：（1）观察图形，寻找规律，并将下表填写完整：图序①②③④14949（2）分别表示出第n个图形中甲种植物和乙种植物的株数．【答案】（1）见详解；（2），．【分析】（1）根据图形规律可知甲种植物是第n个图形就有n行n列，总数是n的平方，乙种植物第n个图形就有行列，总数是，即可得到答案；（2）根据图形规律即可得到答案；【小问1详解】解：由图形可得，甲种植物是第n个图形就有n行n列，乙种植物第n个图形就有行列，图序①②③④14949【小问2详解】解：：由图形可得，甲种植物是第n个图形就有n行n列，乙种植物第n个图形就有行列，所以第n个图形中甲种植物和乙种植物的株数分别为：，．19.已知：如图，为直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D．（1）求证：平分．（2）过点O作线段的垂线，垂足为E．若，．求垂线段OE的长．【答案】（1）见详解；（2）【分析】（1）连接，根据切线性质即可得到，根据可得，即可得到，最后根据可得，即可得到证明；（2）根据垂径定理即可得到，再根据可得，结合（1）中，即可得到，可得，即可得到答案．【小问1详解】证明：因为是的切线，所以，因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以平分；【小问2详解】解：因为，所以，，因为，所以，，因为，，所以所以．【点睛】本题考查勾股定理，垂径定理，相似三角形判定与性质，直角三角形两锐角互余，解题的关键是根据切线及垂直得到角度相等．20.小李要外出参加“建国70周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图①，②分别是她上网时看到某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆，箱长，拉杆的长度都相等，在上，在上，支杆，请根据以上信息，解决下列问题．求的长度（结果保留根号）；求拉杆端点到水平滑杆的距离（结果保留根号）．【答案】（1）cm；（2）cm.【分析】过作于,,根据求出再求出CD，根据求出DE,即可求出AC;过作交的延长线于，根据，求出即可.【详解】解：过作于,过作交的延长线于，答：拉杆端点到水平滑杆的距离为．21.如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于、两点．点在反比例函数图象上，连接，交轴于点．（1）求反比例函数的解析式．（2）求的面积．【答案】（1）；（2）【分析】（1）点A（，1），M（－3，）是反比例函数图象上的点，可＝，解得或舍去，所以，得到，所以反比例函数解析式为．（2）由反比例函数的对称性可知，点的坐标为，由点和点的坐标可求得直线的函数关系式为，所以点的坐标为，分别过、作轴的垂线，垂足分别为点、点，则，由可求得的面积．【小问1详解】解：因为点A（，1），M（－3，）是反比例函数图象上的点，＝，解得或舍去，所以，所以点的坐标为（4，1），点的坐标为（1，4），所以反比例函数的解析式为．【小问2详解】解：因为反比例函数的图象与正比例函数的图象交于、两点，且A（4，1），．所以点的坐标为，设直线的函数关系式为，把点，点分别代入得，解得，所以直线的函数关系式为，当时，，所以点的坐标为（0，3），如图，分别过、作轴的垂线，垂足分别为点、点，则，所以．22.如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P坐标；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；（2）点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．【分析】（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；（2）先求出点B的坐标，再根据勾股定理求得BC的长，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB；②PB=PC；③BP=BC；分别根据这三种情况求出点P的坐标；（3）设AM=t则DN=2t，由AB=2，得BM=2﹣t，S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t，把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得△MNB最大面积；此时点M在D点，点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．【详解】解：（1）把A（1，0）和C（0，3）代入y=x2+bx+c，解得：b=﹣4，c=3，所以二次函数的表达式为：y=x2﹣4x+3；（2）令y=0，则x2﹣4x+3=0，解得：x=1或x=3，所以B（3，0），所以BC=3，点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，①当CP=CB时，PC=3，所以OP=OC+PC=3+3或OP=PC﹣OC=3﹣3所以P1（0，3+3），P2（0，3﹣3）；②当PB=PC时，OP=OB=3，所以P3（0，-3）；③当BP=BC时，因为OC=OB=3所以此时P与O重合，所以P4（0，0）；综上所述，点P的坐标为：（0，3+3）或（0，3﹣3）或（﹣3，0）或（0，0）；（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，所以S△MNB=×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．23.(1)问题发现如图1，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=45°，点D是线段AB上一动点，连接BE.填空:①的值为；②∠DBE的度数为.(2)类比探究如图2，在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=60°，点D是线段AB上一动点，连接BE.请判断的值及∠DBE的度数，并说明理由.(3)拓展延伸如面3，在(2)的条件下，将点D改为直线AB上一动点，其余条件不变，取线段DE的中点M，连接BM、CM，若AC=2，则当△CBM是直角三角形时，线段BE的长是多少?请直接写出答案.【答案】（1）1，90°；（2），90°，理由见解析；（3）3+或3-【分析】（1）易得△ABC和△CDE为等腰直角三角形，所以AC=BC，CD=CE，通过证明△ACD≌△BCE，可得AD=BE和∠CAD=∠CBE=45°，进而得出答案；（2）通过证明△ACD∽△BCE，可得的值，∠CBE=∠CAD=60°，即可求∠DBE的度数；（3）分点D在线段AB上和BA延长线上两种情况讨论，由直角三角形的性质可证CM=BM=，即可求DE=，由相似三角形的性质可得∠ABE=90°，BE=AD，由勾股定理可求BE的长．【详解】解：（1）因为∠ACB=∠DCE=90°，∠CAB=∠CDE=45°，所以∠ABC=∠CAB=45°，∠CDE=∠CED=45°所以AC=BC，C