2025年中考数学专题复习：利用“点圆”“线圆”解决线段最值问题（含解析）

更多更新资料详情加微：xiaojuzi9598或zhixing16881利用“点圆”“线圆”解决线段最值问题一阶方法突破练1.如图，一次函数y=x+3的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，⊙O的半径为2,点C是一次函数y=x+3图象上一点，点2.如图，抛物线y=ax²+bx+4(a<0)与以A为圆心，AO长为半径的圆交y轴于点C，与⊙A3.如图，抛物线y=x²-3x-4与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点B,点C(0,1),以C为圆心,1为半径画圆,点P在⊙C上,连接二阶设问进阶练例如图，抛物线y=-x²-3x+4与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧(1)若以点C为圆心，1为半径的圆上有一动点P，连接BP，点Q为线段BP上一点，且BQ=15(2)若点D为抛物线上一点且横坐标为-3,点E为y轴上一点，点F在以点A为圆心，2为半径的圆上，求DE(3)若以点B为圆心，3为半径作圆，与x轴的正半轴交于点H，点M是⊙B上的一动点，连接AM，以AM为直角边向下作等腰Rt△MAN,且∠MAN=90°,，连接综合强化练1.如图，已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点(1)求抛物线的解析式；(2)⊙M是△ABC的外接圆，求⊙M的半径和圆心M(3)若点P是x轴上的动点，抛物线与⊙M的另一个交点为点D，当PD+PM的值最小时，求PD+PM作图区答题区2.如图，抛物线y=ax²+bx与x轴交于点A(4，0)，顶点B的坐标为(2-2,(1)求抛物线的解析式；(2)求点C的坐标;(3)若点D是抛物线上对称轴右侧的一个动点，以点D为圆心，以2个单位长度为半径作⊙D,当⊙D与直线OC相切时,求点D坐标.作图区答题区3.如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²-2ax+a+2a(1)求a的值;(2)点M是第四象限内抛物线上的一点，过点B作.BN//AM,连接MN交x轴于点C，若SACM:(3)如图②,过点P0-52作x轴的平行线交抛物线于H，R两点.在抛物线上存在一点E，使得以点E为圆心的⊙E过点P，R，且与直线y=d相切.作图区答题区一阶方法突破练1.解：∵一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A,B两点,令x=0,解得y=3,令y=0,解得x=-3,∴A(-3,0),B(0,3),∴AO=3,OB=3,∴作圆心到直线的垂线.如解图,过点O作OC'⊥AB于点C',交⊙O于点D',则当点C在C'处,点D在D'处时,CD最小,为C'D'.∵∴∴∴CD长的最小值为22.解:∵抛物线y=ax²+bx+4(a<0)与以A为圆心,AO长为半径的圆交y轴于点C,∵以A为圆心，以AO的长为半径的圆恰好经过点B,C,∴AO=AB=AC,∴△AOC是等腰三角形,∴A点在线段OC的垂直平分线上，∴点A的纵坐标为2,设点A的坐标为(x,2),∵AB=AC,B(-1,5),∴AB²=AC²∴A(-3,2),把B(-1,5),A(-3,2)分别代入y=ax²+bx+4,∴抛物线的解析式为y3.解:如解图,过点C作CD⊥AB于点D,交⊙C于点P',连接P'A,P'B,此时△P'AB的面积最小,当x=0时,y=-4,∴B(0,-4),当y=0时,x=4或x=-1,∵点A在x轴的正半轴上,∴A(4,0).∵C(0,1),∴BC=5,AO=4,BO=4,∴AB=42.∵∠ABO=∠CBD,∠AOB=∠CDB=90°,∴△AOB∽△CDB,∴∴∴∴△ABP面积的最小值为10二阶设问进阶练例解:((1)令y=-x²-3x+4=0,则x₁=1,x₂=-4,∴A(-4,0),B(1,0),则AB=5,即∵∠QBO=∠PBA,且BQ=15BP∴AB:OB=AP:OQ=BP:BQ=5:1,当A,C,P三点共线,且点C在AP之间时,AP最大,此时OQ最大,则OQ∴线段OQ的最大值为4(2)∵点D为抛物线上一点且横坐标为-3，∴将x=-3代入抛物线解析式中得y=4，∴D(-3,4),如解图②，作点D关于y轴的对称点G，连接AG交y轴于点E',交⊙A于点F',连接DE',DF',∴DE'=E'G,G(3,4),∴DE'+∴∴DE+EF的最小值为65(3)如解图③,将点B绕A点顺时针旋转90°到点B',连接AB',MB,B'N,∵∠B'AN+∠BAN=90°,∠BAM+∠BAN=90°,∴∠B'AN=∠BAM,∵AB=AB',NA=MA,∴△AB'N≌△ABM(SAS),∴BM=B'N,∴BM=B'N=3,∴N在以B'为圆心,3为半径的圆上运动，∵B(1,0),A(-4,0),∴B'(-4,-5),∵BM=3,∴H(4,0),∴∴NH的最大值为89+3,，NH的最小值为∴线段NH长度的取值范围为89-3三阶综合强化练1.解:(1)∵抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,3),∴抛物线的解析式为y∴把A(-1,0),B(3,0)分别代入抛物线y=ax得a-b+3=0∴抛物线的解析式为y(2)【思路点拨】三角形外接圆的圆心为三角形三边垂直平分线的交点，由圆的基本性质可得CM=BM，再由两点间的距离公式求圆心M的坐标即可.如解图①,连接MC,MB,∵三角形外接圆的圆心为三角形三条边垂直平分线的交点，∴设M(1,m),∵MB=MC,∴1-解得m=1,∴M(1,1),∴∴⊙M的半径为5,圆心M的坐标为(1,1);(3)【思路点拨】作点D(或点M)关于x轴的对称点D',连接D'M交x轴于点P,此时PD+PM的值最小,为MD'的长.∵抛物线y=∴抛物线的对称轴为直线x=1，∵M(1,1),点M到C,D的距离相等,∴点C，点D关于抛物线的对称轴对称，∴D(2,3),如解图②，设点D关于x轴的对称点为D',连接MD'交x轴于点P,则D'(2,-3),∴∴当M,P,D'三点共线时,PD+PM有最小值,为MD',∴设直线MD'的解析式为y=kx+b(k≠0),将M,D'两点坐标代入得k+b=1∴直线MD'的解析式为y=-4x+5,当y=0时,-4x+5=0,解得x∴P(54,0),PD+PM的最小值为172.解:(1)∵抛物线y=ax²+bx与∴把A(4,0),B(2,-2)分别代入y=ax²+bx,∴抛物线的解析式为y(2)如解图①,过点B作BM⊥x轴于点M,过点C作CN⊥x轴于点N,∵A(4,0),B(2,-2),∴BM=AM=OM=2,∴∠OAB=∠MBA=45°,∵OC∥AB,∴∠CON=∠OAB=45°,∴CN=ON,设C(m,m),把C点坐标代入y=12x2-2x,得12m2(3)设⊙D与直线OC相切于点E,如解图②,当点D在直线OC下方时,连接DE,则DE⊥OC,DE=2,,过点D作DF⊥DE交x轴于点F,过点F作FQ⊥OC于点Q,则四边形∴由(2)可知,∠COA=45°,∴∴F(2,0),设直线OC的表达式为y=kx，把C(6,6)代入得k=1,∴直线OC的表达式为y=x,∵FD∥OC,∴设直线FD的表达式为y=x+n,把F(2,0)代入y=x+n,得2+n=0,解得n=-2,∴直线FD的表达式为γ=x-2,联立抛物线与直线FD的表达式得12x2∵点D是抛物线上对称轴右侧的一个动点，∴同理可得，当点D在直线OC上方时，点D的坐标为3+综上所述，点D的坐标为3+51+5或3.解:(1)∵抛物线y=ax²-2ax+∴将A点坐标代入抛物线解析式，得a+2a+a+2=0,解得a=-12,(2)【思路点拨】由面积比得出相似比，以M，N两点坐标构造相似三角形，分别联立直线AM，BN和抛物线的解析式得出M，N横坐标之间的关系，代入到构造的相似三角形比例关系中求解即可.如解图①，过点M，N分别作x轴的垂线，垂足分别为S,T,∵AM∥BN,∴△ACM∽△BCN.∵S△ACM:S△BCN=9:4,∴MC:NC=AC:BC=3:2.由(1)得，抛物线的解析式为y=-12x2+x∴A(-1,0),B(3,0),∴AB=4,∵AC:BC=3:2,∴AC:AB=3:5,故AC∴∵MS∥TN,∴△MCS∽△NCT,∴CS:CT=MC:NC=3:2,∴即x∵A(-1,0),设直线AM的解析式为y=k(x+1),联立抛物线与直线AM的解析式并整理，得x²+2(k-1)x+2k-3=0,故x同理可得，直线BN的解析式为：y=k(x-3),x∴∵xM-75:75-xN=3:2,解得xM=195,x(3)【思路点拨】画出草图，根据圆的基本性质、垂径定理及其推论可求出点E的坐标，再由勾股定理求d的值即可.∵抛物线y∴当y=-52解得x=4或x如解图②,∵⊙E过点R,P,