第6讲-导数在研究函数上的应用省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖课件

主讲教师：张丽清第6讲导数在研究函数上应用1/44函数性质（已学）函数单调性函数奇偶性函数周期性函数有界性2/44提要函数单调性函数极值与最值函数凹凸性函数渐近线函数单调性3/444.3函数极值与最值4.3.1

函数单调性4.3.2

函数极值4.3.3

函数最值及应用4.3.4函数凹凸与拐点4.3.5曲线渐近线4/44定理1设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则：(1)若在(a,b)内(2)若在(a,b)内4.3.1

单调性判定则f(x)在区间[a,b]上单调增加.则f(x)在区间[a,b]上单调降低.倘若f(x)在端点处不连续，则只需把结论[a,b]改为（a,b）即可.5/44在[x1,x2]上用拉格朗日中值定理得：最少存在依据递增定义f(x)在[a,b]

单调递增.abab6/44例2

确定函数单调性.解:该函数定义域是R,7/44说明:单调区间分界点除驻点外,也可是导数不存在点.比如,2)驻点不一定是函数单调区间分界点.比如,8/44求函数单调区间步骤：(1)确定函数定义域；(2)求导，并求出驻点、不可导点；(3)列表（依据分界点把定义域分成对应区间；判断一阶导符号）(4)下结论。9/44例3

确定函数单调区间.解:令得故单调增加区间为单调降低区间为该函数定义域是R,10/44提要函数单调性函数极值与最值函数凹凸性函数渐近线函数极值与最值11/444.3.2

极值定义设函数y=f(x)

在x0

一个邻域内有定义，若对于该邻域内异于

x0

x恒有(1)f(x0)>f(x)，则称f(x0)

为函数f(x)

极大值，x0称为f(x)

极大值点；(2)f(x0)<f(x)，则称f(x0)

为函数f(x)

极小值，x0称为f(x)

极小值点；函数极大值、极小值统称为函数极值，极大值点、极小值点统称为极值点.12/44显然，在图中，x1，x4为f(x)极大值点，

x2，x5为f(x)极小值点.y=f(x)yxOx1x2x3x4x5从图形上能够看出:(1)极大值不一定大于每一个极小值；极小值也不一定小于每个极大值.(2)极值点若可导，则导数必定是0.13/44定理

2(极值必要条件)若f

(x)

在x0处可导，且x0为极值点，则f

(x0)=0.简单地说，可导极值点一定是驻点.或者不可导点.极值点一定是驻点反之则未必成立.14/44也就是说，驻点或不可导点未必就是极值点.15/44且在空心邻域内有导数,x0驻点或不可导点。(1)“左正右负”,(2)“左负右正”,定理3(极值第一充分条件)P97(3)“左右同号”,16/44例1

求函数极值.解:(1)该函数定义域为R.(2)令得驻点另外，(3)列表判别17/44定理4(极值第二充分条件)P98则在点取极大值;则在点取极小值.则需要用第一充分条件判别.18/44例2

求函数极值.解

(1)求导数(2)求驻点:令得驻点(3)判别:因故为极小值;又故需用第一判别法判别.19/444.3.3

最大值与最小值问题

对于闭区间[a,b]上连续函数f(x),由最值存在定理知一定存在着最大值和最小值．值和最小值只能在区间(a,b)内极值点和区间端点处到达．

显然，函数在闭区间[a,b]上最大20/44求函数最值方法:(1)求在内驻点和不可导点(2)

求这些点对应函数值（3）比较大小，得函数在[a,b]上最值.函数f(x)最值只会在端点以及内部驻点和不可导点处产生.以及端点函数值：21/44例3

试求函数f(x)=3x4-16x3+30x2–24x+4在区间[0,3]上最大值和最小值.解

f

(x)=12x3-48x2+60x–24

令f

(x)=0，得驻点x=1，x=2，又因为=12(x-1)2(x-2)，f(0)=4，f(1)=-3，f(2)=-4，f(3)=13，将它们加以比较可知在区间[0,3]上f(x)最大值最小值为f(2)=-4.为f(3)=13，22/44尤其:

当在内只有一个极值可疑点时,若在此点取极大值,则也是最大值.(小)(小)

若求在开区间（a,b）内值域，则端点处函数值用极限代替.23/44

当在上单调时,最值必在端点处到达.

对应用问题,有时可依据实际意义判别求出可疑点是否为最大值点或最小值点.24/44例4

铁路上AB段距离为100km,工厂C距A处20AC⊥

AB,要在AB

线上选定一点D

向工厂修一条已知铁路与公路每公里货运价之比为3:5,为使货D点应怎样选取?20物从B运到工厂C运费最省,问Km,公路,解

设则总运费为y,铁路每公里运费为3k,25/44令得又所以为唯一极小点,故AD=15km时运费最省。从而为最小点,26/44例5

欲做一个底为正方形，容积为a立方米长方体开口容器，当底和高分别是多少时用料最省。解设底边边长为x，高为h，表面积为y，则由得（唯一）由实际情况可知当底为高为时用料最省。27/44小结

2537x8y00.5928/44提要函数单调性函数极值与最值函数凹凸性函数渐近线函数凹凸性29/444.3.4

曲线凹凸性4.3函数极值与最值4.3.5

曲线渐近线30/44OyABCDx4.3.4

曲线凹凸性与拐点xyOABDC(a)(b)定义1

若在某区间（a,b）内(1)若曲线段总位于其上任一点处切线下方，则称该曲线段（a,b）内是凸，并称（a,b）为函数凸区间.(2)曲线段总位于其上任意一点处切线上方，则称曲线段在（a,b）内是凹，并称（a,b）为函数凹区间；31/44

定理

1

设函数

y=f(x)在区间

I

内二阶导数

f

(x)>0，则曲线

y=f(x)在区间

I

内是凹；若

f

(x)<0，则在此区间

I内曲线

y=f(x)是凸.xyOABDCx1x3x4x232/44定义2

曲线y=f(x)凹凸分界点叫做曲线拐点.所以，拐点是一个点坐标（x0,f(x0)），而不是一个值x=x0.且在x0处有二阶导，那么必定有点（x0,f(x0)是曲线y=f(x)拐点假如(x0,y0)是拐点，33/44(2)求(3)列表格，用上述各点按照从小到大依次将分成小区间,再在每个小区间上考查符号.(1)确定函数y=f(x)定义域；综合上面分析，求凹凸区间（或凹凸性）和拐点能够按照以下步骤进行：不存在点；找出在定义域内使点和(4)下结论.34/44例

1

讨论曲线f(x)=x3-6x2

+9x+1凹凸区间与拐点．解定义域为(,

).因为f

(x)=3x2-12x+9，f(x)=6x

-12

=6(x

-2

)，令

f(x)=0，可得x=2.x(,2)2(2,+

)f(x)

0+f(x)拐点(2,3)所以

(2,3)是该曲线拐点.35/44例

2讨论曲线

y=ln(1+

x2)凹凸区间与拐点.解定义域为(,).因为令y

=0得x=-1，x=1.所以曲线凸区间是（-∞，-1）和（1，+∞）,凹区间是（-1，1）；点(-1,ln2)

和(1,ln2)为拐点.36/44提要函数单调性函数极值与最值函数凹凸性函数渐近线函数渐近线37/444.3.5

曲线渐近线

定义3

若曲线

y=f(x)上动点

M(x,y)沿着曲线无限远离坐标原点时，它与某直线l

距离趋则称

l为该曲lM(x,y)y=f(x)yxO向于零，线渐近线.38/44(1)

垂直渐近线

则称直线x=c为曲线y=f(x)垂直渐近线.比如，∴直线x=0为y=lnx曲线垂直渐近线.yxOy=lnx对于曲线y=lnx

来说，39/441yxO40/44比如，对于曲线来说，(2)

水平渐近线则称直线y=