北师大版数学初二年级下册册全部

一元一次不等式（组）（一）

一、全章教学内容及要求

1、理解不等式的概念和基本性质

2、会解一元一次不等式，并能在数轴上表示不等式的解集

3、会解一元一次不等式组，并能在数轴上表示不等式组的解集。

二、技能要求

1、会在数轴上表示不等式的解集。

2、会运用不等式的基本性质（或不等式的同解原理）解一元一次不等式。

3、掌握一元一次不等式组的解法，会运用数轴确定不等式组的解集。

三、重要的数学思想：

1、通过一元一次不等式解法的学习，领会转化的数学思想。

2、通过在数轴上表示一元一次不等式的解集与运用数轴确定一元一次不等式组的解集，进一

步领会数形结合的思想。

四、主要数学能力

1、通过运用不等式基本性质对不等式进行变形训练，培养逻辑思维能力。

2、通过一元一次不等式解法的归纳及一元一次方程解法的类比，培养思维能力。

3、在一元一次不等式，一元一次不等式组解法的技能训练基础上，通过观察、分析、灵活运

用不等式的基本性质，寻求合理、简捷的解法，培养运算能力。

五、类比思想：

把两个（或两类）不同的数学对象进行比较，如果发现它们在某些方面有相同或类似之处，那

么就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处。这种数学思想通常称为“类比”，它体现了

“不同事物之间存在内部联系”的唯物辩证观点，是发现数学真理和解题方法的重要手段之一，在

数学中有着广泛的运用。

在本章中，类比思想的突出运用有：

1、不等式与等式的性质类比。

对于等式（例如a=b）的性质，我们比较熟悉。不等式（例如a>b或a<b）与等式虽然是不同

的式子，表达的也是不同的数量关系，但它们在形式上显然有某些相同或类似的地方，于是可推断

在性质上两者也可能有某些相同或类似之处。这就是“类比”思想的运用之一，它也是我们探索不

等式性质的基本途径。

等式有两个基本性质：

1、等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，等号不变。（即两边仍然相等）。

2、等式两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等号不变（即两边仍然相等）。

按“类比”思想考虑问题，自然会问：不等式是否也具有这样相类似的性质，通过实例的反复

检验得到的回答是对的，即有。

不等式的性质；1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变

（即原来大的一边仍然大，原来较小的一边仍然较小）。2、不等式两边都乘以（或除以）同一个

正数，不等号方向不变。3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变（即原

来较大的一边反而较小，原来较小的一边反而较大）。

例如：-5x>20,两边都乘以-5,得，

-3~2-10123

x<-100,(变形根据是不等式基本性质3)。

等式的基本性质是等式变形的根据，与此类似，不等式的基本性质是不等式变形的根据。

2、不等式的解与方程的解的类比

从形式上看，含有未知数的不等式与方程是类似的。按“类比”思想来考虑问题，同样可以仿

效方程解的意义来理解不等式的解的意义。

例如：当x=3时，方程x+4=7两边的值相等。x=3是方程x+4=7的解。而当x=2时，方程x+4=7

两边值不相等，x=2不是方程x+4=7的解。

类似地当x=5不等式x+4>7成立，那么x=5是不等式x+4>7的一个解。若x=2不等式x+4>7不

成立，那么x=2不是不等式x+4>7的解。

注意：1、不等式与方程的解的意义虽然非常类似，但它们的解的情况却有重大的区别。一般

地说，一元方程只有一个或几个解；而含有未知数的不等式，一般都有无数多个解。

例如：x+6=5只有一个解x=-l,在数轴上表示出来只是一个点，如图，

而不等式x+6>5则有无数多个解——大于T的任何一个数都是它的解。它的解集是x>-l,

在数轴上表示出来是一个区间，如图-----------

।।—।।

-2-1012

2、符号读作“大于或等于"或也可以理解为“不小于"；符号读作“小于或等

于”或可以理解为“不大于”。

例如；在数轴上表示出下列各式：

(1)x》2(2)x<-2(3)x>l(4)xWT

J—_1-->_1_1_1_>

0123-2-10012-2-10

x22x<-2x〉lxWT

3、不等式解法与方程的解法类比。

从形式上看，一元一次不等式与一元一次方程是类似的。在学习一元一次方程时利用等式的两

个基本性质求得一元一次方程解，按“类比”思想考虑问题自然会推断出若用不等式的三条基本性

质，采用与解一元一次方程相类似的步骤去解一元一次不等式，可求得一元一次不等式的解集。

例如：解下列方程和不等式：

2+x2x-12+x2x-l

2=3+1223+1

解：3(2+x)=2(2x-l)+61、去分母：解：3(2+x)>2(2x-l)+6

6+3x=4x-2+62、去括号：6+3x24x-2+6

3x-4x=-2+6-63、移项：3x-4x2-2+6-6

-x=-24、合并同类项：-x2-2

x=25、系数化为1：xW2

...x-2是原方程的解xW2是原不等式的解集。

-J-1—•—1-»_1，，)

01230123

注意：解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤虽然完全相同，但是要注意步骤1和5,如

果乘数或除数是负数时，解不等式时要改变不等号的方向。

六、带有附加条件的不等式：

2

例1,求不等式5(3x+4)-3W7的最大整数解。

分析：此题是带有附加条件的不等式，这时应先求不等式的解集，再在解集中，找出满足附加

条件的解。

2

解：2(3x+4)-3W7

去分母：3x+4-6W14

移项：3xW14-4+6

合并同类项：3x^16

系数化为1：X<53

，xW5§的最大整数解为x=5

x-13(x+2)

例2,x取哪些正整数时，代数式3-4的值不小于代数式8的值

x-13(x+2)

解：依题意需求不等式3-428的解集。

解这个不等式：

去分母：24-2(x-l)》3(x+2)

去括号：24-2x+223x+6

移项：-2x-3x26-24-2

合并同类项：-5x2-20

系数化为1：xW4

二xW4的正整数为x=l,2,3,4.

x-13(x+2)

答：当x取1,2,3,4时，代数式3-4的值不小于代数式8的值。

2

例3,当k取何值时，方程5x-2k=3(x-k)+l的解为负数。

分析：应先解关于x的字母系数方程，即找到x的表达式，再解带有附加条件的不等式。

2

解：解关于X的方程：2x-2k=3(x-k)+l

去分母：x-4k=6(x-k)+2

去括号：x-4k=6x-6k+2

移项：x-6x=-6k+2+4k

合并同类项：-5x=2-2k

2-2无2k-2

系数化为1：X=-5=5.

2无一2

要使x为负数，即乂=5<0,

V分母>0,；.2k-2<0,:.k<l,

2

当k〈l时，方程5x-2k=3(x-k)+l的解是负数。

例4,若|3x-6|+(2x-y-m)z=0,求m为何值时y为正数。

分析：目前我们学习过的两个非负数问题，一个是绝对值为非负数，另一个是完全平方数是非

负数。由非负数的概念可知，两个非负数的和等于0,则这两个非负数只能为零。由这个性质此题

可转化为方程组来解。由此求出y的表达式再解关于m的不等式。

解：V13x-6|+(2x-y-m)'=0,

|-61=0(3x-6=0

.(2x-y-m)=0.12x-y-m=0

'x=2

解方程组得[y=4-m

要使y为正数，即4-m>0,m<4.

...当m<4时，y为正数。

注意：要明确“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”、“不超过”、“至多”、“至

少”、“非负数”、“正数”、“负数”、“负整数”……这些描述不等关系的语言所对应的不等

号各是什么。求带有附加条件的不等式时需要先求这个不等式的所有的解，即这个不等式的解集，

然后再从中筛选出符合要求的解。

七、字母系数的不等式：

例：解关于x的不等式3(a+1)x+3a22ax+3

分析：由于x是未知数，所以应把a看作已知数，又由于a可以是任意有理数，所以在应用同

解原理时，要区别情况，进行分类讨论。

解：移项，得3(a+l)x-2ax23-3a

合并同类项：(a+3)x23-3a

3-3a

(1)当a+3>0,即a>-3时，x》a+3,

(2)当a+3=0,即a=-3时，0x5:12,不等式无解。

3-3a

(3)当a+3<0,即a<-3时，xWa+3。

注意：在处理字母系数的不等式时，首先要弄清哪一个字母是未知数，而把其他字母看作已知

数，在运用同解原理把未知数的系数化为1时，应作合理的分类，逐一讨论，例题中只有分为a+3>0,

a+3=0,a+3<0,三种情况进行研究，才有完整地解出不等式，这种处理问题的方法叫做“分类讨

论”。

八、有关大小比较的问题

例1.根据给定条件，分别求出a的取值范围。

(1)若a?>a,则a的取值范围是；

1

(2)若a>£,则a的取值范围是—

解：(1)Va2>a,

a2—a>0,BPa(a—1)>0,

<7>0,p<0,

...>0.或［a-1<0.

解得a〉l或a〈O。

答：a的取值范围是a<。或a>l。

11df2-1

(2)a>a,a-a>0,即a>0.

-l>0,p2-1<0,

口>。或

]a|>L

*

a>0.或<0,

解得a>l或一l<a<0.

答：a的取值范围是一l〈a〈O或a>L

例2.(1)比较下列各组数的大小，找规律，提出你的猜想:

11+322+133+2

23ITT；4472；

44+622+588+10

55+?；97+?；1717+10.

从上面的各式发现：一个正分数的分子和分母，所得分数的值比原分数的值要

bm

猜想：设a>b>0,m>0,则aa+就。

(2)试证明你的猜想：

分析：1.易知：前面的各个空都填.

一个正分数的分子和分母都加上同一个正数，所得分数的值比原分数的值要大。

bb+mbb+m

2.欲证a〈a+龙，只要证白一。+加〈0.

b（a+m）-a（b+m）

即证a（a+M<o,

m（b-a）

即证"3+狗〈o,

证明：a>b>0,b-a<0,

又丁m>0,m（b_a）<0,

bb+m-（♦+第）-♦©+刑）

,/a—a+m=a（<?+加）

ab+bm-ab-am

_a（a+m）=a（a+那）〈°

bb+m

：.a<a+mo

上面这个不等式有很多有意义的应用。

例如，建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板

面积的比值应不小于10%,并且这个比值越大，住宅的采光条件越好。若同时增加相等的窗户面积

和地板面积，住宅的采光条件变好了。

aa+m

设窗户面积为a,地板面积为b,若同时增加相等的窗户面积和地板面积m,由石〈。面可知，

住宅的采光条件变好了。

中考解析

一元一次不等式和一元一次不等式组

不等式和它的基本性质

考点扫描：

1.了解不等式的意义。

2.掌握不等式的三条基本性质，并会运用这些基本性质将不等式变形。

名师精讲：

1.不等式的概念：用不等号把两个代数式连接起来，表示不等关系的式子，叫做不等式。

2.不等式的基本性质

（1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。用式子表

示：如果a>b,那a+c>b+c（或a-c>b-c）

（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。用式子表示：如果a>b,

ab

且c>0,那么ac>bc（或c>c）

（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。用式子表示：如果a>b,

ab

且c〈0,那么ac<bc（或c<c）

3.不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据。不等式的性质与等式的性质类似，但等式

的结论是“仍是等式”，而不等式的结论则是“不等号方向不变或改变”。在运用性质（2）和性

质（3）时，要特别注意不等式的两边乘以或除以同一个数，首先认清这个数的性质符号，从而确

定不等号的方向是否改变。

中考典例：

1.（天津市）若a>b,则下列不等式一定成立的是（）

ba

A、^<1B、C、-a>-bD、a-b>0

考点：不等式的性质

评析：不等式的性质是：不等式两边同时加上或减去同一个数（或整式）不等号不变；不等式

两边同时乘以或除以正数不等号不变；不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号的方向改变。

因此a>b,所以a、b均可为负数也可为正数，所以A、B选项都不对，C选项不等号的方向没改变,

所以也不对，因a>b,（a、b代表的是任意数）所以根据不等式的性质运用排除法，可知正确选

项为D。

真题专练

1.（北京海淀区）比较大小：当实数a<0时，1+a1_（填“<”或“>”）

2.（广东省）已知实数a、b满足ab>0,a+b<0,则满足条件的实数a、b可分别为（写

出满足条件的两个数即可）。

3.（北京西城区）如果a>b,那么下列结论中错误的是（）

ab

A、a-3>b_33a>3bC、3>3D、-a>-b

4.（北京海淀区）若a-b<0,则下列各式中一定正确的是（）

^<0

A、a>bB、ab>0C、bD、-a>-b

5.（天津市）若a>b,且c为实数则下列各式正确的是（）

A^ac>bcB、ac<bcC>ac'>bc-D、ac'^bc'

6.（荆门市）已知a、b、c是有理数，且a>b>c,那么下列式子正确的是（）

a>b

A、a+b>b+cB、a-b>b-cC>ab>bcD、cc

答案：

1、<2、-1,-23,D4、1）

5、D（提示:按c>0、c=O^c<0三种情况讨论）

6、A（提示：a、b、c是任意有理数，所以C、D不对，当C是负数或。时B不对，因a>c故

a+b>b+c）

不等式的解集

考点扫描：

1.了解不等式的解和解集的概念。

2.会在数轴上表示不等式的解集。

名师精讲：

1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解。一般地，一个一元一次不

等式有无数多个解。

2.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个

不等式的解集。

“不等式的解”与“不等式的解集”是两个不同的概念，前者是指能使不等式成立的每一个未

知数的值，后者是指能使不等式成立的所有未知数的值的集合。但二者之间也有着密切联系，即所

有解组成了解集，解集中包括了每一个解。

求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

3.不等式解集的表示方法。

（1）用不等式表示：如5x>10的解集是x>2,它的解集仍是一个不等式，这种表示法简单明

了，容易知道哪些数不是原不等式的解。

（2）用数轴表示：它的优点是数形结合、直观形象，尤其是在解较复杂的不等式或解不等式

组时，易于找到正确的答案。在数轴上表示不等式的解集时，要注意：当解集包括端点时，在端点

处画实心圆圈，否则，画空心圆圈。

中考典例：

（龙岩市、宁德市）不等式2x+10>3的解集是。

考点：不等式的解集

评析：不等式的解集是使不等式成立的所有未知数的值组成的集合。该题可用不等式的性质两

7

边同时减10,然后两边再除以2,求得解集为x>2。

真题专练

1.（石家庄市）不等式-6x>4的解集是（）

2222

A、x>3B、x<3C>x>3D、x<3

2.（宜昌市）如果不等式（a-1）x>a-1的解集是x<l,则a的取值范围是（）

3.（徐州市）不等式5x-4<6x的解集是»

4.（西安市）若代数式3x+4的值不大于0,则x的取值范围是（）

4444

A、x<3B、xN号C、xW-3D、x<-3

答案:

1、B；

2、a<1（提示：因为不等号的方向改变了，所以a-lVO,即a〈l）；

3、x>-4；

4、C（提示：3x+4的值不大于0,即得不等式3x+4W0）

课外拓展

解不等式的通法与技巧

同学们在熟练掌握一元一次不等式解法的五个步骤后，可结合一元一次不等式的特点，采取一

些灵活、简捷的方法与技巧，能使解题事半功倍。

一、凑整法

l+0,5x

-0.25X-7,5>

例1.解不等式2

分析：根据不等式性质，两边同乘以适当的数，将小数转化为整系数。

解：两边同乘以-4,得x+30<-2-x.

，x<-16.

二、化分母为整数

4x-1.55x-0.8.1.5-x

-----------------------)----------

例2.解不等式050.20.1。

分析：根据分数基本性质，将两边分母化成整数。

解：原不等式变形，得8x-3-(25x-4)>15-10x.

-7x>14.即x<-2.

三、裂项法

2x-14x+1、4x+1

------------)-------1

例3.解不等式364。

分析：本题若采用去分母法，步骤较多，由除法意义，裂项相合并，过程简洁。

2121、1,

—X----X-—>X+--1

解：原不等式变形，得33364。

x<l

移项、合并，得4。

四、整体处理法

3x-22-3x.3x-5,

例4.解不等式2340

解：视“3x-2”为一个整体,

3x-23x-23x-23

--------+--------->------------1

变形，得2344,

77

—(3x-2)

移项合并，将124,

x>-L

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选择题

1.若a>b则下列不等式一定成立的是()

ab

[A、ac>bc「B、eye「C、a|c|>b|c|「D、a+c>b+c

2.实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如下图所示，下列式子中正确的是()

CA、b+c>0CB、a+b<a+c

C、ac>bcD、ab>ac

3.下列各题的解法中，正确的是（）

1A、-x<-5,两边都乘以-1,得x>5

CB、-x》-5,两边都乘以-1,得x25

CC、-x<-5,两边都乘以T,得x<5

「D、-x>-5,两边都乘以-1,得x>5

4.在数轴上表示不等式x2-2的解集正确的是（）

'cA、'CB、'CC、'CD、

5.若代数式3户4的值不大于0,则x的取值范围是（）

4444

CA、A<-3CB、XW-百CC.A<31I）、X》可

6.如果不等式（aT）x>aT的解集是x〈l,那么a的取值范围是（）

「A、aWlCB、a>lCC、a<lCD、a<0

7.设a、b是已知数，不等式ax+b〈0（a<0）的解集是（）

「A、x〈a「B、x<-a「C、x〉a「D、x>-a

7+3>5

8.不等式组1-2无>2的解集的情况为（）

「A、解集是*>2,B、解集是KT「C、解集是T<x<2,D、无解

r3x+l>0（1）

9.不等式组l2x（5Q）的整数解的个数是（）

「A、1个「B、2个「C、3个「I）、4个

x-5<-2

10.不等式组H-x<4的解集表示在数轴上应为图中的（）

IcA、<CB、ICC、<CD、

答案与解析

答案：

解析：

1.评析：根据不等式性质可以排除A、B、C,在D中无论C为任何实数，总有a+c>b+c成立。

答案：D«

2.评析：由图可知:a>b>O>c,|c|>|b|,很明显，A、B都是错的,对于C也是错的，因为c〈0,

不等式两边乘以同一个负数，不等号的方向要改变，D正确，因为b>c,a>0,ab>ac.

答案:Do

3.评析：主要考察不等式的性质3,在不等号的两边同时乘上一个负数，不等号的方向要改

变。

答案：A。

4.评析：x2-2,方向应向右，且包含x=-2,故选C。

答案：C«

5.答案：B

评析：注意“不小于零”与“大于零”的区别，由语言叙述写成不等式并解不等式即可。

6.评析：通过观原不等式与解集发现，不等号方向发生了改变，说明未知数前的系数是负数,

即a-K0«

解答：由题意可知a-l〈0,...a<l,故选C。

注意：从不等号方向的改变这一重要线索入手，推断出未知数系数的符号是解含有未知字母系数

的不等式的一个重要方法。

b

7.评析：移项得ax<-b,然后把系数化为1。因为a〈0,x>-a

答案：D

8.评析：直接求即可。

答案：D

注：

（1）解每一个不等式时，如果要利用不等式性质3,注意不等号改变方向问题；

（2）找不等式的公共解时，借助数轴更直观；

9.评析：求（1）（2）中公共部分，且x要为整数，由（1）得

x>-3,由⑵得x<2],-3<X<22,

因为x为整数，所以x可以为0或1或2。

答案：C

10.解答：由X-5W-2,得xW3；由3_x<4,得x〉T.

二不等式组解集是T〈xW3.

故选择Bo

注意：在数轴上表示时空心圈和实心点应该注意加以区别：避免出现全部画成实心圆点，或空

心圆圈。

说明：在不等式作为一种命题点时•，其考察形式在各地中考试题中各具一格。但是此类题目一

般可采用直接法求解，即直接求出正确答案与各选择支对照，也可采用排除法，即分别用两个不等

式的解集一一排除不合理的选择项

一元一次不等式（组）（二）

一、重点难点提示

重点：理解一元一次不等式组的概念及解集的概念。

难点：一元一次不等式组的解集含义的理解及一元一次不等式组的几个基本类型解集的确定。

二、学习指导：

1、几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。但这“几个一元一次不

等式”必须含有同一个未知数，否则就不是一元一次不等式组了。

2、前面学习过的二元一次方程组是由二个一次方程联立而成，在解方程组时，两个方程不是

独立存在的（代入法和加减法本身就说明了这点）；而一元一次不等式组中几个不等式却是独立的，

而且组成不等式组的不等式的个数可以是三个或多个。（我们主要学习由两个一元一次不等式组成

的不等式组）。

3、在不等式组中，几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的一元一次不等

式组的解集。（注意借助于数轴找公共解）

4、一元一次不等式组的基本类型（以两个不等式组成的不等式组为例）

类型（设a〉b）不等式组的解集数轴表示

xax<<2

1.>“（同大型，同大取大）x>a（同

'x<a

小型，同小取小）x<b3.I'（一大一小型，小大

xya

之间）b<x<a4.lX<b（比大的大，比小的小空集）

无解

三、一元一次不等式组的解法

'5x-2>3（x+l）.................（1）

413

-x-l<7--x....................（2）

例L解不等式组122,并将解集标在数轴上

分析：解不等式组的基本思路是求组成这个不等式组的各个不等式的解集的公共部分，在解的

过程中各个不等式彼此之间无关系，是独立的，在每一个不等式的解集都求出之后，才从“组”的

角度去求“组”的解集，在此可借助于数轴用数形结合的思想去分析和解决问题。

步骤：

5

解：解不等式⑴得（1）分别解不等式组的

x>5解不等式每_个不等式

（2）求组的解集

⑵得xW41（利（借助数轴找公共部分）

用数轴确定不等式组的解集）（3）写出不等式组解集（4）将解

集标在数轴上

।।।//4

-1012534

T

5

原不等式组的解集为5〈XW4

-1012534

T

'4+2x>x+3....(1)

<7+2x23x+6...(2)

例2.解不等式组［4x-1>5x-3....(3)

解：解不等式(1)得x〉T,

“NJ

-1012

解不等式(2)得xWl,图⑴

解不等式(3)得x〈2,

x>-1

J，।什

X<1-101

*<2•.•在数轴上表示出各个解为：图(2)

；.原不等式组解集为T<xWl

注意：借助数轴找公共解时，应选图中阴影部分，解集应用小于号连接，由小到大排列，解集

不包括-1而包括1在内，找公共解的图为图(1),若标出解集应按图(2)来画。

'3x7>2x-2…….(1)

例3.解不等式组1R-64-1....(2)

解：解不等式⑴得x〉-l,

解不等式等),V|x|<5,；.-5WxW5,

Jx>-1........⑶

-54x45……(4)

将(3)(4)解在数轴上表示出来如图,

原不等式组解集为-1<XW5。

四、一元一次不等式组的应用。

3x-2>4x-5

包工1

例4.求不等式组3的正整数解。

步骤：

解：解不等式3x-2>4x-5得：x<3,

1、先求出不等式组的解集。

2x-1

2、在解集中找出它所要求的特殊解,

解不等式3W1得xW2,

正整数解。

'X<3-1

«―114--------->

X幺20123

原不等式组解集为xW2,...这个不等

式组的正整数解为x=l或x=2

x+y=幽

例5,m为何整数时，方程组15*+3丁=13的解是非负数

\>0

分析：本题综合性较强，注意审题，理解方程组解为非负数概念，即先解方程组用m

的代数式表示x,y,再运用“转化思想”，依据方程组的解集为非负数的条件列出不等式组寻求m

的取值范围，最后切勿忘记确定m的整数值。

13-3幽

-2-

7+y=加

5m-13

解方程组卜+3歹=13得y

解:

7+y=冽x>0

...方程组卜X+31y=13的解是非负数，...V>0

'13-3m

>0

-2~

5w-13

>0

即,2

解不等式组I-5此不等式组解集为5WmW3,

又丁!!!为整数，.•・m=3或m=4o

5x-6

例6,解不等式2x+l<0o

5x-6

分析：由“2x+l”这部分可看成二个数的“商”此题转化为求商为负数的问题。两个数的

'分子>0分子<0

商为负数这两个数异号，进行分类讨论，可有两种情况。（1）I分母（。或（2）1分母>°因此，

本题可转化为解两个不等式组。

r5x-6>015x-6<0

5x-6

解：•.♦2x+l〈o,.（1）l2x+1<0或⑵l2x+1>0

x<--

由⑴I2...无解，

26

由⑵I22<x<5,

26

.•.原不等式的解为-5<x<5。

例7.解不等式-3W3x-l<5。

2-12-3

解法（1）:原不等式相当于不等式组13工-1<5

22

解不等式组得-5Wx<2,.♦.原不等式解集为-5Wx<2。

解法（2）:将原不等式的两边和中间都加上1,得-2W3x<6,

将这个不等式的两边和中间都除以3得，

22

-3Wx〈2,...原不等式解集为-5Wx〈2。

9x+23x-14

例取哪些整数时，代数式7与代数式2的差不小于6而小于8。

分析：（1）“不小于6”即26,（2）由题意转化成不等式问题解决，

9x+23x-14

解：由题意可得，6W7-2<8,

将不等式转化为不等式组，

'9x+2

>6......(1)

72

9x+2

<8.......(2)

72

...解不等式⑴得xW6,

10

解不等式(2)得x>-3,

x<6

s_1010

3原不等式组解集为-3GW6,

10

3<xW6的整数解为x=±3,±2,±1,0,4,5,6。

.•.当x取±3,±2,±1,0,4,5,6时两个代数式差不小于6而小于8。

例9.有一个两位数，它十位上的数比个位上的数小2,如果这个两位数大于20并且小于40,

求这个两位数。

分析：这题是一个数字应用题，题目中既含有相等关系，又含有不等关系，需运用不等式的知

识来解决。题目中有两个主要未知数-----十位上的数字与个位上的数；一个相等关系：个位上的

数=十位上的数+2,一个不等关系：20(原两位数〈40。

解法(1):设十位上的数为x,则个位上的数为(x+2),原两位数为10x+(x+2),

由题意可得：20<10x+(x+2)<40,

7_2

解这个不等式得，

7_2

Vx为正整数，二111<x<311的整数为x=2或x=3,

...当x=2时，；.10x+(x+2)=24,

当x=3时，.,.10x+(x+2)=35,

答：这个两位数为24或35。

解法(2):设十位上的数为x,个位上的数为y,则两位数为10x+y,

y=x+2..........(1)

由题意可得12°<l°x+y<4°.....(2)(这是由一个方程和一个不等式构成的整体，既不是方

程组也不是不等式组，通常叫做“混合组”)。

将⑴代入⑵得,20<llx+2<40,

7_2

解不等式得：

7_2

Vx为正整数，11l<x<311的整数为x=2或x=3,

.,.当x=2时，y=4,，10x+y=24,

当x=3时，y=5,10x+y=35«

答：这个两位数为24或35。

解法(3):可通过“心算”直接求解。方法如下：既然这个两位数大于20且小于40,所以它

十位上的数只能是2和3。当十位数为2时，个位数为4,当十位数为3时，个位数为5,所以原

两位数分别为24或35。

例10.解下列不等式：

3x-l3x-6

(1)|2|W4；⑵2x+l〈0；(3)(3x-6)(2x-l)>0»

(1)分析：这个不等式不是一元一次不等式，因此，不能用解一元一次不等式的方法来解。

但由绝对值的知识|x|<a,(a>0)可知-a〈x<a,将其转化为卜〈°；若|*|>4(a>0)则x>a或x〈-a。

3x-l3x-l

-

解：-I|W4,-4W2

.••由绝对值的定义可转化为:

解不等式(1),去分母：3x-l2-8,解不等式(2)去分母：3X-1W8,

移项：3x28+1,移项：3xW8+l,

合并同类项：3x2-7合并同类项：3x<9,

7

系数化为1,x》-3,系数化为1：；.xW3,

.r-J原不等式的解集为-3wxW3。

3x~6

(2)分析：不等式的左边为2x+l是两个一次式的比的形式(也是以后要讲的分式形式)，

右边是零。它可以理解成“当x取什么值时，两个一次式的商是负数”由除法的符号法则可知，只

要被除式与除式异号，商就为负值。因此这个不等式的求解问题，可以转化为解一元一次不等式组

的问题。

3x-6

解：*/2x+1<0,，3x-6与2x+l异号，

r3x-6>0pz-6<0

即：i2x+l<°或[[2x+l>0

x>2

\<-l

解I的不等式组得I2,.•.不等式组无解，

\<2

,八_11

X/——

解n的不等式组得I2,.•.不等式组的解集为-2〈x<2,

2

...原不等式的解集为-5<X<2。

(3)分析：不等式的左边是(3x-6)(2x+l)为两个一次式的积的形式，右边是零。它可以理解

为“当x取何值时，两个一次式的积是正数”由乘法的符号法则可知只要两个因式同号，积就为正

值。因此这个不等式的求解问题，也可以转化为解一元一次不等式组的问题。

解：(3x-6)(2x+l)>0,，(3x-6)与(2x+l)同号，

'3x-6>013z-6<0

即』2x+l>0或Hp+l<0

x>2

A/一

解I的不等式组得2,不等式组的解集为x>2,

x<2

X〈——

解II的不等式组得I2,.•.不等式组的解集为x<-2,

2

...原不等式的解集为x>2或x<-5。

aa

说明：ab>0(或E>0)与ab<0(或石<0)这两类不等式都可以转化为不等式组的形式，进行分

类讨论。这类问题一般转化如下：

a

(1)ab>0(或3>0),Aa>b同号,

Ja>0Z<0

即iV5,。或iiu<0,再分别解不等式组i和ii,

如例10的(3)题。

a

(2)ab<0(或S<0),

a

：ab<0(或<0),；.a、b异号,

a>0G<0

即i/<。或iir>°,

再