北师大新版九年级上学期《4.6利用相似三角形测高》2019年同步练习卷

北师大新版九年级上学期《4.6利用相似三角形测高》2019年同

步练习卷

选择题（共1小题）

1.如图，以点。为支点的杠杆，在A端用竖直向上的拉力将重为G的物体匀速拉起，当

杠杆OA水平时，拉力为F-,当杠杆被拉至时，拉力为Fi，过点Bi作BiC±OA,

过点4作垂足分别为点C、D.

①△OSCs/XOAiD；

@OA-OC=OB-OD；

®OC'G=OD'FV,

④P=为.

其中正确的说法有（）

C.3个D.4个

二.填空题（共1小题）

2.在△ABC中，ZACB=9Q°,8c=8,AC=6,以点C为圆心，4为半径的圆上有一动点

三.解答题（共48小题）

3.如图，是一个照相机成像的示意图.

（1）如果像高MN是35mm,焦距是5Qmm,拍摄的景物高度AB是4.9m,拍摄点离景物有

多远？

（2）如果要完整的拍摄高度是的景物，拍摄点离景物有4加，像高不变，则相机的焦距

应调整为多少？

4.如图，花丛中有一路灯杆48.在灯光下，小明在£＞点处的影长。E=3米，沿8。方向

行走到达G点，0G=5米，这时小明的影长G4=5米.如果小明的身高为1.7米，求路

灯杆A8的高度（精确到0.1米）.

5.学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子

长度的变化规律.如图，在同一时间，身高为1.6机的小明（A8）的影子长是3机，

而小颖（EH）刚好在路灯灯泡的正下方X点，并测得加=6".

（1）请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置G；

（2）求路灯灯泡的垂直高度GH；

（3）如果小明沿线段38向小颖（点X）走去，当小明走到中点Bi处时，求其影子Bi。

的长；当小明继续走剩下路程的上到处处时，求其影子&C2的长；当小明继续走剩下

3

路程的工到用处，…按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的」一到当处时，其影

4n+1

子B„Cn的长为（直接用n的代数式表示）

A

HB、B

6.如图，在一个长40"z、宽30机的长方形小操场上，王刚从A点出发，沿着AnBnC的路

线以3根/s的速度跑向C地.当他出发4s后，张华有东西需要交给他，就从A地出发沿

王刚走的路线追赶.当张华跑到距B地22神的。处时，他和王刚在阳光下的影子恰好

3

重叠在同一条直线上.此时，A处一根电线杆在阳光下的影子也恰好落在对角线AC上.

（1）求他们的影子重叠时，两人相距多少米？（OE的长）

（2）求张华追赶王刚的速度是多少？（精确到0.1%/s）

7.马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目.跷跷板支柱的高度为1.2米.

（1）若吊环高度为2米，支点A为跷跷板PQ的中点，狮子能否将公鸡送到吊环上，为什

么？

（2）若吊环高度为3.6米，在不改变其他条件的前提下移动支柱，当支点A移到跷跷板尸。

的什么位置时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上？

8.小胖和小瘦去公园玩标准的跷跷板游戏，两同学越玩越开心，小胖对小瘦说：“真可惜！

我只能将你最高翘到1米高，如果我俩各边的跷跷板都再伸长相同的一段长度，那么我

就能翘到1米25,甚至更高！”

（1）你认为小胖的话对吗？请你作图分析说明；

（2）你能否找出将小瘦翘到1米25高的方法？试说明.

5。/

八一

她而P

9.问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些

物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的■些信息：

乙组：如图2,测得学校旗杆的影长为900c".

丙组：如图3,测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为

200cm,影长为156c7”.任务要求：

（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；

（2）如图3,设太阳光线与。。相切于点M.请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯

灯罩的半径.（友情提示：如图3,景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式

1562+2082=2602）

10.王大伯要做一张如图1的梯子，梯子共有8级互相平行的踏板，每相邻两级踏板之间的

距离都相等.已知梯子最上面一级踏板的长度421=05”，最下面一级踏板的长度人为

=0.8〃z.木工师傅在制作这些踏板时，截取的木板要比踏板长，以保证在每级踏板的两

个外端各做出一个长为4cm的桦头（如图2所示），以此来固定踏板.现市场上有长度为

2.1m的木板可以用来制作梯子的踏板（木板的宽厚和厚度正好符合要制作梯子踏板的要

求），请问：制作这些踏板，王大伯最少需要买几块这样的木板？请说明理由.（不考虑

锯缝的损耗）

11.在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB=2米，它的影子BC=

1.6米，木竿的影子有一部分落在墙上，尸/=1.2米，MN=0.8米，求木竿PQ的长

度.

0

12.如图，要测量人民公园的荷花池48两端的距离，由于条件限制无法直接测得，请你

用所学过的数学知识设计出一种测量方案，写出测量步骤.用直尺或圆规画出测量的示

弋----

意图，并说明理由（写出求解或证明过程）.----

13.某班研究性学习小组，到校外进行数学探究活动，发现一个如图所示的支架必2,于是

他们利用手中已有的工具进行一系列操作，并得到了相关数据，从而可求得支架顶端P

到地面的距离.

实验工具：①3米长的卷尺；②铅垂线（一端系着圆锥型铁块的细线）.

实验步骤：

第一步，量得支架底部A、8两点之间的距离；

第二步，在AP上取一点C,挂上铅垂线。，点。恰好落在直线A8上，量得和的

长；

第三步，在B尸上取一点E,挂上铅垂线EF,点尸恰好落在直线A8上，量得跖和8尸的

长.

实验数据：

线段ABCDADEFBF

长度（米）2.510.81.20.6

问：（1）根据以上实验数据，请你计算支架顶端P到地面的距离（精确到0.1米）;

（2）假定你是该小组成员，请你用一句话谈谈本次实践活动的感受.

14.小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距

离有关.因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置.于是，他

们做了以下尝试.

（1）如图1,垂直于地面放置的正方形框架A8C。，边长为30c机，在其正上方有一灯

泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A'B,D'C的长度和为6。八那么灯泡

离地面的高度为.

（2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放，请计算此

时横向影子A'B,D'C的长度和为多少？

（3）有“个边长为。的正方形按图3摆放，测得横向影子A'B,D'C的长度和为6,求

灯泡离地面的距离.（写出解题过程，结果用含a,6,〃的代数式表示）

15.把一个等腰直角三角形和一个正三角形分别分割成3个三角形，使等腰直角三角形中的

3个小三角形和正三角形中的3个小三角形分别相似？请画出三角形的分割线，在小三角

形的各个角上标出度数.

正三角形等膊直角三角形

16.一块直角三角形木板的一条直角边长为1.5米，面积为1.5平方米，要把它加工成

一个面积最大的正方形桌面，甲、乙两位同学的加工方法分别如下所示，请你用学过的

知识说明哪位同学的加工方法符合要求.(加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留)

17.一块三角形废料如图所示，ZA=30°,NC=90°,AB=12.用这块废料剪出一个矩

形COEF,其中，点。、E、尸分别在AC、AB、BC±.要使剪出的矩形CZJEF面积最大,

点E应选在何处?

18.如图，路灯A离地8米，身高1.6米的小王(CD)的影长DB与身高一样，现在他沿

方向走10米，到达E处.

(1)请画出小王在E处的影子EH；

(2)求即的长.

A

19.某校八年一班的一节数学活动课安排了测量操场上悬挂国旗的旗杆的高度.甲、乙、丙

三个学习小组设计的测量方案如图所示：甲组测得图中8。=60米，。。=3.4米，CD=

1.7米；乙组测得图中，8=1.5米，同一时刻影长尸。=0.9米，£2=18米；丙组测得

图中，EF//AB,FH//BD,8。=90米，m=0.2米，人的臂长(FH)为0.6米.请你任

20.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A,再在河的这一边

选定点B和C,使然后，再选点E,使ECLBC,用视线确定和4E的交

点D此时如果测得3。=60米，。。=30米，EC=25米，求两岸间的大致距离AB.

E

21.小玲用下面的方法来测量学校教学大楼的高度：如图，在水平地面上放一面平面镜,

镜子与教学大楼的距离出=25米.当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中

看到教学大楼的顶端2.已知她的眼睛距地面高度。C=1.6米.请你帮助小玲计算出教

学大楼的高度A8是多少米(注意：根据光的反射定律：反射角等于入射角).

B

22.有一块三角形的余料ABC,要把它加工成矩形的零件，已知：BC=8cm,高AO=12cm,

矩形EFGH的边EF在BC边上，G、H分别在AC,A2上，设HE的长为ycm、EF的长

为xcm

(1)写出y与x的函数关系式.

(2)当无取多少时，EFGH是正方形？

23.如图，A、8两点被池塘隔开，在外任选一点C,连接AC、BC分别取其三等分点

M、N量得MN=38m.求AB的长.

24.如图1,己知四边形A8CD,点尸为平面内一动点.如果那么我们称

点尸为四边形ABCO关于A、8的等角点.如图2,以点8为坐标原点，BC所在直线为

x轴建立平面直角坐标系，点C的横坐标为6.

(1)若A、。两点的坐标分别为A(0,4)、D(6,4),当四边形ABCD关于A、8的等角

点尸在。C边上时，则点P的坐标为；

(2)若A、。两点的坐标分别为A(2,4)、D(6,4),当四边形ABC。关于A、8的等角

点尸在QC边上时，求点P的坐标；

(3)若A、。两点的坐标分别为A(2,4)、D(10,4),点P(无，y)为四边形ABCD关

于A、B的等角点，其中x>2,y>0,求y与x之间的关系式.

25.右边两图是一个等腰Rt^ABC和一个等边△£>££要求把它们分别割成三个三角形,

使分得的三个三角形互相没有重叠部分，并且AABC中分得的三个三角形和中分

得的三个小三角形分别相似，请画出两个三角形中的分割线，标出分割得到的小三角形

中两个角的度数.

26.一块三角形材料如图所示，ZA=30°,ZC=90°,48=12,用这块材料剪出一个矩

形CDEF,其中。、E、尸分别在8C、AB,AC上.

（1）若设AE=尤，贝ijAP=；（用含尤的代数式表示）

（2）要使剪出的矩形C。所的面积最大，点E应选在何处?

27.身高1.6米的安心同学在某一时刻测得自己的影长为1.4米，此刻她想测量学校旗杆的

高度.但当她马上测量旗杆的影长时，发现因旗杆靠近一幢建筑物，影子一部分落在地

面上，一部分落在墙上（如图）.她先测得留在墙上的影子。=1.2米，又测地面部分的

影长BC=3.5米，你能根据上述数据帮安心同学测出旗杆的高度吗？

N

28.如图，小东用长为32〃的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、

旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8;〃、与旗杆相距22m,

ZD=70°,ZB=50°,Z£=30°,分别过两个三角形

的一个顶点画直线/、m,使直线/将△ABC分为两个小三角形，直线相将△OEP分成两

个小三角形，并使△ABC分成的两个小三角形分别与△£）所分成的两个小三角形相似,

并标出每个小三角形各个内角的度数.（画图工具不限，不要求写作法，只要画出一种分

法.）

30.作图题（不写作法，保留作图痕迹）

画出边长是左边四边形2倍的相似形;

（2）如图所示，在△ABC中画出长宽之比为2：1的矩形，使长边在上.

A

31.如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB,在阳光的照射下，塔影。E留在坡面上，已知铁塔

底座宽0）=14机，塔影长。E=36机，小明和小华的身高都是1.6加，小明站在点E处，

影子也在斜坡面上，小华站在沿DE方向的坡脚下，影子在平地上，两人的影长分别为

4m与2m,那么求塔高AB.

32.一块直角三角形木版的一条直角边为1.5〃z,面积为157，要把它加工成一个面积

最大的正方形桌面，小明打算按图1进行加工，小华准备按图2进行裁料，他们谁的加

工方案符合要求？

图1图2

33.为了测量图（1）和图（2）中的树高，在同一时刻某人进行了如下操作：

图（1）：测得竹竿C。的长为0.8米，其影CE长1米，树影AE长2.4米.

图（2）：测得落在地面的树影长2.8米，落在墙上的树影高1.2米，请问图（1）和图（2）

中的树高各是多少？

34.已知：如图，在△ABC中，AB=3,AC=2,能否在AC上(不同于A,C)找到点D,

过点。作。E〃A3交于BC于E,过点E作斯〃AC交A2于R连接即，将△ABC分

割成四个相似的小三角形，但其中至少有两个小三角形的相似比不等于1?若能，求出点

。位置；若不能，请说明理由.

35.一块直角三角形木板，它的一条直角边AB长面积为1.5"/.甲、乙两位木匠分

别按图①、②把它加工成一个正方形桌面.请说明哪个正方形面积较大(加工损耗不计).

36.如图，在由边长为1的小正方形组成的网格图中有一个格点三角形&8仁(注：顶点均

在网格线交点处的三角形称为格点三角形)

(1)请直接写出AABC中AB边上的高线长：；

(2)请在图中画一个格点三角形。ER使得〜△ABC,且相似比为2：1；

(3)若建立平面直角坐标系后，A、B、C三点的坐标分别为A(2,4)、B(1,0)、C(4,

2).请在图中确定格点M,使得的面积为7.5,请直接写出所有符合题意的格点

在物理学中我们学过光的反射定律.数学综合实践小组想利用光的反射定律测量池塘对岸一

棵树的高度AB测量和计算的部分步骤如下：

①如图，在地面上的点C处放置了一块平面镜，小华站在3C的延长线上，当小华从平面

镜中刚好看到树的顶点A时.测得小华到平面镜的距离8=2米，小华的眼睛E到地面

的距离£0=1.5米；

②将平面镜从点C沿8C的延长线向后移动10米到点尸处，小华向后移动到点a处时，小

华的眼睛G又刚好在平面镜中看到树的顶点A,这时测得小华到平面镜的距离FH=3米;

③计算树的高度A8：设米，BC=y米.

VZABC=ZEDC=90°,ZACB^ZECD

：.MABCsXEDC

-AB_BC……

"ED^DC

任务：请你根据材料中得到的测量数据和计算步骤，将剩余的计算部分补充完整.

38.如图，如图用一根铁丝分成两段可以分别围成两个相似的五边形，已知它们的面积比是

1：4,其中小五边形的边长为-4）cm,大五边形的边长为（f+2x）cm（其中x>0）.求

这这根铁丝的总长.

(油4所(x2+2x)cm

39.小明用这样的方法来测量建筑物的高度：如图所示，在地面上（£处）放一面镜子,他

刚好从镜子中看到建筑物（48）的顶端8,他的眼睛离地面1.25米（CZ）=L25米）,如

果小明离镜子1.50米（CE=1.50米）,与建筑物的距离是181.50米（04=181.50米）.那

么建筑物的高是多少米?

40.一块三角形的余料，底边8C长18米，高4。=10米，如图.要利用它裁剪一个长宽

比是3：2的长方形，使长方形的长在上，另两个顶点在A3、AC上，求长方形的长

EH和宽£尸的长.

41.如图，在△ABC中，ZB=90°,ZA=60°,AB=1,作等腰三角形△ACZ）,使NCA。

=30°,且点。和B位于AC异侧，连结2。交AC于点。

（1）请在所给图形基础上画出符合要求的其中一个草图，并在图中找出相似三角形后说明

理由

（2）在（1）的条件下，求出4?长.

42.如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，求球拍击球

43.如图，一条东西走向的笔直公路，点A、B表示公路北侧间隔150米的两棵树所在的位

置，点C表示电视塔所在的位置.小王在公路南侧直线行走，当他到达点尸的位置

时，观察树A恰好挡住电视塔，即点P、A、C在一条直线上，当他继续走180米到达点

。的位置时，以同样方法观察电视塔，观察树B也恰好挡住电视塔.假设公路两侧48〃

PQ,且公路的宽为60米，求电视塔C到公路南侧尸。的距离.

44.如图，甲、乙两楼楼顶上的点A和点E与地面上的点C这三点在同一条直线上，点、B、

。分别在点E、A的正下方且。、B、C三点在同一条直线上，B、C相距50米，D、C

相距80米，乙楼高2E为2。米，求甲楼高AD

45.一块材料的形状是锐角三角形ABC,边BC=120mm,高4。=80〃皿，把它加工成正方

形零件如图，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在AB,AC上.

(1)求证：AAEFsAABC；

(2)求这个正方形零件的边长.

46.如图，△ABC是一块面积为2700c“，的三角形木板，其中3。=90。/1,现在要将这块木

板加工成一个正方形的桌面，如图所示，正方形。即是要加工成的桌面，点。、M

分别在A8、AC边上，点E、歹在BC边上，根据以上数据求出这个正方形桌面的边长.

47.如图（1）是一种广场三联漫步机，其侧面示意图如图（2）所示，其中AB=AC=12051,

48.阅读下列材料：小华遇到这样一个问题：

已知：如图1,在△A8C中，三边的长分别为48=/而，AC=、历，BC=2,求的正切

值.

小华是这样解决问题的：

如图2所示，先在一个正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中画出格点△ABC（△ABC

三个顶点都在小正方形的顶点处），然后在这个正方形网格中再画一个和△ABC相似的格

点、ADEF,从而使问题得解.

（1）如图2,△OEF中与NA相等的角为,/A的正切值为.

（2）参考小华的方法请解决问题：若的三边分别为LM=2,MN=2&,LN=2jm

求/N的正切值.

E

49.小亮和小颖想用下面的方法测量学校教学楼的高度：如图，小亮蹲在地上，小颖站在小

亮和教学楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M、小颖的头部8及小亮的眼

睛A恰好在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C、D,然后测出两人之间的距离

CZ)=2相，小颖与教学楼之间的距离DN=38%(C、D、〃在同一直线上)，小颖的身高

20=16〃，小亮蹲地观测时眼睛到底面的距离AC=L九请你根据以上测量数据帮助他

们求出教学楼的高度M.

一

BI

口

置

50.已知：如图所示，要在高A£)=80M7机，底边BC=120机7〃的三角形余料中截出一个正方

形板材PQMN,AD与PN交于E.求正方形的边长.

北师大新版九年级上学期《4.6利用相似三角形测高》

2019年同步练习卷

参考答案与试题解析

选择题（共1小题）

1.如图，以点。为支点的杠杆，在A端用竖直向上的拉力将重为G的物体匀速拉起，当

杠杆OA水平时，拉力为F；当杠杆被拉至04时，拉力为用，过点Bi作BiC±OA,

过点4作垂足分别为点C、D.

①△OSCs/XOAiD；

@OA-OC=OB-OD；

@OC'G=OD'Fi；

其中正确的说法有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行判断出SC〃4。，然后求

出△OBiCs/XOAiD,判断出①正确；

根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到②正确；

根据杠杆平衡原理：动力义动力臂=阻力X阻力臂列式判断出③正确；

求出F的大小不变，判断出④正确.

【解答】解：：囱。，。!，ArDLOA,

J.BiCZ/AiD,

：.AOBiC^/\OAiD,故①正确；

.OC_QB1

"ODOAf）

由旋转的性质得，OB=OBi，OA=OAV

：.OA-OC=OB-OD,故②正确；

由杠杆平衡原理，OC-G=OD-FX,故③正确;

.1.F1的大小不变，

F—Fi，故④正确.

综上所述，说法正确的是①②③④.

故选：D.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，杠杆平衡原理，熟练掌握相似三角形的判定

方法和性质并准确识图是解题的关键.

二.填空题（共1小题）

2.在△ABC中，ZACB=90°,BC=8,AC=6,以点C为圆心，4为半径的圆上有一动点

D,连接A。，BD,CD,则《BD+AD的最小值是

【分析】如图，在CB上取一点F,使得CF=2,连接CD,AF.由△尸推出更

BD

=空=工，推出DF=LBD,推出根据。尸+AONAF即可解决问题；

CD2

【解答】解：如图，在CB上取一点R使得CP=2,连接C£»,AF.

B

；.C£）=4,CF=2,C2=8,

：.Crr=CF'CB,

•CD=CB

"CFCF'

,?NFCD=ZDCB,

:ZCDs^DCB,

•••DF=CF=1,

BDCD2

:.DF=LBD,

2

LBD+AD=DF+AF,

2

•：DF+AD^AF,AF=感^^二2不员,

:.LBD+AD的最小值是2国,

2

故答案为2A/IQ.

【点评】本题考查相似三角形的应用，两点之间线段最短，勾股定理等知识，解题的关键是

学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题.

三.解答题（共48小题）

3.如图，是一个照相机成像的示意图.

（1）如果像高A/N是35根机，焦距是50/ww,拍摄的景物高度AB是49小拍摄点离景物有

多远？

（2）如果要完整的拍摄高度是2根的景物，拍摄点离景物有4羽，像高不变，则相机的焦距

应调整为多少？

35mm

【分析】(1)利用相似三角形对应边上的高等于相似比即可列出比例式求解;

(2)和上题一样，利用物体的高和拍摄点距离物体的距离及像高表示求相机的焦距即可.

【解答】解：根据物体成像原理知：£\LMNsALBA,

.MN_LC

"AB^LD-

(I),像高MV是35加"z,焦距是50sM7,拍摄的景物高度AB是4.9利,

•0.035=4.9

"0.05ID-

解得：LD=7,

.•・拍摄点距离景物7米;

(2)拍摄高度是2加的景物，拍摄点离景物有4〃,，像高不变,

•352000

"LC=4000)

解得：LC=70,

，相机的焦距应调整为70mm.

【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据题意得到相似三角形，并熟知相

似三角形对应边上的高的比等于相似比.

4.如图，花丛中有一路灯杆AB.在灯光下，小明在。点处的影长。E=3米，沿BD方向

行走到达G点，0G=5米，这时小明的影长G4=5米.如果小明的身高为1.7米，求路

灯杆A8的高度（精确到0.1米）.

A

-DEGH

【分析】根据AB8"，CDLBH,FG±BH,可得：AABEsdCDE,则有型=.DE一和

ABDE+BD

四=一第一，而型=/，即DE=HG,从而求出BO的长，再代入前

ABHG+GD+BDABABDE+BDHG+GD+BD

面任意一个等式中，即可求出AB.

【解答】解：根据题意得：AB1BH,CDLBH,FGLBH,（1分）

在RtAABE和RtACZ)£中,

'：AB±BH,CD1BH,

：.CD//AB,

可证得：

△CDEsAABE

.•.史=DE①,（4分）

AB-DE+BD

同理：一些一②，（5分）

ABHG+GD+BD

又CD=FG=1.7m,

由①、②可得：

DE_HG

DE+BD=HG+GD+BD'

即3_5,

3+BD=10+BD'

解之得：BD=1.5m,（6分）

将BD=75代入①得：

AB=5.95m^6.0m.（7分）

答：路灯杆48的高度约为6.0m.（8分）

（注：不取近似数的，与答一起合计扣1分）

【点评】解这道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三

角形中，利用相似比列出方程即可求出.

5.学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子

长度的变化规律.如图，在同一时间，身高为1.6机的小明（AB）的影子长是3机，

而小颖（EH）刚好在路灯灯泡的正下方X点，并测得加=6".

（1）请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置G；

（2）求路灯灯泡的垂直高度GH；

（3）如果小明沿线段5H向小颖（点X）走去，当小明走到①/中点Bi处时，求其影子81cl

的长；当小明继续走剩下路程的上到历处时，求其影子历C2的长；当小明继续走剩下

3

路程的工到用处，…按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的,到瓦处时，其影

4n+1

子BnQn的长为祖.（直接用n的代数式表示）

~2n+2~

4A

B,B

【分析】（1）确定灯泡的位置，可以利用光线可逆可以画出；

（2）要求垂直高度G”可以把这个问题转化成相似三角形的问题，图中△ABCs^GHC由

它们对应成比例可以求出GH；

（3）的方法和（2）一样也是利用三角形相似，对应相等成比例可以求出，然后找出规律.

【解答】解：（1）如图（2分）

（2）GH±HC,

C.AB//GH,

：.AABC^/XGHC,

A（3分）

GH-HC

VAB=1.6/77,BC=3m,HB=6m

•1.63

，GH=4.8(m).(4分)

(3)同理△AiBiCis^GHCi，

.A1B1_B1C1

.GH=HC］，

设长为x(M,则二6二x,

4.8x+3

解得：(m),即B［C［二"(加・(5分)

同理1.6二B2c2,

4.8B2c2+2

解得比Q=1(m),(6分)

.1.6_BnCn

•------一,

【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质对应边成比例

解题，此题有三问，比较麻烦，但方法一样.

6.如图，在一个长40机、宽30%的长方形小操场上，王刚从A点出发，沿着的路

线以3根/s的速度跑向C地.当他出发4s后，张华有东西需要交给他，就从A地出发沿

王刚走的路线追赶.当张华跑到距B地2Z,z的D处时，他和王刚在阳光下的影子恰好

3

重叠在同一条直线上.此时，A处一根电线杆在阳光下的影子也恰好落在对角线AC上.

（1）求他们的影子重叠时，两人相距多少米？（OE的长）

（2）求张华追赶王刚的速度是多少？（精确到O.lm/s）

【分析】⑴提示：利用平行投影的性质，确定AC〃Z)E,利用三角形相似(△ACBS/XDEB)

求解即可;

(2)利用勾股定理求出BE的长，然后求出王刚的时间，减去4得到张华的时间，再根据

速度=路程+时间列式计算即可求解.

【解答】解：(1)根据题意可知：DE//AC,

：.LACBs4DEB

-DE_BD,

"AC

在RtA4BC中，AB=40m,BC=30m,BD

\,在一个长40m＞宽30/77的长方形小操场上,

.,.AC—50m,

在

嘲得即由处

(2)根据题意得

/.£>£2=BD2+BE2,

"BE=VDE2-BD2=^(y-)-(y)=y=2m,

:.s-AB+BE=42m,

.•・/王=二^-=42m=145,

v王3m/s

张=£王-4=10s,

；.s张=AO=AB-BD=40-2—⑵-

3333

112

v张=」—Q3.7«I/S.

10

答：（1）他们的影子重叠时，两人相距也■米.

3

（2）张华追赶王刚的速度是3.7M/S.

【点评】本题考查了相似三角形的性质及勾股定理在实际生活中的运用，解答此类问题的关

键是根据题意列出方程求解.

7.马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目.跷跷板支柱AB的高度为1.2米.

（1）若吊环高度为2米，支点A为跷跷板尸。的中点，狮子能否将公鸡送到吊环上，为什

么？

（2）若吊环高度为3.6米，在不改变其他条件的前提下移动支柱，当支点A移到跷跷板尸。

的什么位置时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上？

【分析】（1）当狮子将跷跷板P端按到底时可得到而AB为的中位线,

AB^1.2（米），QH=24>2

（2）由于所以/有组故可求得。反的值.

QH-PQ3

【解答】解：（1）狮子能将公鸡送到吊环上.

当狮子将跷跷板P端按到底时可得到RtAPHQ,

:支点A为跷跷板PQ的中点，AB//QH,

：.AB为的中位线，

\'AB=1.2（米），

QH=2AB=2.4m>2m.

（2）支点A移到跷跷板P。的三分之一处（E4=」_PQ）,

3

狮子刚好能将公鸡送到吊环上，

如图，'JAB//QH,

:.丛PABsXPQH,

•ABPA1.2=1

••丽"PQ=3.6T

•••支点A移到跷跷板PQ的三分之一处时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上.

【点评】本题利用了相似三角形和性质求解.

8.小胖和小瘦去公园玩标准的跷跷板游戏，两同学越玩越开心，小胖对小瘦说：“真可惜！

我只能将你最高翘到1米高，如果我俩各边的跷跷板都再伸长相同的一段长度，那么我

就能翘到1米25,甚至更高！”

（1）你认为小胖的话对吗？请你作图分析说明；

（2）你能否找出将小瘦翘到1米25高的方法？试说明.

BOA

她而P

【分析】（1）小胖的话不对，因为小胖说“真可惜！我现在只能将你最高翘到1米高”，可

知B在地面上时，A距离地面1米，利用0P是三角形的中位线可知。尸=0.5米，若将

两端同时都再伸长相同的长度，OP依然是三角形的中位线，跷跷板能翘到的最高高度始

终为支架OP高度的两倍即为1米，所以不可能翘得更高；

（2）能找出，方法是：保持3。长度不变.将延长一半至E,即只将小瘦一边伸长一半,

利用相似三角形的性质，可知A离地面的高度：。尸=2.5：1,即小瘦距离地面1.25米.

【解答】解：（1）小胖的话不对.（2分）小胖说“真可惜！我现在只能将你最高翘到1米

高”，情形如图1所示

。尸是标准跷跷板支架的高度，AC是跷跷板一端能翘到的最高高度1米，8c是地面.

±BC,ACLBC,ZOBP^ZABC,：./XOBP^AABC,.•.更（4分）

BA-AC

又•.•此跷跷板是标准跷跷板，8。=。4,.L=L,而AC=1米，得。2=0.5米.（5分）

BA2

若将两端同时都再伸长相同的长度，假设为。米（«>0）.如图2所示，

。米，AE=〃米（6分）

9

：BO=OAf

/.BO+a=OA+a,即DO=OE.

同理可得△。。「6△。石/，

DE-2

...里y_,由。尸=0.5米，得匹=1米.（7分）

DE-EF

综上所述，跷跷板两边同时都再伸长相同的一段长度，跷跷板能翘到的最高高度始终为支架

OP高度的两倍，所以不可能翘得更高.

（2）①方案一：如图3所示，

保持3。长度不变.将。4延长一半至E,即只将小瘦一边伸长一半.（8分）

使AE=J-OA,则竺1上，（9分）

2BE5

由△BOPS/KBEF,得更L，!L,（11分）

BE-EF

.,衣=1.25米,（12分）

②方案二：如图4所示，只将支架升高0.125米.（8分）

...£/0―』,丛B'O'P"△"A'C,

B，A，-2

又。尸=0.5+0.125=0.625米，（9分）

.HO'PP',（11分）

B'A'"A7C’

.♦.A'C=1.25米.（12分）

（注：其它方案正确，可参照上述方案评分！）

A'

图3

【点评】本题需仔细分析题意，结合图形，利用相似三角形对应边成比例即可解答问题.

9.问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些

物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息：

乙组：如图2,测得学校旗杆的影长为900c〃z.

丙组：如图3,测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为

200cm,影长为156cm.任务要求：

（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；

（2）如图3,设太阳光线与。。相切于点M.请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯

灯罩的半径.（友情提示：如图3,景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式

1562+2082=2602）

【分析】此题属于实际应用问题，解题时首先要理解题意，然后将实际问题转化为数学问题

进行解答；此题需要转化为相似三角形的问题解答，利用相似三角形的性质，相似三角

形的对应边成比例解答.

【解答】解：（1）由题意可知：/BAC=/EDF=9。：NBCA=/EFD.

：.△ABCsLDEF.

AAB_AC；即毁JL,（2分）

DE-DFDE-900

，DE=1200（cm）.

所以，学校旗杆的高度是12〃z.（3分）

（2）解法一：

与①类似得：坐4,即他3L

GN-GHGN-156

.,.GN=208.（4分）

在RtZ\NG8中，根据勾股定理得：W=1562+2082=2602,

:.NH=26Q.（5分）

设O。的半径为厂51,连接OM,

切。。于M,：.OM±NH.（6分）

则/OMN=NHGN=90°,

又,：/ONM=/HNG,

:.△OMNs△HGN,

喘端（7心

又ON=OK+KN=OK+（GN-GK）=r+8,

•r_r+8

"T56"^260：

解得：r=12.

，景灯灯罩的半径是12c7%.（8分）

解法二：

与①类似得：期

GNGH

即8。=60,

GN-156

：.GN=2Q8.（4分）

设O。的半径为星川，连接OM,

；NH切。0于M,

：.OMLNH.（5分）

则/OMN=/"GN=90°,

又,：/0NM=/HNG,

:AOMNs丛HGN.

-QM_MN

"HG^GN，

即「=MN,（6分）

156~208

:.MN=&r,

3

又,：ON=OK+KN=OK+（GN-GK）=叶8.（7分）

在Rt^OMN中，根据勾股定理得：

222

/+（£r）=（r+8）BPr-9r-36=0,

3

解得：n=12,9=-3（不合题意，舍去）,

景灯灯罩的半径是12cm.（8分）

【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程,

通过解方程求解即可，体现了转化的思想.此题的文字叙述比较多，解题时要认真分析

题意.

10.王大伯要做一张如图1的梯子，梯子共有8级互相平行的踏板，每相邻两级踏板之间的

距离都相等.已知梯子最上面一级踏板的长度45=0.5相，最下面一级踏板的长度图瓦

=08%木工师傅在制作这些踏板时，截取的木板要比踏板长，以保证在每级踏板的两

个外端各做出一个长为4cm的樟头（如图2所示），以此来固定踏板.现市场上有长度为

2.1m的木板可以用来制作梯子的踏板（木板的宽厚和厚度正好符合要制作梯子踏板的要

求），请问：制作这些踏板，王大伯最少需要买几块这样的木板？请说明理由.（不考虑

锯缝的损耗）

【分析】在解此题的过程中，一定要构建相似三角形，因为踏板之间是相互平行，而且间隔

相等，所以可利用这一组平行线来构建相似三角形，从而依次求出自上而下各条踏板的

长度.另外千万不要忽略桦头的长度；

解法二：可以把梯子看做一个等腰梯形，由中位线定理即可求解；

解法三：和解法二相同，都是利用梯形中位线，只不过又做了一■条踏板'的,有AIBI和4场

能求出A5B5，然后有A585和4破9求出q感，再有A7B7和4为求出4/8=80,从而算

出A9B9的具体数值，这样的话，4以至&国的长就都能准确求出，从而算出一共需要

多少材料.

【解答】解：法一：如图，设自上往下第2,3,4,5,6,7级踏板的长依次为&2&，A3B3,

A7B7,过Ai作3/8的平行线分别交A2B2,A3B3.4/8于点C2，C3,…，C8.

:每两级踏板之间的距离相等，

—CyBy—•••—C2B2—A1B1—50cm,A8c8=80-50=30cm.

•：A2C2//ASB8,

2c2=NAiA8c8，A1C2A2—CsAg,

△A142。200△A148Cg,

A2C2：A8c8=1：7,

・30

••A25^50+^

设要制作A/i，A2B2，…,A7B7,A/8这些踏板需用木板的长度分别为a^cm,

a^cm,

则由=50+8=58,a2=50+芈住58+平，&3=58+半，为=58+半，%二58

&产8+旱，a[=58+写，恁=58+30,

,+a2