浙江专用2025版高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量第4讲直线平面平行的判定及其性质练习含解析

PAGEPAGE8第4讲直线、平面平行的判定及其性质[基础达标]1．在空间内，下列命题正确的是()A．平行直线的平行投影重合B．平行于同始终线的两个平面平行C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行解析：选D.对于A，平行直线的平行投影也可能相互平行，或为两个点，故A错误；对于B，平行于同始终线的两个平面也可能相交，故B错误；对于C，垂直于同一平面的两个平面也可能相交，故C错误；而D为直线和平面垂直的性质定理，正确．2．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β”是“α∥β”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥βD/⇒α∥β；当α∥β时，α内任始终线与β平行，因为m⊂α，所以m∥β.综上知，“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．3．(2024·杭州中学高三期中)已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是()A．若α⊥γ，α⊥β，则γ∥βB．若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α∥βD．若m∥n，m∥α，则n∥α解析：选C.对于A，若α⊥γ，α⊥β，则γ与β平行或相交；对于B，若m∥n，m⊂α，n⊂β，则α与β平行或相交；对于D，若m∥n，m∥α，则n∥α或n在平面α内．4.如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则()A．BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形解析：选B.由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EF綊eq\f(1,5)BD，所以EF∥平面BCD.又H，G分别为BC，CD的中点，所以HG綊eq\f(1,2)BD，所以EF∥HG且EF≠HG.所以四边形EFGH是梯形．5．如图，若Ω是长方体ABCD­A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EB1F­HC1G后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论不正确的是()A．EH∥FG B．四边形EFGH是矩形C．Ω是棱柱 D．Ω是棱台解析：选D.因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，所以EH∥B1C1，所以EH∥平面BCGF，又因为FG⊂平面BCGF，所以EH∥FG，故A正确；因为B1C1⊥平面A1B1BA，EF⊂平面A1B1BA，所以B1C1⊥EF，则EH⊥EF，又由上面的分析知，EFGH为平行四边形，故它是矩形，故B正确；因为EH∥B1C1∥FG，故Ω是棱柱，故C正确．6．(2024·杭州二中期中考试)如图，在多面体ABC­DEFG中，平面ABC∥平面DEFG，EF∥DG，且AB＝DE，DG＝2EF，则()A．BF∥平面ACGDB．CF∥平面ABEDC．BC∥FGD．平面ABED∥平面CGF解析：选A.取DG的中点为M，连接AM，FM，如图所示．则由已知条件易证四边形DEFM是平行四边形，所以DE綊FM，因为平面ABC∥平面DEFG，平面ABC∩平面ADEB＝AB，平面DEFG∩平面ADEB＝DE，所以AB∥DE，所以AB∥FM.又AB＝DE，所以AB＝FM，所以四边形ABFM是平行四边形，即BF∥AM.又BF⊄平面ACGD，所以BF∥平面ACGD.故选A.7.如图，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若eq\f(AM,MB)＝eq\f(AN,ND)，则直线MN与平面BDC的位置关系是__________．解析：在平面ABD中，eq\f(AM,MB)＝eq\f(AN,ND)，所以MN∥BD.又MN⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，所以MN∥平面BCD.答案：平行8.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上．若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．解析：因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC，所以F为DC的中点．故EF＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2).答案：eq\r(2)9．(2024·宁波效实中学模拟)如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满意条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能状况)解析：连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，所以平面FHN∥平面B1BDD1，只要M∈FH，则MN⊂平面FHN，所以MN∥平面B1BDD1.答案：M位于线段FH上(答案不唯一)10．在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，P是A1B1的中点，过点A1作与截面PBC1平行的截面，所得截面的面积是________．解析：如图，取AB，C1D1的中点E，F，连接A1E，A1F，EF，则平面A1EF∥平面BPC1.在△A1EF中，A1F＝A1E＝eq\r(5)，EF＝2eq\r(2)，S△A1EF＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\r(（\r(5)）2－（\r(2)）2)＝eq\r(6)，从而所得截面面积为2S△A1EF＝2eq\r(6).答案：2eq\r(6)11．如图，已知ABCD­A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点．(1)求证：E，B，F，D1四点共面；(2)求证：平面A1GH∥平面BED1F.证明：(1)因为AE＝B1G＝1，所以BG＝A1E＝2，因为BG∥A1E，所以A1G∥BE.又因为C1F綊B1G，所以FG∥C1B1∥D1A1，所以四边形A1GFD1是平行四边形．所以A1G∥D1F，所以D1F∥EB，故E、B、F、D1四点共面．(2)因为H是B1C1的中点，所以B1H＝eq\f(3,2).又B1G＝1，所以eq\f(B1G,B1H)＝eq\f(2,3).又eq\f(FC,BC)＝eq\f(2,3)，且∠FCB＝∠GB1H＝90°，所以△B1HG∽△CBF，所以∠B1GH＝∠CFB＝∠FBG，所以HG∥FB.又由(1)知A1G∥BE，且HG∩A1G＝G，FB∩BE＝B，所以平面A1GH∥平面BED1F.12．如图，斜三棱柱ABC­A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．(1)当eq\f(A1D1,D1C1)等于何值时，BC1∥平面AB1D1?(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求eq\f(AD,DC)的值．解：(1)如图，取D1为线段A1C1的中点，此时eq\f(A1D1,D1C1)＝1.连接A1B交AB1于点O，连接OD1.由棱柱的性质，知四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点．在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，所以OD1∥BC1.又因为OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，所以BC1∥平面AB1D1.所以eq\f(A1D1,D1C1)＝1时，BC1∥平面AB1D1.(2)由已知，平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BDC1＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O.因此BC1∥D1O，同理AD1∥DC1.所以eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(A1O,OB)，eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(DC,AD).又因为eq\f(A1O,OB)＝1，所以eq\f(DC,AD)＝1，即eq\f(AD,DC)＝1.[实力提升]1．如图，透亮塑料制成的长方体容器ABCD­A1B1C1D1内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH所在四边形的面积为定值；③棱A1D1始终与水面所在平面平行；④当容器倾斜如图所示时，BE·BF是定值．其中正确的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选C.由题图知，明显①是正确的，②是错的；对于③因为A1D1∥BC，BC∥FG，所以A1D1∥FG且A1D1⊄平面EFGH，所以A1D1∥平面EFGH(水面)．所以③是正确的；因为水是定量的(定体积V)．所以S△BEF·BC＝V，即eq\f(1,2)BE·BF·BC＝V.所以BE·BF＝eq\f(2V,BC)(定值)，即④是正确的，故选C.2．(2024·杭州二中模拟)已知两个不重合的平面α，β，给定以下条件：①α内不共线的三点到β的距离相等；②l，m是α内的两条直线，且l∥β，m∥β；③l，m是两条异面直线，且l∥α，l∥β，m∥α，m∥β.其中可以判定α∥β的是()A．① B．②C．①③ D．③解析：选D.①中，α内的三点中假如一点在平面β的一侧，另两点在平面β的另一侧，也可满意这三点到β的距离相等，所以①不符合题意．②中，l与m平行时，α与β也可能相交．③中，如图所示，过直线l作一平面γ，设γ∩α＝a，γ∩β＝b.因为l∥α，l∥β，所以l∥a，l∥b，所以a∥b，所以α∥β.过直线m作一平面σ，设σ∩α＝c，σ∩β＝d.因为m∥α，m∥β，所以m∥c，m∥d，所以c∥d，所以c∥β.因为l，m是两条异面直线，所以a，c必相交，所以α∥β，所以③符合题意．3．在△ABC中，AB＝5，AC＝7，∠A＝60°，G是重心，过G的平面α与BC平行，AB∩α＝M，AC∩α＝N，则MN＝________．解析：依据余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝39，所以BC＝eq\r(39).因为BC∥α，MN＝α∥平面ABC，所以MN∥BC，又G是△ABC的重心，连接AG交BC于D，所以eq\f(AG,AD)＝eq\f(2,3)＝eq\f(MN,BC)，则MN＝eq\f(2,3)eq\r(39).答案：eq\f(2,3)eq\r(39)4．(2024·温州中学高考模拟)如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为a，点P是棱AD上一点，且AP＝eq\f(a,3)，过B1、D1、P的平面交底面ABCD于PQ，Q在直线CD上，则PQ＝________．解析：因为平面A1B1C1D1∥平面ABCD，而平面B1D1P∩平面ABCD＝PQ，平面B1D1P∩平面A1B1C1D1＝B1D1，所以B1D1∥PQ.又因为B1D1∥BD，所以BD∥PQ，设PQ∩AB＝M，因为AB∥CD，所以△APM∽△DPQ.所以eq\f(PQ,PM)＝eq\f(PD,AP)＝2，即PQ＝2PM.又知△APM∽△ADB，所以eq\f(PM,BD)＝eq\f(AP,AD)＝eq\f(1,3)，所以PM＝eq\f(1,3)BD，又BD＝eq\r(2)a，所以PQ＝eq\f(2\r(2),3)a.答案：eq\f(2\r(2),3)a5．(2024·杭州学军中学高三模拟)如图，一个侧棱长为l的直三棱柱ABC­A1B1C1容器中盛有液体(不计容器厚度)．若液面恰好分别过棱AC，BC，B1C1，A1C1的中点D，E，F，G.(1)求证：平面DEFG∥平面ABB1A1；(2)当底面ABC水平放置时，求液面的高．解：(1)证明：因为D，E分别为棱AC，BC的中点，所以DE是△ABC的中位线，所以DE∥AB.又DE⊄平面ABB1A1，AB⊂平面ABB1A1，所以DE∥平面ABB1A1.同理DG∥平面ABB1A1，又DE∩DG＝D，所以平面DEFG∥平面ABB1A1.(2)当直三棱柱ABC­A1B1C1容器的侧面AA1B1B水平放置时，由(1)可知，液体部分是直四棱柱，其高即为原直三棱柱ABC­A1B1C1容器的高，即侧棱长l，当底面ABC水平放置时，设液面的高为h，△ABC的面积为S，则由已知条件可知，△CDE∽△CAB，且S△CDE＝eq\f(1,4)S，所以S四边形ABED＝eq\f(3,4)S.由于两种状态下液体体积相等，所以V液体＝Sh＝S四边形ABEDl＝eq\f(3,4)Sl，即h＝eq\f(3,4)l.因此，当底面ABC水平放置时，液面的高为eq\f(3,4)l.6．如图，长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8.点E，F分别在A1B1，D1C1上，过点E、F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形EFGH.(1)求证：A1E＝D1F