2024-2025学年高中数学第1章三角函数1.5函数y＝Asinωx＋φ的图象课后课时精练新人教A版必修4

PAGE1-1.5函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象A级：基础巩固练一、选择题1．把函数f(x)的图象向右平移eq\f(π,12)个单位后得到函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的图象，则f(x)为()A．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(7π,12)))B．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3π,4)))C．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(5π,12)))D．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5π,12)))答案C解析用x－eq\f(π,12)代换选项中的x，化简得到y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的就是f(x)，代入选项C，有f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)＋\f(5π,12)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))).2．某同学用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的简图时，列表如下：ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πxeq\f(π,12)eq\f(π,4)eq\f(5π,12)eq\f(7π,12)eq\f(3π,4)y020－20则有()A．A＝2，ω＝eq\f(π,12)，φ＝0 B．A＝2，ω＝3，φ＝eq\f(π,12)C．A＝2，ω＝3，φ＝－eq\f(π,4) D．A＝1，ω＝2，φ＝－eq\f(π,12)答案C解析由表格得A＝2，eq\f(3π,4)－eq\f(π,12)＝eq\f(2π,ω)，∴ω＝3.∴ωx＋φ＝3x＋φ.当x＝eq\f(π,12)时，3x＋φ＝eq\f(π,4)＋φ＝0，∴φ＝－eq\f(π,4).3．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所示，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－eq\f(2,3)，则f(0)＝()A．－eq\f(2,3) B．－eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(1,2)答案C解析由图象可知所求函数的周期为eq\f(2π,3)，故ω＝3，将eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,12)，0))代入解析式得eq\f(11π,4)＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，所以φ＝－eq\f(9π,4)＋2kπ，k∈Z，令φ＝－eq\f(π,4)代入解析式得f(x)＝Acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,4))).又因为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－Asineq\f(π,4)＝－eq\f(2,3)，所以f(0)＝Acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝Acoseq\f(π,4)＝eq\f(2,3)，故选C．4．已知函数y＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))))，以下说法正确的是()A．周期为eq\f(π,4)B．偶函数C．函数图象的一条对称轴为直线x＝eq\f(π,3)D．函数在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，\f(5π,6)))上为减函数答案C解析该函数的周期T＝eq\f(π,2)；因为f(－x)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2x－\f(π,6)))))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))))，所以它是非奇非偶函数；函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，\f(5π,6)))上是减函数，但y＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))))在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，\f(5π,6)))上是增函数，只有C选项正确．5．为得到函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))的图象，可将函数y＝sinx的图象向左平移m个单位长度，或向右平移n个单位长度(m，n均为正数)，则|m－n|的最小值是()A．eq\f(π,3)B．eq\f(2π,3)C．eq\f(4π,3)D．eq\f(5π,3)答案B解析由题意可知，m＝eq\f(π,3)＋2k1π，k1为非负整数，n＝－eq\f(π,3)＋2k2π，k2为正整数，∴|m－n|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋2k1－k2π))，∴当k1＝k2时，|m－n|min＝eq\f(2π,3).二、填空题6．简谐运动s＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πt＋\f(π,3)))，在t＝eq\f(1,2)时的位移s＝________，初相φ＝________.答案eq\f(3,2)eq\f(π,3)解析当t＝eq\f(1,2)时，s＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\f(π,3)))＝3×eq\f(1,2)＝eq\f(3,2).7．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω＞0，－\f(π,2)≤φ≤\f(π,2)))的图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移eq\f(π,6)个单位长度得到y＝sinx的图象，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝______.答案eq\f(\r(2),2)解析将y＝sinx的图象向左平移eq\f(π,6)个单位长度可得y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍可得y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))的图象，故f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(π,6)＋\f(π,6)))＝sineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2).8．若将函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(5π,6)))(ω>0)的图象向右平移eq\f(π,3)个单位长度后，与函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))的图象重合，则ω的最小值为________．答案eq\f(7,4)解析y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(5π,6)))的图象向右平移eq\f(π,3)个单位后得到y＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＋\f(5π,6)))，即y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(5π,6)－\f(ωπ,3)))，故eq\f(5π,6)－eq\f(ωπ,3)＋2kπ＝eq\f(π,4)(k∈Z)，即eq\f(ωπ,3)＝eq\f(7π,12)＋2kπ，解得ω＝eq\f(7,4)＋6k(k∈Z)，∵ω>0，∴ω的最小值为eq\f(7,4).三、解答题9．已知函数f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))，x∈R.(1)利用“五点法”画出函数f(x)在一个周期eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(9π,2)))上的简图；(2)先把f(x)的图象上全部点向左平移eq\f(π,2)个单位长度，得到f1(x)的图象；然后把f1(x)的图象上全部点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到f2(x)的图象；再把f2(x)的图象上全部点的纵坐标缩短到原来的eq\f(1,3)(横坐标不变)，得到g(x)的图象，求g(x)的解析式．解(1)列表取值：描出五个关键点并用光滑的曲线连接，得到一个周期的简图．xeq\f(π,2)eq\f(3π,2)eq\f(5π,2)eq\f(7π,2)eq\f(9π,2)eq\f(1,2)x－eq\f(π,4)0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πf(x)030－30(2)将f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,4)))的图象上全部点向左平移eq\f(π,2)个单位长度得到f1(x)＝3sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))－\f(π,4)))＝3sineq\f(1,2)x的图象．把f1(x)＝3sineq\f(1,2)x的图象上全部点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到f2(x)＝3sineq\f(1,4)x的图象，把f2(x)＝3sineq\f(1,4)x的图象上全部点的纵坐标缩短到原来的eq\f(1,3)(横坐标不变)得到g(x)＝sineq\f(1,4)x的图象．所以g(x)的解析式为g(x)＝sineq\f(1,4)x.B级：实力提升练已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)上的一个最高点的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\r(2)))，由此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，若φ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2))).(1)试求这条曲线的函数解析式；(2)写出函数的单调区间．解(1)依题意，得A＝eq\r(2)，T＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－\f(π,2)))＝4π，∵T＝eq\f(2π,|ω|)＝4π，ω＞0，∴ω＝eq\f(1,2).∴y＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋φ)).∵曲线上的最高点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\r(2)))，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(π,2)＋φ))＝1.∴φ＋eq\f(π,4)＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.∵－eq\f(π,2)＜φ＜eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,4).∴y＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,4))).(2)令2kπ－eq\f(π,2)≤eq\f(1,2)x＋eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，∴4kπ－e