北师大版九年级下册数学全册课时练习

L1锐角三角函数

一、选择题

1.在aABC中，NC=90°,BC=2,AB=3,则下列结论正确的是（）

A..sinA=—B.cosA=-

33

C.sinA=-.D.tanA=—

32

2.如图1—21所示的是一水库大坝横截面的一部分，坝高力=6m,

迎水坡18=10m,斜坡的坡角为a,则tana的值为（）

A.-B.-C.-D.-

5534

3.如图1-22所示，在矩形力驱中，力。于E,设/ADE=a,且

cosa=|,AB=4,则力〃的长为)

A.3B.—

3

C型D.16

35

图1-22

二、填空题

4.如图1—23所示，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离

米，cosZB.AC=-f则梯子AB的长度为米.

4

5.若d是锐角，且sin2m'cos?48°=1,则4.

6.如图1一24所示，在RtZVI"中，ZC=90c°,48=3,BC=1,求

N/的三角函数值.

BB

图1-24图1-25

三、计算与解答题

7.如图1一25所示，在口△〃》中，ZACB=90°,切为48边上的

高，加=3,AD=—,求sin4cosA,tan4的值.

3

8.如图1-26所示，在平面直角坐标系内，。为原点，点4的坐标为

(10,0),点,B在第一象限内，B0=5,sin/加=|.

(1)求点8的坐标;

⑵求cosN物。的值.

9.请你画出一个以BC为底边的等腰三角形ABC,使底边上的高

BC

(1)求tanZABCsinN/BC的值;

(2)在你所画的等腰三角形ABC中，假设底边BC=5米，求腰上

的高BE.

参考答案

1.C［提示：sinA=更.］"

ABB

2.D［提示：过力点作垂线交底部于。点，则△力⑶为直角三24"、

角形，/.BC=^AB2-AC2=V102-62=8(m),/.tana=-=

8图1-28

故选〃］

4

3.B［提示：/ADE和/EDC互余,Jcosa=sinN顾6三|,sin/EDC

=-=—=由勾股定理，得DE=3.在RtAAED中，cos

DC4555

16

'=著会”加甘•故选日】

4.4［提示：在RtZ\M中，/。=3米，COSZBAC=-=-所以4?

AB49

=4。米，即梯子的长度为4米.]

5.48°［提示：Vsin2a+cos2a=l,/.a=48°.］

6.提示:sinA=-,cosA=^^9tanA=—.

334

7.解：VZJC?=90o,CDLAB,：./\ACD^/\CBD,：・CI^=AD*DB=

16,=4,：.AO>JAD2^CD2=—.AsinA==—=-cosA

3AC59AC5

tanA=^-=-.

AD4

8.解：（1）如图1—27所示，作BH上（M,垂足为〃在Rt△嬲中，

♦：B0=3,sin/加=|,:.B43,・,•加=4,・••点8的坐标为（4,

3）.（2）V614=10,0H=4,:.AH=6,在中，,:Blk3,：.

AB=>JBH2+AH2=732+62=3>/5,/.cosZBA0=—=~^==—.

AB3后5

9.解：（1）根据题意画出图形，如图1-28所示，・・,四=4C,ADLBQ

AD=BC,：.BD=-RC=-AD,BPAD=2BD,：.AB=^BD2+AD2=75BD,

22

AtanZABC=—=2,sinZABC=—⑵作BEL4C于E,SRtA

BDAB5

BEC中，sinOsin/ABC二述..又〈sinC=殷，，毡=延.故BE=2石

5BC55

（米）.

1.230°,45°,60°角的三角函数值

一.选择题:

1.在△ABC中，都是锐角，且sinA=-,cosB=—,则△ABC三个

22

角的大小关系是O

A.ZC>ZA>ZBB.ZB>ZC>ZA

C.ZA>ZB>ZCD.ZC>ZB>ZA

2.若0°<<90°,且|sin—1+^cos0-,则tan的值等于()

A.V3B.3C.1D.在

322

3.如图1—37所示，在△力比中，ZA=30.°tanB=—,4。=2百，贝的

2

长是()

A.3+6B.2+26

9

C.5.D.-

2

4.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,腰长为a,则其底边上的高

)

^(。

A.

在

11也

aaaaa或

2B.2-D.2-2

二、选择题

5.在RtZiACB中，NC=90°,AC=0,AB=2,则

2-

6.若a为锐角，且「sin3=—,Mcos年.

2

7.在Rt4ACB中，若N£90°,sinJ=—,Z^+c=6,则炉.

2

8.(1)在△ABC中，ZC=90°,sinA=-,则cos5=______

2

(2)已知为锐角，且cos(90°-)=-,则=；

2

(3)若乃tan(a+10。)=1,则锐角=.

三、计算与解答

9.II算(1)sin60°•cos30°——.

2

(2)2COS2300-2sin600•cos450；

(3)2sln300-3tan45°+4cos6.0°；

10.如图1—38所示,在中，NBCA=90°,勿是斜边上的高“4ACD

=30°,49=1,求力C,CD,BC,BD,力8的长.

用1-39

11.如图1—39所示，在相距100米的力，8两处观测工厂C,测得N胡C=60°,

N4比―45°,则4夕两处到工厂C的距离分别是多少？

12.在△力优中，a,b,c分别是N4N8,NC的对边，且。=5』，若关于x

的方程(56+6)f+2ax+(5^/3-b)=0有两个相等的实数根，方程2x-(lOsin

4)x+5sin力=0的两个实数根的平方和为6,求的面积.

参考答案

1.D；2°B.

3.4提示：过点C作血力区垂足为反构造两个直角三角形，再根据三角函

数即可求出AE,EB,则AB=AE+EB.1

4.D［提示：考虑等边三角形和顶角为120°的等腰三角形.]

5.@［提示：♦・・/仁90°,於=百，

AB=2,AcosA=—,：.ZJ=30°,

32

N於90°-30°=60°,A-=30°,/.tan—=tan30°=—.]

223

6.也［提示：,・,8为锐角，・,.sin45°

=cos45°=.]

22

7.2[提示：由sinJ=—,得N4=60°.又,../。=90°,，cosJ=-=-,

2c2

:.c=2b,又,.,b+c=6,/.2P+Z?=6,:.b=2.]

8.(1)-；(2)30°；(3)20°.

2

9.解：原式二旦立」=L1.(1)上叵；(2)0；

22242

10.提示：AC=2fCD=0BC:=20,BD=3,AB=4.

Ji.提示：过。作aa/s于〃然后利用特殊角解直角三角形.求得儿5两处

到工厂C的距离分别是100(百一1)米，(150a-50O米.

12.解：:方程(5百+。)*+2斯+(56—6)=0有两个相等的实数根，且户

56，・・・4=(2"—4(0+8)(0—9=0,・,・才十斤。2,则^力第为直角三角形，且

Z6^90°.设为，房是方程2f—(lOsin4)x+5sinn=0的两个根，则根据根

与系数的关系有x+x2=5sin力，X】•用=*sin4.•・x：+若=(蜀+%)'一2M•也

2

532

=(5sinJ)J—2X—sinJ=6,解得sin4=-或sin/=——(舍去)，.*.a=csinA

255

=3>j3>\/c2—ci~—4y/3tS△ABC=—ab——x3y/3x4,>/3—18.

22

1.3三角函数的有关计算

一，选择题

1.在4ABC中，NC=90°,a=5,c=17“用科学计算器求NA约等于（）

A.17.6°B.17°61C.17°16'D.17.16°

2.一个直角三角形有两条边长分别为3,4,则较小的锐角约为（）

A.37°B.41°C.37°或41。D.以上答案均不对

3.如图，在AABC中，AC=3fBC=4fA8=5,则tan8的值是（

3434

A.-B.-C.-D.-

4355

4.在即2MBe中，ZC=90,AC=-AB,则cosA等于（）

3

A.竿B.1.C,242D.孝

5.如图，已知正方形ABC。的边长为2,如果将线段5。绕着点5旋转

后，点。落在C3的延长线上的点。处，那么tan/34）'等于（）

A.1B.C.—D.272

2

二、填空题

6.计算tan46°g.（精确到0.01）

7.在A4BC中，NC=90'若tanB=2,a=lfMb=.

8.在RfAABC中，BC=3tAC=V3,ZC=W,则ZA=：.

9.在AA3C中，ZC=90,tanA=2,则sinA+cosA=.

10.在mAA3C中，ZC=90,sinA=^,BC=20,则AABC的面积为.

三、解答题

11.在等腰直角三角形ABC中，ZC=W,AC=10,。是AC上一点，若

tanZZ）BC=-,求AO的长.（9分）

5

12.如图，学校的保管室里“有一架5米长的梯子斜靠在墙上，此时梯子与地面

所成的角为4S,如果梯子的底端。固定不动，顶端靠在对面墙上“此时梯子与

地面所成的角为60。，求此保管室的宽度AB的长.（10分）

13.如图1—48所示，一测量员站在岸边的A处，刚好正对河岸另一边B处的一

棵大树，这位测量员沿河岸向右走了50m到达C处，.在C处测得NACB=38°,

求河的宽度.（精确到0.01m,tan38°^0.7813）

图1•48图1-49图1-50

14.如图1—49所示，两建筑物的水平距离为24m,从A点测得D点的俯角为

60°,测得C点的仰角为40°,求这两座建筑物的高.（6和1.732,tan40°

入08391,精确到0.01m）

15.如图1—50所示，一个能张开54°的圆规，若两脚长均为15cm,则该圆规

所画的圆中最大的直径是多少？（sin27°何0.4540,精确到0.01cm）

16.如图1一51所示的是一辆自行车的侧面示意图.已知车鸵直径为65cm,车

架中AC的长为42cm,座杆AE的长为18cm,点E,A,C在同一条直线上，后

轴轴心B与中轴轴心C,所在直线BC与地面平行，NC=73°,求车座E到地面的

距离EF.（结果精确到1cm,参考数据：sin73°^0.96,cos73°^0.29,tan

73°^3.27）

图1-51

参考答案

1.A2.B3.B4.B5.C[提示：设较小的锐角为a,若3,4为两条直角边,

则tan=0.75.若斜边为4,先求另一直角边为77则tan]

43

6.1.04[提示：用科学计算器求.]

7.2

8.60°

9.3根号5/310.

11.AD=8

12.由于两边的墙都和地面垂直，所以构成了两个直角三角形...・cos45°二

AOJ2/八_5「BO15

5=2,.*/2；而cos60°=5=2,/.B0=2.

・・.AB=A0+B0=2=2«一1J.

13.解：河的宽度AB=ACtanC=50Xtan38°^50X0.7813^39.07(m).

nr

14.解：作AEJ_CD于E,则AE=BD=24m,在Rt^AED中，tan/DAE=",

AE

ADE=AEtan60°凫24X1.732比41.57(m),・・・AB=DE%41.57m.在RtZ\AEC中，

CF

tanZCAE=—,ACE=AEtan40°^24X0.8391^20.14(m),，CD=CE+DE心

AE

20.14+41.57=61.71(m),，甲建筑物的高AB约为41.57m,乙建筑物的高CD

约为61.71m.

15.解：作AD_LBC于D,则NBAD=27°,.*.BD=ABsin27°=15Xsin27°

^15X0.4540=6.81(cm),ABC=23D^2X6.81=13.62(cm),工直径=2BC=2X

13.62=27.24(cm).即该圆规所画的圆中最大的直径约是27.24cm.

DF

16.解：在RtZXEDC中，CE=AE+AC=18+42=60(cm).VsinC=—,/.

CE

DE=CEsinC=60Xsin73°^60X0.96=57.6(cm).XVDF=-X65=32.5(cm),

2

AEF=DE+DF^57.6+32.5^90(cm).，即车座E到地面的距离EF约为90cm.

1.4解直角三角形

知识点1已知两边求其他元素

图1一4一1

1.如图1一4一1，在R/Z\ABC中，ZC=90°，AC=1，BC=(§，则NB的度数为0

A-25°B.30°

C-45°D.60°

2•菱形ABCD的对角线AC=6小，BD=6，则菱形的四个角的度数分别是

3■在/CzAABC中，ZC=90°，/A，NB，NC所对的边分别为a，b，c，且a=5，

c=5y[2'求这个直角三角形的其他元素.

知识点2已知一边、一角求其他元素

4­在直角三角形ABC中，己知NC=90°，NA=40°，BC=3，则AC的长为()

A-3s加40°B.3sin5Q°

C-3s“40°D.3s，?50°

5•[2017•抚顺模拟]在/?rAABC中，ZC=90°，cosA=^，AC=^§，则BC等于0

A.小B.1C.2D.3

6.如图1一4一2，在心ZXABC中，ZC=90°，ZB=30°，BC=6，则AB的长为

7•在/?/AABC中，ZC=90°，c=10，ZA=45°，则a=，b=

ZB=°.(a，b，c分别为NA，/B，NC所对的边)

8•已知R/ZXABC在直角坐标系中的位置如图1一4一3所示，求A，C两点的坐标.

图1一4一3

9•等腰三角形的腰长为2小，底边长为6，则底角等于()

A•30°B.45°C.60°D.120°

图1—4—4

10.如图1一4一4，在AABC中，NC=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC

3

于点D，连接BD，若COS/BDC=5，则BC的长是0

A-4cmB.6cm

C-8cmD.10cm

11•如图1一4一5，在AABC中，NA=30°，/B=45°，AC=2小，则AB的长为

12•如图1一4一6，在R/Z\ABC中，NC=90°，/B=30。，AD是NBAC的平分线，

已知AB=4小，则AD=.

13•在/?/AABC中，ZC=90°，NA，NB，NC的对边分别为a，b，c，a=2巾，

b=2加，小王得到下面四个结论：®c=4啦；②S〃A=坐；③s%A+cosB=l：④NB=

300.其中正确的结论是.（只填序号）

14•如图1一4一7，河流两岸a，b互相平行，A，B是河岸a上的两座建筑物，C，D

是河岸b上的两点，A，B之间的距离为200根.某人在河岸b上的点P处测得NAPC=

75°，NBPD=30°，则河流的宽度为m.

15•如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角

形”.在R/ZXABC中，NC=90°，若/?/AABC是“好玩三角形”，则tanK=.

16•如图1一4一8，一块四边形土地，其中NABD=120°，AB1AC，BDJ_CD，AB=

30小机，CD=50y[3m，求这块土地的面积.

图1—4—8

17•如图1—4一9，ZACB-900*AB-13，AC-12，ZBCM-ZBAC，求$i〃NBAC

和点B到直线MC的距离.

图1一4一9

18•一副三角板如图1一4一10放置，点C在FD的延长线上，AB/7CF，ZF=ZACB

=90°，NE=30°>ZA=45°，AC=12正，试求CD的长.

19•如图1一4一11所示，把一张长方形卡片ABCD放在每格宽度为12mm的横格纸

中，恰好四个顶点都在横格线上，已知Na=36°，求长方形卡片的周长.（精确到1仙⑼（参

考数据：5/7136°*0.60，cos36°k0.80，s〃36°^0.75）

图1—4—11

20.如图1一4一12，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴、y轴上，点A的坐标为

（-1，0），ZABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O-B—A-0

运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动.如果PQ=，5，那么当点P运动

一周时，点Q运动的总路程为.

参考答案

1.B2.600，120°，60°，120°

/.ZB=90°-NA=45°，

N8=N4».\b=a=5.

4•D［解析］NB=90°-NA=90°-40°=50°，

又,.,tanB=整，.•・AC=BCtan8=3tan50°.故选D.

oC

5-B6.4小7.5啦5也45

/V30。旨'

（8）DC

8•解：如图所示，过点A作ADJ_8C于点。，

，点C的坐标为（4，0）.

在RtAABD中»sin30°=爷,cos30°=翳,而A0=2小，

/.AD=AOsin30°=2正义尹小，

8O=AOcos30。=2小X坐=3，

・••点4的坐标为（3，小）.

9•A

10•A［解析「・・NC=90<>，4C=8cm，■的垂直平分线MN交AC于点。，

・・・8O=AD，・・・CO+8O=8cm.

CD3CD3

・・•cosNBDC=^=g'・•・jZ而=5'

解得CO-3(cm)，・・・8£>—5cm，

・・・8C=4cm.故选A.

11•3+小［解析］过点C作CD_LA8于点D，

C

AZADC=ZBDC=90°.

•・・NB=45°，・・・N8CO=NB=45°，

：.CD=BD.

•/ZA=30°，AC=2小，,CO=V§，

：.BD=CD=y［3.

由勾股定理得AD=、4C2—a)2=3,

・"B=AO+BD=3+小.

12•［解析］在RlZXABC中，sinB=^，AC=ABsinB=4巾X，=2巾.

在n△AC。中，ZD4C=1z^C=1x60°=30°，

cosZDAC=4^，AD=--->\厂=2充=4.

ADcosZD4Ccos30

13解析］由勾股定理易求。=4啦，①正确；匕M=£=1^=乎，②正确；sinA

+cosB=£+£=^^+|^=T+T=l'③正确；tan8=(=|^=小'/.ZB=60°'④错

误.

14•100［解析］过点P作PE1AB于点E'

VZAPC=75°，ZBPD=30°，：・NAPB=75：

:NB4P=NA尸。=75°，：./APB=NBAP，

：.AB=PB=200m.

VZABP=30°，,PE=»3=100m.

15.坐或邛［解析］分两种情况：

⑴如图①，4。是4c边上的中线，BD=AC.

设4O=OC=A，则BD=AC=2k.

在RtZ\8C。中，VZC=90°，

・•・BC=7BU—CD2=®，

..BC事kS

・・laM-而-2k-2：

(2)如图②，A。是6C边，的中线，AD-6C.

设BD=DC=k，则AD=BC=2k.

在RtAACD中，VZC=90°，

：.AC=y]AD1-CD2=y[3k，

・.»4c事kS

・・tan8-Bc-2k~2-

•・・/C48+NB=90°，

・…八122s

•而/。8=言飞=3.

综上可知，所求值喈或邛.

故答案为由或邛.

cc

图①图②

16•

£，|

丛—%

解：延长C4，DB交于点、P，

■:4ABD=120°»ABVAC，BDVCD，

••・N48P=60°，NACD=60°.

在RtACDP中，tan/ACO=^，PD=CD-tanZACD=50巾Un60°=150(m).

DA

在RtAB45中，tanN?84=诟，B4=ABlan/PBA=3O小・lan600=90(m)，

；・S四边彩土地=S"a>-S^8P=；X50V3X150-1X30^3X90=2400V3(m2).

即这块土地的面积为2400V3m2.

MEC

17•解：如图，过点B作8E_LMC，垂足为E，

在RtAABC中，BC=y{AB2-AC2=

4132—122=5，

BC5

sin/84C=而

13-

在RS石C中‘BE=BCsin^BCE=BCs\nZBAC>

525

BE=5XE=F

75

即点B到直线MC的距离是

18•过点B作BM_LF。于点M，

在△ACB中，ZACB=90°，ZA=45°，AC=12小，

：,BC=AC=\2小.

'：AB//CF>

，NBCM=45°，

・・・8M=BCXsin450=12啦X彳=12，

CM=BM=\2.

在AEFD中，ZF=90°，Z£=30°，

，NEDF=6b°，

MD==4小，

tan60v

：.CD=CM-MD=\2~4小.

19•解：如图，过点8作BE_L/于点E，过点。作。P_L/于点F.

•・•/a+NDA尸=180°—NBAO=180°-90°=90°»ZADF+ZDAF=90°，

AZADF=Za=36°.

根据题意，得BE—24mm•DF_48mm.

在RtAABE中，sin。=骑，

BE24

丽=40(mm).

在RtAADF中，cosNAD—器，

•MO=co黑。-血=60(mm).

，长方形卡片的周长心2X(40+60)=200(mm).

20•4［解析］在RtAAOB中、•:NA8O=30°，AO=I>：.AB=2，匚P=小.

(1)当点P从0―8时»如图①、图②所示，点。运动的路程为、「；

(2)当点P从3-C时，如图③所示，这时QCLA5，则NACQ=90°.

CO

VZABO=30°，，NBAO=60°，：.ZOQD=90°-60°=30°，Acos30°=含，

/MG=^Sr-=2，

:.0。=2—1=1.则点Q运动的路程为QO=1;

(3)当点P从C-A时。，如图③所示，点Q运动的路程为QQ=2一虫.

(4)当点P从A-0时，点。运动的路程为AO=L

・•・点Q运动的总路程为小+1+2—小+1=4.

1.5三角函数的应用

1.如图,一枚运载火箭从地面。处发射,当火箭到达A点时,从地面C处的雷达站

测得AC的距离是6%,仰角是43,16后，火箭到达5点，此时测得的距离是

6.13k〃，仰角为45.54,这枚火箭从A点到8点的平均速度是多少？(精

确到001&7#s)

2.如图1—62所示，一艘渔船正以30海里/时的速度由西向东追赶鱼群，自A

处经半小时到达B处，在A处看见小岛C在船的北偏东60°的方向上，在B处

看见小岛C在船的北偏东30°的方向上，己知以小岛C为中心周围10海里以内

为我军导弹部队军，事演习的着弹危险区，则这艘船继续向东追赶鱼群，是否有进

入危险区域的可能?

图1-62

3.某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象，已知废墟一侧。地面

上两探测点A,B相距3米:探测线与地面的夹角分别是30和60（如图），.试确

定生命所在点C的深度.一（结果精确到0.1米,参考数据：立“41,6。L73）

、、

B\

4.如图1—63所示，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往

正西方向的B处，经16小时到达，到达后立即卸货，此时接到气象部门通知，

一台风中心正以40海里/时的速度由A处向北偏西60°的AC方向移动，距台

风中心20.0海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响：

（DB处是否会受到台风的影响?清说明理由；

（2）为避免卸货过程受到台风影响，船上人员应在多少小时内卸完