北师大版九年级上期数学教案

第一章特殊平行四边形

1.菱形的性质与判定（一）

师生结论:①菱形是周对称图形,有两条对称轴，是菱形对角线所在的直线，

两条对角线互相垂直。②菱形的四条边相等。

3、证明菱形性质

教师：通过折纸活动，同学们已经对菱形的性质有了初步的理解，下面我们

要对菱形的性质进行严格的逻辑证明。

教师活动：展示题目

图1-1

已知：如图1T,在菱形ABCD中，AB=AD,对角线AC与BD相交于点0.

求证：（1）AB=BC=CD=AD；（2）AC±BD.

师生共析：①菱形不仅对边相等，而且邻边相等，这样就可以证明菱形的四

条边都相等了。

②因为菱形是平行四边形，所以点0是对角线AC与BD中点；又

因为在菱形中可以得到等腰三角形，这样就可以利用“三线合一”

来证明结论了。

学生活动：写出证明过程，进行组内交流对比，优化证明方法，掌握相关定

理。

证明:(1)•••四边形ABCD是菱形，

AAB=CD,AD=BC(菱形的对边相等).

XVAB=AD

.\AB=BC=CD=AD

(2)VAB=AD

...△ABD是等腰三角形

又•••四边形ABCD是菱形

/.OB=OD(菱形的对角线互相平分)

在等腰三角形ABD中，

VOB=OD

.\AO±BD

即AC1BD

教师活动：展示学生的证明过程，进行恰当的点评和鼓励，优化学生的证明

方法，提高学生的逻辑证明能力，最后强调“菱形的四条边都相等”“菱形的对

角线互相垂直”，让学生形成牢固记忆，留下深刻印象。

【教学目的】

学生通过折纸可以猜想到菱形的相关性质，教师在参与学生的活动过程中,

应该关注学生的口述论证过程，并根据学生的认知水平加以引导，尽量减少学生

推理论证过程中的困难。

学生经过了折纸这一操作活动后，再经过逻辑证明，把操作层面的感知上升

到了理性认识，充分了解了菱形的本质特征。本环节让学生进行猜想探究和证明，

符合学生的认知规律。同时，操作活动得到的结论与逻辑推理相结合，是对数学

知识进行探索活动的自然延续，实现了从感性认识到理性认识的升华。

【注意事项】

在折纸过程中，教师要与学生探讨折纸的方法，明确折叠过程中的对应点及

相应的对称轴，对称轴是菱形对角线所在的直线，而不是菱形的对角线，以便于

学生正确迅速找出菱形中的对称关系。掌握数学知识，离不开“实践f认识f再

实践f认识”这个重要的数学学习方法，通过说理论证可以使学生充分理解菱形

的本质，对这样的过程学生也可以很好的掌握，在这个过程中，教师要充分关注

学生使用几何语言的规范性和严谨性。

第四环节性质应用与巩固

【教学内容】

教师：通过刚才的严格论证，我们已经认识

了菱形的特殊性质，下面我们利用这些性质来解

决一些问题。

教师活动：展示题目

1、例1如图1-2,在菱形ABCD中，对角线

AC与BD相交于点0,ZBAD=60°,BD=6,求菱形的边长AB和对角线AC的长。

图1-2

师生共析：①因为菱形的邻边相等，一个内角是60°,这样就可以得到等

边AABD,BD=6,菱形的边长也是6。

②菱形的对角线互相垂直，可以得到直角^AOB；菱形的对角线

互相平分，可以得到0B=3,根据勾股定理就可以求出0A的长

度；再一次根据菱形的对角线互相平分，即AC=20A,求出ACo

解：•••四边形ABCD是菱形

.•.AB=AD（菱形的四条边都相等）

11

22AC1BD（菱形的对角线互相垂直）

0B=0D=BD=X6=3（菱形的对角线互相平分）

在等腰三角形ABC中，

VZBAD=60°

.'.△ABD是等边三角形

.•.AB=BD=6

在Rt^AOB中，由勾股定理，得OA2+OB2=AB2

OA==超―-=域

dC=2CM=66

2、随堂练习

如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0.

已知AB=5cm,A0=4cm求BD的长.

师生共析：从图中可以知道AC与BD互相垂直，可以构成直角AA0B,因为

AB=5cm,A0=4cm,这样就可以运用勾股定理求出0B；又因为菱

形的对角线互相平分，BD为0B的两倍，这样就可以很方便的求

出BD的数值了。

解：•••四边形ABCD是菱形

/.AC±BD（菱形的对角线互相垂直）

在Rt△在B中,由勾股定理，A02+B02=AB2

BO=ylAB2-AO2=j5J-42=3•

•••四边形ABCD是菱形

.,.BD=2B0=2X3=6（菱形的对角线互相平分）

所以，BD的长是6cm.

【教学目的】

学生通过本环节的学习，进一步理解和掌握了菱形的性质，对前面所学知

识进行了更加深入的认识，同时提高了学生的逻辑推理能力，培养了学生的主动

探索能力，激发了学生学习的兴趣。

【注意事项】

在此活动中，教师应重点关注以下方面：（1）学生是否提出了不同的解题方

法，这种方法的优点和缺点分别是什么；（2）学生的几何语言是否准确、规范、

严谨；（3）给学生充分的独立思考时间和交流时间，让学生在合作交流的过程中

完成题目，理解所学的知识。

第五环节课堂小结

【教学内容】

本节课我们探讨了菱形的定义、性质，我们来共同总结一下:

1、菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形.

2、菱形的性质：①菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线；

②菱形的四条边都相等；③菱形的对角线互相垂直平分。

3、菱形具有平行四边形的所有，应用菱形的性质可以进行计算和推理。

第四环节：教师引导，独立证明

活动内容：组织学生以小组合作的方式独立完成“对角线垂直的平行四边形

是菱形”和

“四条边相等的四边形是菱形”两个判定定理的证明，并进行全班交流。

（一）对角线垂直的平行四边形是菱形

已知:如图1-3,在。ABCD中,对角线AC与BD交

,--------------c于点0,AC±BD.

求证：0ABCD是菱形

图1-3

证明：•••四边形ABCD是平行四边形

/.OA=OC

XVAC±BD

ABD是线段AC的垂直平分线

.\BA=BC

...四边形ABCD是菱形（菱形定义）

（二）四条边相等的四边形是菱形

已知：如图1-5,四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.

求证：四边形ABCD是菱形

证明：•.•AB=CD,AD=BC

...四边形ABCD是平行四边形

又；AB=BC

...四边形ABCD是菱形（菱形定义）

活动目的：菱形判定定理的证明首先可以让学生对菱形的性质和判定的关系

有一定的认识，再对比性质定理的证明进行，同时，通过教师引导和独立思考,

培养学生遇到题目时冷静思考，找到解题思路的良好习惯。在分析思路时，逐步

锻炼学生的推理论证能力，最后通过互查的形式让每个学生都能严格的证明，培

养严谨的作风。通过小组合作，在合作中让学生相互帮助共同进步。

第一环节：知识回顾

图

1内容：同学们通过前两节课的学习我们已经知道

了菱形的性质及判定，你能完成下面几个题目吗？

1.如图1所示：在菱形ABCD中，AB=6,请回答下列问题:

（1）其余三条边AD、DC,BC的长度分别是多少？

⑵对角线AC与BD有什么位置关系？

(3)若NADC=120°，求AC的长。

A

如图2所示：在口ABCD中添加一个条件使其成为菱形:

添加方式1：.

添加方式2：.

目的：通过一些简单题目的设计，帮助学生回顾菱形的相关性质及判定方法,

学生从题目入手，不会显得那么古板枯燥，不仅能回顾相关知识而且能激发学生

学习兴趣。

效果：学生通过题目很好地回顾了相关知识，为后续的学习打下了基础。

第二环节：知识应用

1.典型例题:

因,例3如图3,四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角

线BD长为10cm.求：（1）对角线AC的长度；

⑵菱形ABCD的面积.

解：（1）..•四边形ABCD是菱形,

；.AC_LBD,即NAED=90°，

DE=2BDX10=5(cm)

...在RtaADE中，由勾股定理可得：

AE7心一口史=7132-52=12(cm).

，AC=2AE=2X12=24(cm).

(2)S菱形SAM；D+S△CBD

1

=2XSAADD=2X2XBDXAE

=BDXAE=10X12=120(cm2).

目的：通过例3让学生对菱形的相关性质进行灵活应用，同时学生对于具体

的问题通过自主思考、小组交流、学生展讲、教师点拨后基本能形成比较好的解

题思路。

效果：学生对于第一个问题的解决比较容易，但是学生的书写过程不规范；

对于第二个问题，学生很容易求一边上的高，经过讨论交流点拨后学生能接受这

种方法。在实际过程中教师应追问学生菱形的面积和对角线有什么关系，引起学

生的思考，进而突破这一教学难点。

2.变式训练：如上图3,四边形ABCD是菱形，其中对角线BD长为12cm,AC

长为16cm.求：

(1)菱形的边长；

(2)求菱形一条边上的高。

目的：变式训练的设计，是想让学生更加深入地掌握菱形的相关性质，同时

对于第二问，学生必须灵活运用菱形的面积等于对角线乘积的一半，这一结论求

出面积进而求出一边上的高。

效果：学生对于第一个问题解决比较顺畅，书写较例3规范多了，但对于第

二问仍然有疑问，教学时注意引导。

3.方法启迪：

同学们在我们刚才完成的例题及变式训练中你有什么方法感悟或者经验？

目的：学生完成典型例题后及时总结经验是帮助学生形成解题思路的好办法,

教师借助这一环节既帮助学生梳理了思路，同时对于学习还有困难的学生是一个

好的学习机会。

效果：学生对解决菱形性质类题目有了自己的思路，同时在例题和变式训练

中有问题的同学通过思路的梳理与解析，也基本能掌握解题的方法。

4.知者加速与补读帮困：

知者加速1：已知菱形的周长为40cm,一条对角线长为16cm,则这个菱形的

面积是cm2.

目的：对于数学学科的学习，大多数数学老师我想都有这样的感受，无论是

新授课还是复习课，学生掌握知识的差异太大了，为了不让掌握较快的同学（我

们称为“知者”）在陪读中浪费大量的时间，自然分材教学主张这部分同学能够

先行一步，课堂上能尽可能多的掌握知识（我们称为“加速

正是因为数学每一节课的知识点都比较集中，数学课堂上对于学困生的帮助

才比较容易操作。教师在面向全体学生实施教学后，对掌握较慢接受能力较差的

同学（我们称为“补读生”）应及时帮困。

效果：知者加速的操作主要是从熟练掌握知识点和拓宽学生知识面两个方面

来进行的。“知者”学完新授知识以后，最主要的任务还是熟练掌握知识点，此

时教师应可以通过典型例题的反复练习提高学生对于知识点熟练程度为后面的

灵活运用打好基础。当“知者”已经掌握知识点以后，教师就应该及时通过变式

训练或增加难度,拓宽学生的知识面，提高学习兴趣。

通过补读帮困让学习有困难的这部分同学能够在数学课上尽可能地掌握知

识，以树立学习数学的信心。

第三环节：拓展提高

1.如图4,两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重

叠部分ABCD是菱形吗？为什么？

2.如图5,你能用一张锐角三角形纸片

ABC折出一个菱形，使NA成为菱形一个内角吗？

目的：很多学生在玩耍的时候经常玩纸条，学生非常熟悉这一背景，但是他

们很少发现其中的数学知识，这样也能引起学生的兴趣，同时通过这一题目对于

菱形的相关判定方法也进行了巩固。

效果：学生学习的兴致非常高，讨论积极，通过学生讨论、教师点拨后对

问题基本理解。

第四环节：效果检测

1.如图6所示，菱形ABCD的周长为40cm,它的一条对角线BD长10cm,则

ZABC=°，AC=cm.

图6

2.如图7,四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点0,

AC=4cm,BD=8cm,则这个菱形的面积是cm".

图8图7

3.已知,如图8,在四边形ABCD中，AD=BC,点E、F、G、H分别是AB、CD、

AC、BD的中点，四边形EGFH是（）

A.矩形B.菱形C.等腰梯形D.正方形

已知：如图9,在菱形ABCD中，E、F分

别是AB和BC上的点，且BE=BF,

求证：(l)AADE^CDF；(2)ZDEF=ZDFE.

知者加速2：已知：如图10,在Rt^ABC=90°,ZBAC=60°,BC的垂直平

分线分别交BC和AB于点D、E,点F在DE延长线上，且AF=CE,求证：四边形

ACEF是菱形.

第五环节：课堂小结

内容：通过本节课的学习你有哪些收获，你还存在什么疑问？请从以下三个

方面进行总结：知识收获、方法收获、关注问题。总结完成后请小组内进行交流。

最后教师应对本节课方法上，解题思路上进行升华点拨。

目的：学生能从以上三个方面对本节课进行总结、反思，能起到巩固所学知

识，归纳学习方法，提高学生的归纳概括能力的作用。

效果：学生从以上三个方面进行了系统的总结与反思，同时通过小组交流畅

所欲言，既回顾了知识又帮助了同学。

第六环节：因人作业

必做题：课本p27知识技能第3题，第4题，第8题;

选做题:如图11,在四边形ABCD中，AD〃BC,E

为BC的中点，BC=2AD,EA=ED=2,AC与ED相交于点F.当AB与AC具有什么

位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积.

矩形的性质定理1：矩形的四个角都是直角.

矩形的性质定理2：矩形的对角线相等.

归纳概括矩形的性质：

从边来说，矩形的对边平行且相等；

从角来说，矩形的四个角都是直角；

从对角线来说，矩形的对角线相等且互相平分；

从对称性来说，矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形。

问题3：矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）

A.对角相等B.对边相等C.对角线相等D.对角线互相平分

活动目的：在前面学习了菱形的基础上学生已经知道怎么研究图形的对称性，在

知道方法的条件下，学生完全可以通过自己的操作、观察、猜想，最终得到矩形

的对称特征，这对学生来说是富有意义的活动，学生对此也很感兴趣。

活动的注意事项：在学习了矩形的性质后，一定要引导学生归纳总结，把新

学到的知识和自己的已有知识经验穿成串，从而让自己的认识升华，形成自己的

知识系统。

第五环节：建构新知，发展问题

活动内容：（1）提出问题：由矩形的四个角都是直角可得几个直角三角形？在直

角三角形ABC中，你能找到它的一条特殊线段吗？你

能发现它有什么特殊的性质吗？你能借助于矩形加

以证明吗？

（2）教师板书推论及推理语言:

定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.

(3)练一练

已知4ABC是RtA,ZABC=90°,BD是斜边AC上的中

线.

⑴若BD=3cm,贝［JAC=____cm;

⑵若NC=30°,AB=5cm,贝UAC=cm,BD=cm.

活动目的：先从矩形的对角线相关性质推出直角三角形的性质，达到“学数学,

用数学”的目的。再通过习题，让学生掌握“在直角三角形中斜边上的中线等

于斜边的一半”这一性质，达到学以致用的目的，培养了学生的应用意识。

活动的注意事项：“在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”，是直角

三角形中的一个重要性质。在活动过程，一定要让学生理解该定理的应用需满足

两个条件：（1）直角三角形（2）斜边的中点。

第六环节：合作交流，解决问题

活动内容：例1：如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点0,ZA0D=120°,

AB=2.5cm,求矩形对角线的长。

证明：•••四边形ABCD是矩形,

...AC=BD(矩形的对角线相等)

0A=0C=2AC,0B=0D=2BD,

.\0A=0Do

VZA0D=120o,

1

AZ0DA=Z0AD=2(180°-120°)=30°。

又•••NDAB=90°(矩形的四个角都是直角)

/.BD=2AB=2X2.5=5.

活动内容：1.本节课你学到了什么？

(1)矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

(2)矩形的性质

(3)直角三角形的性质

(4)矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形；矩形的两条对角线

把矩形分成两对全等的等腰三角形。因此，有关矩形的问题往往可化为直角三角

或等腰三角形的问题来解决。

2.自我检测。

(1)下列说法错误的是().

A.矩形的对角线互相平分B.矩形的对角线相等。

C.有一个角是直角的四边形是矩形D.有一个角是直角的平行四边形叫

做矩形

(2)已知矩形的一条对角线长为10cm,两条对角线的一个交角为120°,则矩

形的边长分别为o

1.已知：如图，M为平行四边形ABCD边AD的中点，且MB=MC.

求证：四边形ABCD是矩形.

2.已知：如图，菱形力中，对角线然和劭相较于点0,CM//BD,DM//AC.

求证：四边形0。"是矩形.

活动目的：通过2道练习题进一步巩固矩形的判定定理，提高学生的逻辑推理能

力。

活动注意事项：通过学生的板书，查看存在问题，查漏补缺。鼓励学生一题多解，

注重发散思维培养。

第一环节复习导入

1.如图1,矩形ABCD的两条对角线相交于点0,已知NA0D=120°,AB=2.5cm,

贝0ZDA0=_____,AC=_______cm,Sy»=_______o

2.如图2,四边形ABCD是平行四边形，添加一个条件,可使它

成为矩形。

目的：

1、通过两道题目复习矩形的性质和判定，复习旧知识为本节课的进行热身。

2、学生回答解题时使用的方法，进一步为本节课的开展做铺垫。

第二环讲授新课

D例3如图1T4,在矩形ABCD中,

AD=6,对角线AC与BD交于点0,AE±

BD,垂足为E,ED=3BE.求AE的长.

解；四边形ABCD是矩形，

CI

.\A0=B0=D0=2BD（矩形的对角线相

等且互相平分）.

ZBAD=90°（矩形的四个都是直角）.

VED=3BE,

.\BE=0E.

又；AE_LBD,

.*.AB=A0.

.*.AB=A0=B0.

即AABO是等边三角形.

ZAB0=60°.

AZADB=90°-ZAB0=30°.

在RtAAED中，

VZADB=30°,

11

/.AE=2AD=2X6=3.

方法和目的：这里的证明首先可以让学生对矩形的性质和判定有更深刻的认

知，同时，通过教师引导和独立思考，培养遇到题目时冷静思考，找到解题思路

的良好习惯。在分析思路时，逐步锻炼学生的推理论证能力，最后通过互查的形

式让每个学生都能严格的证明，培养严谨的作风。通过小组合作，在合作中让学

生相互帮助共同进步。

例4如图1T5,在aABC中，AB=AC,AD为NBAC的平分线，AN为aABC

在AABC中，

VAB=AC,AD为NBAC的平分线，

/.AD±BC.

.,.ZADC=90°.

XVCE1AN,

/.ZCEA=90°.

四边形ADCE为矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）.

注意事项：本题在解决上一题的基础上，运用已有知识解决问题，进一步

发展学生的推理能力，通过证明，让学生体会转化的数学思想。在例题4的证明

中，通过让学生找寻不同的解题方法，培养学生的分析能力，深刻体会数学思想

的多样性和灵活性。在一题多解的过程中，贯彻分层教学的理念，让学生在思维

最活跃的时候，最大化地提高学生能力。

第三环节巩固提高

在例题4中，若连接DE,交AC于点F(如图1-16)

(1)试判断四边形ABDE的形状，并证明你的结

论.

(2)线段DF与AB有怎样的关系？请证明你的结

论.

注意事项：本题的综合性比较强，对于不同层次的学生，本题的考虑方法也会

有区别，教师都应该鼓励学生大胆尝试，用自己的方法去试着解决。

练习：已知：如图，四边形ABCD是由

两个全等的等边三角形ABD和CBD组成,

M、N分别是BC和AD的中点.

求证：四边形BMDN是矩形.

(二)如图，四边形ABCD中，对角线相交于点0,E、F、G、H分别

是AD,BD,BC,AC的中点。

(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；

(2)当四边形ABCD满足一个什么条件时，四边

形EFGH是菱形？并证明你的结论。

BC

G

第五环节：练习提高

活动内容：

1：如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点0,图中有多少个等腰三

角形？

2：如图，在正方形ABCD中，点F为对角线AC上一点，连接BF,DF。你能找出

图中的全等三角形吗？选择其中一对进行证明。

本环节中教师可以鼓励操作快的学生帮助有困难的学生，请同学到讲台前讲

解自己的做法和判断依据，顺势引导学生总结出正方形的判定定理：

1.对角线相等的菱形是正方形。

2.对角线垂直的矩形是正方形。

3.有一个角是直角的菱形是正方形。

教师可以课件展示下面的框架图，复习巩固平行四边形、矩形、菱形、正方

形之间的关系。

第二环节：运用巩固

活动内容：

例2如图1-21.在矩形.4BCO中，BE平分/ABC,CE平分/。。夙

BF//CE,。尸〃BE.求证：四边形笈右。尸是正方形.

证明：BF//CE,CF//BE,

/.四边形BECF是平行四边形.

四边形.458是矩形.

//8c=90°.ZDCB=90°.

乂•/BE平分/ABC,CE平分/DCB,

图1-21

Z_EBC=ZABC=45°./ECB=*/DCB=时.

乙J

/EBC=/ECB.

/.EB=EC.

□BECF是菱形（菱形的定义）.

在△£»（7中.

^EBC=45°,Z_ECB=45°,

/8EC=90°.

/.菱形跳CF是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）.

活动目的：

通过例2,复习巩固平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质与判定定理,

让学生尝试综合运用特殊四边形的性质和判定解决问题。

活动的注意事项：

此环节采用合作学习的策略，鼓励学生多层面、多角度地思考正方形判定的

运用，目的在于加深学生对判定本身的理解和掌握，同时也丰富了交流的内容，

激发了交流的气氛，使新旧知识融会贯通，达到同学间的沟通、互补、共同提高

的目的，教师应对学生的合理讲解给予肯定和鼓励。而且整个过程也使学生重新

回顾了证明的步骤，为进一步发展学生的演绎推理能力奠定了基础。

第三环节：猜想结论，分组验证

活动内容1:

图1-8-1图1-8-2图1-8-3

问题：1.如图，在AABC中，EF为AABC的中位线，

①若NBEF=30,则NA=.

②若EF=8cm,则AC=.

2.在AC的下方找一点D,做CD和AD的中点G、H,问EF和GH有怎样的关系？EH

和FG呢?

3.四边形EFGH的形状有什么特征？

生的自主性，也激发了学生学习数学的兴趣。

得出结论：

平行四边形的中点四边形是平行四边形；

矩形的中点四边形是菱形；

菱形的中点四边形是矩形；

正方形的中点四边形是正方形；

等腰梯形的中点四边形是菱形；

直角梯形的中点四边形是平行四边形；

梯形的中点四边形是平行四边形。

活动内容4：

问题：1.矩形和等腰梯形是形状不同的四边形，为什么中点四边形都由平行四边

形变化为菱形？

2.平行四边形变化为菱形需要增加什么条件？

3.你是从什么角度考虑的？

4.你从哪儿得到的启发？

5.你能用你的发现解释其它的图形变化吗？例如：原四边形为菱形，其中

点四边形为矩形？

概括出规律：

决定中点四边形EFGH的形状的主要因素是原四边形ABCD的对角线的长度和

位置关系。

(1)若对角线相等，则中点四边形EFGH为菱形；

(2)若对角线互相垂直，则中点四边形EFGH为矩形；

(3)若对角线既相等，又垂直，则中点四边形EFGH为正方形；

(4)若对角线既不相等，又不垂直，则中点四边形EFGH为平行四边形。

图1-8-11图1-8-12图1-8-13图1-8-14

这里让学生通过归纳，学会把知识整理成一个系统，也就是我们常要求的：

教学过程贵在让学生掌握学习的方法，让学生真正地“会学”，既学法指导。这

里正是渗透了这种思想。老师再次利用几何画板进行演示，让学生们观察中点四

边形的边和角的变化情况，体会图形运动变化的过程，验证同学们归纳的结论的

正确性，给予学生们直观的感受。

第四环节：学以致用

活动内容：（图形发散练习）

利用几何画板，拖动A点使四边形ABCD的图形变化进行研究。

图1-8-15图1-8-16图1-8-17图

1-8-18

活动目的：

用动画的形式让同学们观察四边形的不断变化过程中，中点四边形的变化情

况，体会变化中存在的不变的几何关系：图中几何图形的位置关系处在相互依存

的状态之中，静态图形只是动态图形在变化过程中的某一瞬间，意在培养学生的

发散思维能力，提高学生研究数学的兴趣和创新意识。

在题目的设置上，采用逐步递进的策略,其中图『8-15是ABCD为凸四边形，

图1-8T6是AB、AD在同一线段上，图1-8T7是ABCD为凹四边形，图L8T8

是ABCD为扭曲四边形。

活动内容：

小如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的

垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m.那么梯子的底端滑动多少

木•

活动目的：

通过前两个环节的学习，直接让学生设未知数，列出适合条件的方程。

活动的实际效果：

先让学生理解题意，然后让一生结合图示分析题意，这样等量关系就会浮出

水面。由于有了前两个环节作铺垫，学生自然地设梯子底端滑动Xm,从而列出方

程，问题解决得很顺畅。

第五环节：学以致用

活动内容：

1、把方程（3x+2"=4（x—3”化成一元二次方程的一般形式，并写出它的

二次项系数、一次项系数和常数项.

2.从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框

宽4尺，竖着比门框高2尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个

醉汉一试，不多不少刚好进去了.你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方

程.

第二章一元二次方程

1.认识一元二次方程（一）

一、学生知识状况分析

学生的知识技能基础：学生在七年级已学过一元一次方程的概念，经历过由

具体问题抽象出一元一次方程的过程；学生在八年级已学过二元一次方程组的概

念，经历过由具体问题抽象出二元一次方程组的过程;学生已理解了“元”和“次”

的含义，具备了学习一元二次方程的基本技能。

学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了很多合作学

习的过程，具有了一定的合作学习的经验和数学思考，具备了一定的合作与交流

的能力。

二、教学任务分析

教科书基于学生对方程认识的基础之上，提出了本课的具体学习任务：1、

经历抽象一元二次方程概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系

的一个有效数学模型。2、会识别一元二次方程及各部分名称。从数学课堂的远

期目标来看，还应该培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力。

三、教学过程分析

本节课设计了七个教学环节：第一环节：自主探究问题一；第二环节：自主

探究问题二；第三环节：自主探究问题三；第四环节：总结归纳；第五环节：学

以致用；第六环节：反思；第七环节：布置作业。

第一环节：自主探究问题一

活动内容：

出示问题一：幼儿园活动教室矩形地面的长

为8米，宽为5米，现准备在地面的正中间铺设一

块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，根据这一情境,

结合已知量你想求哪些量？你能根据条件列出关于这个量的什么关系式？

活动目的：

提出了半开放性的问题：根据这一情境，结合这些已知量，你想求哪些量？

旨在培养学生的问题意识；要求学生根据条件列出关系式，旨在提高学生分析问

题的能力、提高学生抽象思维能力，同时也为后续归纳一元二次方程提供材料。

教学要求与效果：

।|教学中，为了帮助学生理解题意，可以首先提出问题：你能

找到图中的矩形地面、条形区域和地毯区域吗？并让一生指出对应的三部分；接

着要求学生从这一实物图中抽象出几何图形，自己画出所抽象出的几何图形，然

后教师呈现第二幅图。

教学中教师可以一次完成下列任务：

（1）罗列学生提的问题；

（2）引导学生分析所提问题满足的条件，提出解答的方式；

（3）引导学生列出相应的方程并整理。

从实际效果来看，学生提出的问题多样有：（1）花边的宽，（2）中央长方形

的长、宽等；学生列方程问题不大，所列方程也多样，依据的等量关系不同，得

到的方程也不同；但是，整理方程时显得困难，这与课前没有复习整式的运算有

直接的关系。

第二环节：自主探究问题二

活动内容：

在学生的疑问处提出问题：你能找到关于10二1F、I2?、132、14?这五个数

之间的等式吗？

得到等式10立1「+122=134142之后你的猜想是什么？

根据猜想继续找五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方

和。

在难以找到的情况下，归结为方程去解决。

活动目的：

上述问题直接给出方程没有说服力，所以先让学生猜想。学生得到的猜想

是：是否还存在五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。然

后让学生根据猜想继续找这样的五个连续整数，在难以找到的情况下，促使学生

想办法归结为方程去解决。

教学要求与效果：

找到等式102+112+122=132+14?之后的猜想不同。再找五个连续整数，使前三个

数的平方和等于后两个数的平方和，部分学生有困难，寻找的方式也有不同。有

的同学采取代入特殊值一个一个去试一试，有的同学直接归结为方程去解决。

首先，“我”巡视那些无从下手的学生，问：需要我的帮助吗？然后给予必

要的指导。

然后巡视那些已经解决问题的同学，给予适当的鼓励。关注学生在探索-发

现-归纳的过程中的主动参与程度与合作交流意识，及时给予鼓励、指导。

从实际效果来看，学生的学习积极性很高，课上到这儿达到一个小高潮。

第三环节：自主探究问题三

活动内容：

小如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的

垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m.那么梯子的底端滑动多少

木•

活动目的：

通过前两个环节的学习，直接让学生设未知数，列出适合条件的方程。

活动的实际效果：

先让学生理解题意，然后让一生结合图示分析题意，这样等量关系就会浮出

水面。由于有了前两个环节作铺垫，学生自然地设梯子底端滑动Xm,从而列出方

程，问题解决得很顺畅。

第四环节：总结归纳

活动内容：

归纳一元二次方程的概念：结合上面三个问题得到的三个方程，观察它们的

共同点，得到一元二次方程的概念及其各部分的名称。

活动目的：

关注学生对概念的理解，通过具体的例子来归纳一元二次方程的概念，加深

对概念的理解。

活动的实际效果：学生基本能识别一元二次方程及各个部分。

第五环节：学以致用

活动内容：

1、把方程(3x+2)2=4(x—3)2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的

二次项系数、一次项系数和常数项.

2.从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框

宽4尺，竖着比门框高2尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个

醉汉一试，不多不少刚好进去了.你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方

程.

第二章一元二次方程

2.用配方法求解一元二次方程(一)

一、学生知识状况分析

学生的知识技能基础：学生在初二上学期已经学习过开平方，知道一个

正数有两个平方根，会利用开方求一个正数的两个平方根，并且也学习了完

全平方公式。在本章前面几节课中，又学习了一元二次方程的概念，并经历

了用估算法求一元二次方程的根的过程，初步理解了一元二次方程解的意义;

学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经经历了用计算

器估算一元二次方程解的过程，解决了一些简单的现实问题，感受到解一元

二次方程的必要性和作用，基于学生的学习心理规律，在学习了估算法求解

一元二次方程的基础上，学生自然会产生用简单方法求其解的欲望；同时在

以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作

学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。

二、教学任务分析

教科书基于学生用估算的方法求解一元二次方程的基础之上，提出了本

课的具体学习任务：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。但这仅仅

是这堂课具体的教学目标，或者说是一个近期目标。而数学教学的远期目标，

应该与具体的课堂教学任务产生实质性联系。本课《用配方法求解一元二次

方程》内容从属于“方程与不等式”这一数学学习领域，因而务必服务于方

程教学的远期目标：“让学生经历由具体问题抽象出方程的过程，体会方程是

刻画现实世界中数量关系的一个有效模型，并在解一元二次方程的过程中体

会转化的数学思想”，同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目

标。为此，本节课的教学目标是：

1、会用开方法解形如（X*电，="缶之切的方程，理解配方法，会用配

方法解二次项系数为1的一元二次方程；

2、经历列方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世

界中数量关系的一个有效模型，增强学生的数学应用意识和能力；

3、体会转化的数学思想方法；

4、能根据具体问题中的实际意义检验结果的合理性。

三、教学过程分析

本节课设计了五个教学环节：第一环节：复习回顾；第二环节：自主探

究；第三环节：讲授新课；第四环节：练习提高；第五环节：课堂小结；第

六环节：布置作业。

第一环节：复习回顾

活动内容：1、如果一个数的平方等于4,则这个数是,若一个数

的平方等于7,则这个数是。一个正数有几个平方根，它们具有

怎样的关系？

2、用字母表示因式分解的完全平方公式。

活动目的：通过前两个问题，引导学生复习开平方和完全平方公式，为学生

后面配方法的学习作好铺垫。

实际效果：第1和第2问选两三个学生口答，由于问题较简单，学生很快回

答出来。

第二环节：自主探究

（1）你能解哪些一元二次方程？

（2）你会解下列一元二次方程吗？你是怎么做的？

22222

X=5.，2X+3=5.，/+2X+1=5.，（X+0+7=10。

（3）上节课，我们研究梯子底端滑动的距离口同满足方程，+12x-15=0,

你能仿照上面几个方程的解题过程，求出无的精确解吗？你认为用这种方法

解这个方程的困难在哪里？（合作交流）

活动目的：利用实际问题，让学生初步体会开方法在解一元二次方程中的应

用，为后面学习配方法作好铺垫；培养学生善于观察分析、乐于探索研究的

学习品质及与他人合作交流的意识。

实际效果：在复习了开方的基础上，学生很快口答出了第1问，为解决第二

问做好了准备。第2问让学生合作解决，学生在交流如何求原来正方形的边

长时，产生了不同的方法，有的学生直接开方先求出了新正方形的边，再减

增加的边长，求出原来的正方形的边长；有的同学用了方程，设原正方形的

边长为旬，根据题意列出了一元二次方程（日货=的任+3）2=48然后两

边开方，根据实际情况求出了原来正方形的边长，这样，再一次经历了用一

元二次方程解决实际问题的过程，并初步了解了开方法在一元二次方程中的

简单应用。在第2问的基础上，学生很快解决了第3问。但学生在解决第4

问时遇到了困难，他们发现等号的左端不是完全平方式，不能直接化成

（x+m）2=nS'。）的形式，因此大部分同学认为这个方程不能用开方法解,

那么如何解决这样的方程问题呢？这就是我们本节课要来研究的问题（自然

引出课题），为后面探索配方法埋好了伏笔。

第三环节：讲授新课

活动内容1：做一做：（填空配成完全平方式，体会如何配方）

填上适当的数，使下列等式成立。（选4个学生口答）

X2+12x+=（x+6）2X2-6X+=（x-3）2

x2+8r+=（x+__Vx2-4x+=（x-__）2

问题：上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关系？对于形如

/+皿的式子如何配成完全平方式？（小组合作交流）

活动目的：配方法的关键是正确配方，而要正确配方就必须熟悉完全平方式

的特征，在此通过几个填空题，使学生能够用语言叙述并充分理解左边填的

是“一次项系数一半的平方”，右边填的是“一次项系数的一半”，进一步复

习巩固完全平方式中常数项与一次项系数的关系，为后面学习掌握配方法解

一元二次方程做好充分的准备。

实际效果：由于在复习回顾时已经复习过完全平方式，所以大部分学生很快

解决四个小填空题。通过小组的合作交流，学生发现要把形如Y,皿的式子

(乌产

如何配成完全平方式，只要加上一次项系数一半的平方即加上2即可。而

且讲解中小组之间互相补充、互相竞争，气氛热烈，使如何配成完全平方式的

方法更加透彻。事实上，通过对配方的感知的过程，学生都能用自己的语言

归纳总结出配成完全平方式的方法，这就为下一环节“用配方法解一元二次

方程”打好基础。由此也反映出学生善于观察分析的良好品质，而这种品质是

在学生自觉行为中得到培养的，体现了学生良好的情感、态度、价值观。

活动内容2：解决例题

(1)解方程：X2+8X-9=0.(师生共同解决)

解:可以把常数项移到方程的右边，得

x2+8x=9

两边都加上(一次项系数8的一半的平方)，得

X2+8X+42=9+42.

(x+4)J25

开平方，得x+4=±5,

即x+4=5,或x+4=-5.

所以xl=l,x2=-9.

(2)解决梯子底部滑动问题：/+12x75=0(仿照例1,学生独立解决)

解：移项得X2+12X=15,

两边同时加上6?得，x2+12x+62=15+36,BP(x+6)2=51

两边开平方，得x+6=±［百

所以：。=屈-6,巧=一屈-6,但因为“表示梯子底部滑动的距离所以

巧=一屈一6不合题意舍去。

答：梯子底部滑动了Q元一与米。

活动内容3：及时小结、整理思路

用这种方法解一元二次方程的思路是什么？其关键又是什么？(小组合作交

流)

活动目的：通过对例1和例2的讲解，规范配方法解一元二次方程的过程，

让学生充分理解掌握用配方法解一元二次方程的基本思路及关键是将方程转

化成(工+同2=域11*0)形式，同时通过例2提醒学生注意：有的方程虽然有

两个不同的解，但在处理实际问题时要根据实际意义检验结果的合理性，对

结果进行取舍。由于此问题在情境引入时出现过，因此也达到前后呼应的目

的。最后由问题“用这种方法解一元二次方程的思路是什么？”引出配方法

的定义。

实际效果：学生经过前一环节对配方法的特点有了初步的认识，通过两个例

题的处理，进一步完善对配方法基本思路的把握，是对配方法的学习由探求

迈向实际应用的第一步。最后利用两个问题，通过小组的合作交流得出配方

法的基本思路和解决问题的关键，结论的得出来源于学生在实例分析中的亲

身感受，体现学生学习的主动性。

讨论，学生发现这三种方法都正确，并且指出第一种方法可以利用平移水渠，

把分割成的四部分拼在一起，构成了一个较大的矩形(如下图)，然后再利用

矩形的面积公式列出方程，此种方法在解决此类问题时最简单。这样通过学

生之间的争论、辩论提高了课堂效率，激发了学生学习数学的热情，达到了

资源共享。

第四环节：练习与提高

活动内容：解下列方程

®x2-10x+25=^(2)x2-14x=^(3)x2+3r=t(4)x2+2x+2=&c

实际效果：教学中为了便于学生回顾，可以通过举例的形式，帮助学生回顾

并整理步骤，例如，x2-6x-40=0

移项，得x2-6x=40

方程两边都加上32(一次项系数一半的平方)，得

x2-6x+32=40+32

即(x-3)2=49

开平方，得x-3=±7

即x-3=7或x-3=-7

所以XI=10,X2=-4

学生一般都能整理出配方法解方程的基本步骤：

通过对这个方程基本步骤地熟悉学生们顺畅的理清思路，掌握了每一步

的理论依据，增强了解题的信心，达到预期的目的。

配方法的两节课连贯性强，作为一种新的方法，学生在新授期间应多接触，

熟练掌握基本的步骤，掌握每一步的原理，这样会增强学生对这个知识点的

驾驭能力。一般的一元二次方程配方解法的步骤(移项，配方，开平方，求

解)及注意事项。移项的目的是将二次项和一次项调整到等号的左边，常数

项调整到右边；配方是将方程的两边添加一个常数项(一次项系数一半的平

方)原理是根据公式a?+2ab+b2=(a+b)?进行的;开平方的原理是平

方根的定义，需要注意一个正数有两个平方根，它们是互为相反数；求解的

过程是解两个一元一次方程，要注意符号的变化。

第二环节：情境引入

活动内容：1.将下列各式填上适当的项，配成完全平方式口头回答.

1.X2+2X+=(x+)2

2.x2-4x+=(x_)2

3.x"++36=(x+)2

4.x2+10x+=(x+)2

5.x2-x+=(x-)2

2.请同学们比较下列两个一元二次方程的联系与区别

1.x2+6x+8=0

2.3X2+18X+24=0

探讨方程2的应如何去解呢？

活动目的：通过对第一部分的五个口答练习题的训练，熟悉完全平方式的三

项与平方形式的联系，第二部分的两个习题之间的区别是方程2的二次项系

数为3,不符合上节课解题的基本形式,联系是当方程两边同时除以3以后，

这两个方程式同解方程。