深圳明德实验学校2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析)

2023-2024学年广东省深圳市明德实验学校（集团）八年级（下）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(

)A.(笛卡尔爱心曲线) B.(蝴蝶曲线)

C.(费马螺线曲线) D.(科赫曲线)2.下列各式从左到右的变形，是因式分解的是(

)A.x2-9+6x=(x+3)(x-3)+6x B.(x+5)(x-2)=x2+3x-10

3.下列叙述正确的是(

)A.若a>b，则ac2>bc2 B.若-x3<0，则x>-3

C.若a>b4.如图，已知A，B的坐标分别为(1,2)，(3,0)，将△OAB沿x轴正方向平移，使B平移到点E，得到△DCE，若OE=4，则点C的坐标为(

)A.(2,2)

B.(3,2)

C.(1,3)

D.(1,4)5.小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线.”他这样做的依据是(

)A.在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上

B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等

C.三角形的三条高交于一点

D.三角形三边的垂直平分线交于一点6.已知点P(2a+1,1-a)在第二象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是(

)A. B. C. D.7.下列命题中，是真命题的是(

)A.一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行

B.三角形的三条角平分线的交点到三角形三边距离相等

C.三角形的高线将三角形分成面积相等的两部分

D.点P到线段AB两个端点的距离相等，则过点P的直线是线段AB的垂直平分线8.在△ACB中，∠ACB=90°，尺规作图的痕迹如图所示.若AC=2，AB=5，则线段CD的长为(

)A.43

B.65

C.219.若关于x的不等式组3x-2<1m-x<1恰有两个整数解，则m的取值范围是(

)A.-1<m≤0 B.-1≤m<0 C.-1<m<0 D.-1<m≤110.如图，△ABC中，AC=DC=3，BD垂直∠BAC的角平分线于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为

(

)

A.

1.5 B.

3 C.

4.5 D.

9二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11.若分式3xx+5有意义，则x的取值范围是______．12.等腰三角形的两条边长分别为8cm和4cm，则它的周长是______cm．13.如图，函数y1=-2x与y2=ax+3的图象相交于点A(-1,2)，则关于x的不等式ax+3>-2x>0

14.如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是______．

15.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，点D在AB上，点E在BC上，连接AE、CD、DE，若AE=AC=CD，CE=63，则BD的长为______．

三、计算题：本大题共1小题，共6分。16.化简式子(a2-2aa2-4a+4+1)÷a2-1a2+a，并在-2四、解答题：本题共6小题，共49分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题8分)

计算：

(1)因式分解：4a2(a-b)-(a-b)；

(2)解分式方程：x18.(本小题5分)

解不等式组4x-2≤3(x+1)1-x-1219.(本小题10分)

如图在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-3,3)，B(-2,4)，C(-1,1)．

(1)将△ABC先向右平移2个单位再向下平移6个单位得到图形△A1B1C1，画出图形△A1B1C1，并直接写出A1的坐标______；

(2)画出△ABC绕点O按顺时针旋转90°后的图形△A20.(本小题8分)

某企业购买了一批A、B型国产芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该企业用3120元购买A型芯片的数量与用4200元购买B型芯片的数量相等．

(1)求该企业购买的A、B型芯片的单价各是多少元？

(2)若两种芯片共购买了200枚，且购买A型芯片的数量不超过B型芯片数量的13，不小于B型芯片数量的14，求如何购买，才能使购买总费用最低？最低费用是多少元？21.(本小题8分)

阅读下列材料：数学研究发现常用的因式分解的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“m2-mn+2m-2n”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为m2-mn+2m-2n=(m2-mn)+(2m-2n)=m(m-n)+2(m-n)=(m-n)(m+2).此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：

(1)因式分解：a3-3a2+6a-18；

(2)已知m+n=5，m-n=1，求m2-n222.(本小题10分)

在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，将直角边AC绕点A顺时针旋转得到AP，旋转角为a(0°<a<180°)，连接CP，PB．

(1)如图1，当a=45°时，求BP的长；

(2)如图2，若∠CPB=135°，且D为AB中点，连接PD，猜想CP和DP的数量关系，并说明理由；

(3)在旋转过程中，当CP=BP时，求旋转角α的度数．

答案1.【答案】D

【解析】解：A.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；

D.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．

故选：D．2.【答案】C

【解析】解：A、(x+3)(x-3)+6x不是几个整式的积的形式，故不是因式分解，故本选项错误；

B、x2+3x-10不是几个整式的积的形式，故不是因式分解，故本选项错误；

C、等式右边是几个整式的积的形式，故是因式分解，故本选项正确；

D、等式右边是分式的积的形式，故不是因式分解，故本选项错误．

故选：C．

3.【答案】【解析】解：A.若a>b，当c=0时，ac2=bc2，故本选项不符合题意；

B.若-x3<0，则x>0，故本选项不符合题意；

C.若a>b，则a-c>b-c，故本选项符合题意；

D.若a>b，则-3a<-3b，故本选项不符合题意．【解析】解：∵B(3,0)，

∴OB=3，

∵OE=4，

∴BE=OE-OB=1，

∴将△OAB沿x轴正方向平移1个单位得到△DCE，

∴点C是将A向右平移1个单位得到的，

∴点C是的坐标是(1+1,2)，即(2,2)．

故选：A．5.【答案】A

【解析】解：由题意可知，点P到射线OB的距离是直尺的宽度，点P到射线OA的距离也是直尺的宽度，

∴点P到射线OB，OA的距离相等，

∴点P在∠BOA的平分线上(在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上)．

故选：A．

6.【答案】A

【解析】解：根据题意，得：2a+1<0①1-a>0②，

解不等式①，得：a<-12，

解不等式②，得：a<1，

在数轴上表示为：，

∴该不等式组的解集为：a<-12

故选：A．

【解析】解：A、一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行或在一条直线上，故A是假命题，不符合题意；

B、三角形三个内角的平分线相交于一点，这个点到三角形三边的距离相等，故B是真命题，符合题意；

C、三角形的高线将三角形分成的两部分面积不一一定相等，故C是假命题，不符合题意；

D、点P到线段AB的两端点距离相等，过点P的直线不一定是线段AB的垂直平分线，故D是假命题，不符合题意；

故选：B．

8.【答案】D

【解析】解：由作法得：AD平分∠BAC，DE⊥AB，

∵∠ACB=90°，即CD⊥AC，

∴CD=DE，

在Rt△ADE和Rt△ADC中，

AD=ADDE=DC,

∴Rt△ADE△Rt△ADC(HL)，

∴AE=AC=2，

∴BE=AB-AC=3，

在Rt△ACB中，AC=2，AB=5，BC=AB2-AC2=21，

设CD=x，则DE=x,BD=21-x，

在Rt△BED中，BD2【解析】解：解不等式3x-2<1，得x<1，

解不等式m-x<1，得x>m-1，

∴原不等式组的解集为：m-1<x<1，

∵不等式组恰有两个整数解，

∴-2≤m-1<-1，

解得：-1≤m<0．

故选：B．

10.【答案】C

【解析】解：延长BD交AC延长线于点H.设AD交BE于点O．

∵AD⊥BH，

∴∠ADB=∠ADH=90°，

∴∠ABD+∠BAD=90°，∠H+∠HAD=90°，

∵∠BAD=∠HAD，

∴∠ABD=∠H，

∴AB=AH，

∵AD⊥BH，

∴BD=DH，

∵DC=CA，

∴∠CDA=∠CAD，

∵∠CAD+∠H=90°，∠CDA+∠CDH=90°，

∴∠CDH=∠H，

∴CD=CH=AC，

∵AE=EC，

∴AE=14AH，

∴S△ABE=14S△ABH，

∵CH=AC，BD=DH，

∴S△CDH=12S△ADH=14S△ABH，

∴S△ABE=S△CDH，

∵【解析】解：由题可知，

x+5≠0，

解得x≠-5．

故答案为：x≠-5．

12.【答案】20

【解析】解：∵等腰三角形的两边分别是4cm和8cm，

∴应分为两种情况：①8为底，4为腰，则4+4=8；不可以构成三角形；

②4为底，8为腰，则8+8+4=20(cm)；

∴它的周长是20(cm)．

故答案为：20．

13.【答案】0>x>-1

【解析】解：∵函数y1=-2x与y2=ax+3的图象相交于点A(-1,2)，

∴关于x的不等式ax+3>-2x>0的解集是：0>x>-1．

故答案为：0>x>-1．

【解析】解：由等边△ABC的边长为8，△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，

得∠ACQ=∠B=60°为定角，

故当DQ⊥CQ时DQ取最小值=CD÷2×3=4÷2×3=23．【解析】解：如图所示，过D作DF⊥BC于F，过A作AG⊥BC于G，则∠AGC=∠CFD=90°，

又∵∠B=45°，

∴∠BDF=∠BAG=45°，DF=BF，

∵CA=CD，

∴∠CAD=∠CDA，

∴∠CAD-∠BAG=∠CDA-∠B，即∠CAG=∠DCF，

又∵CD=CA，

∴△CAG≌△DCF(AAS)，

∴CG=DF，

∵CA=EA，AG⊥CE，

∴CG=12CE=12×63=33，

∴DF=33=BF，

在Rt△BDF中，BD=(33)=(a-b)(4a2-1)

=(a-b)(2a+1)(2a-1)；

(2)xx-2-2x2-4=1，

方程两边都乘以(x+2)(x-2)，得x(x+2)-2=x2-4，

解得18.【答案】解：解不等式4x-2≤3(x+1)，得x≤5，

解不等式1-x-12<x4，得x>2，

∴不等式组的解集为2<x≤5，

∴解不等式组4x-2≤3(x+1)1-x-1219.【答案】(-1,-3)

22π【解析】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．

点A1的坐标为(-1,-3)．

故答案为：(-1,-3)．

(2)如图，△A2B2C2即为所求．

由勾股定理得，AC=12+12=2，

∴在旋转过程中，点C运动到C3的运动轨迹长度为90π×2180=22π.

故答案为：22π；

(3)如图，连接B120.【答案】解：(1)设该企业购买的B型芯片的单价为x元，则A型芯片的单价为(x-9)元，

依题意得：3120x-9=4200x，

解得：x=35，

经检验，x=35是原方程的解，且符合题意．

∴x-9=26．

答：该企业购买的A型芯片的单价为26元，B型芯片的单价为35元．

(2)设购买a枚A型芯片，则购买(200-a)枚B型芯片，

依题意得：14(200-a)≤a≤13(200-a)，

解得：40≤a≤50，

设总费用为y元，

则y=26a+35(200-a)=-9a+7000，

∵-9<0，

∴y随x的增大而减小，

∴当a=50时，y的最小值=-9×50+7000=6550(元)，

此时200-a=200-50=150．

答：当购买A型芯片21.【答案】解：(1)a3-3a2+6a-18

=a2(a-3)+6(a-3)

=(a-3)(a2+6)．

(2)m2-n2+2m-2n

=(m+n)(m-n)+2(m-n)

=(m-n)(m+n+2)

将m+n=5，m-n=1，代入(m-n)(m+n+2)=1×(5+2)=7．

(3)△ABC是等腰三角形，理由如下：

∵22.【答案】解：(1)α=45°时，点P落在AB上，

在等腰直角△ABC中，AC=2，

∴AB=AC2+BC2=2AC，

∴BP=AB-AP=AB-AC=2-2．

(2)如图，延长PD到点F，使得PD=DF，连接AF，

∵AD=BD，∠ADF=∠BDP，

∴△ADF≌△BDP(SAS)，

∴AF=BP，∠DAF=∠DBP，

∵AP=AC