高中数学习题1：空间点、直线、平面之间的位置关系

双基限时练（七）

1.经过同一直线上的3个点的平面（）

A.有且只有一个B.有且只有3个

C.有无数个D.不存在

答案C

2.用符号表示“点4在直线/上，/在平面a外”，正确的是（）

A.AG1,4aB.AG1,Ra

C.AQ1,4aD.AQ1,Ida

答案B

3.下列图形中，不一定是平面图形的是（）

A.三角形B.菱形

C.梯形D.四边相等的四边形

解析三角形有两条边相交，菱形和梯形都有两条边平行，所以它们一定是

平面图形，而四边相等的四边形不一定是平面图形.

答案D

4.平面an平面£=/,点力6a,BGa,gB,且651,又ABC1=R,

过B,C三点确定的平面记作则£07是（）

A.直线/CB.直线勿

C.直线CRD.以上都不对

答案C

5.给出下列命题：

（1）和直线a都相交的两条直线在同一个平面内；

（2）三条两两相交的直线在同一平面内；

（3）有三个不同公共点的两个平面重合；

（4）两两平行的三条直线确定三个平面.

其中正确命题的个数是（）

A.0B.1

C.2D.3

答案A

6.下列命题：

①三个点确定一个平面；②一条直线和一点确定一个平面；③两条相交直线

确定一个平面；④两条平行线确定一个平面；⑤若四点不共面，则必有三点不共

线.

其中正确命题是.

解析①不正确，当三点共线时不成立；②不正确，当点在直线上时，不成

立；③正确，两条相交直线，必有三个点不共线，由公理2知，正确；④正确，

理由同③；⑤正确，反证法：若有三点共线1,则/与第四个点确定一个平面

，四点共面，与已知相矛盾.

答案③④⑤

7.三条直线相交于一点，可确定的平面有个.

答案1或3

8.如图，直角梯形/应右中，AB〃CD,AB>CD,S是直角梯形4破。所在平面

外一点，画出平面S切和平面弘。的交线.

解很明显，点S是平面S切和平面弘。一个公共点，即点S在交线上.由

于/酸口，则分别延长〃1和8〃交于点£,如图所示.

'：E^AC,4ct平面以G

ER平面SAC.

同理，可证平面飒Z

...点6在平面S切和平面SIC的交线上，则连接跖，直线跖是平面S切和

平面外C的交线.

9.如图，aClb=A,aCc=B,aCd=F,bC\c=C,cPd=D,bCd=E,

求证：a,b,c,d共面.

证明,：A,B,C三点不共线，

：.A,B,C三点确定一个平面，设为a.

又BGa,aca.

ARb,CGb,.\Z?ca.

BSc,CWc,；.cua,a,b,c都在a内.

又DRc,EGb,:.DRa,E&a.

‘：D《d,EGd,:.dua,

/.a,b,c,d共面.

10.如图，ABHa=P,67?na=P,4、D与B、。分别在平面a的两侧，AC

na=Q,BDCa=R.

cB

求证：P,Q,/?三点共线.

证明'：ABna=p,CDCa=p,

:.ABCCD=P.

.•"6与5确定一个平面，设为f,

则A胆8,CgB.

又PGAB,ABCa=P,

:.PR£,PGa.

同理0e£,QRa,RGB,RGa,

：.P,Q,不三点在a与£的交线上，即RQ,不三点共线.

双基限时练（八）

1.若/A0B=/AOB1,且小〃0M,以与Q4的方向相同，则下列结论中

正确的是（）

A.仍〃aA且方向相同

B.OB〃OB

C.仍与0归不平行

D.如与。4不一定平行

解析可借见长方体找出反例.

答案D

2.在正方体ABCD-A^CA4b与直线劭异面且成60°角的面对角线有

（）

A.1条B.2条

C.3条D.4条

解析画图易知它们是胡，CB、,以共四条.

答案D

3.“a,8是异面直线”是指：

①aCl6=0,支auNb,、②au平面a,Zxz平面£,且aC6=0；③au平面

a,Z?c平面B,且aCl£=0；④au平面a,凶平面a；⑤不存在平面a,使

aua,且Zxza成立.

上述说法中（）

A.①④⑤正确B.①③④正确

C.②④正确D.①⑤正确

解析说法①等价于a与b既不相交，又不平行，所以a与b为异面直线.①

正确；说法⑤等价于a与6不同在任何一个平面内，即a,，异面，⑤正确.

答案D

4.一条直线和两条异面直线的一条平行，则它和另一条的位置关系是（）

A.平行或异面B.相交或异面

C.异面D.相交

答案B

5.在空间，下列命题中正确的个数为（）

①有两组对边相等的四边形是平行四边形；②四边相等的四边形是菱形；③

平行于同一条直线的两条直线平行；④有两边和它们夹角对应相等的两个三角形

全等.

A.1B.2

C.3D.4

解析①、②不正确，③、④正确.因此选B.

答案B

6.下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，

①向/与友?平行；②0V与膜是异面直线；③与9成60°角；④DM与BN

垂直.

以上四个命题中，正确命题的序号是（）

A.①②③B.②④

C.③④D.②③④

解析把展开图还原为正方体，便知③、④正确.

答案C

7.设a,b,c表示直线，给出以下四个论断：①打,力；②幻Lc；③。，。；

④a〃c.以其中任意两个为条件，另外的某一个为结论，写出你认为正确的一个

命题.

答案④①,②

8.如图所示，乱N分别是正方体力腼〃中的，5G的中点.

(1)则,胧与由所成角为.

(2)则助V与力〃所成的角为.

解析⑴由图易知硼勿以，•••△力绍构成正三角形.〃与切成60°

角，.•.川V与办成60°角.

(2)力〃与/〃成45°角，而肱¥勿〃，.•.椒'与/〃成45°角.

答案(1)60°(2)45°

9.已知a,6为不垂直的异面直线，。是一个平面，则a、6在。上的射影

有可能是：

①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其

外一点.

在上面结论中，正确结论的编号是(写出所有正确结论的编号).

解析由正投影的定义可知，正确的结论是①④.

答案①④

10.如图所示，在空间四边形4时中，AD=BC=2,E,尸分别是仍切的

BC

解取物的中点〃，连接掰FH,因为6是46的中点，豆AD=2,：.EH〃

AD,EH=\.

同理"〃a；FH=\,

...N夕昭是异面直线/，，6。所成的角，又因为EF=小,

刃是等腰直角三角形，炉是斜边，

：./EHF=9G：即/〃，3C所成的角是90°.

11.如图，直线a,6是异面直线，A,B,C为直线a上三点，D,E,6是直

线6上三点，A',B',C,D',E'分别为49,DB,BE,EC,b'的中点.

求证：（l）NZ'B'C=zrD'尸；

（2）点，，*,C,〃'，£'共面.

证明⑴4,B'是A9,如的中点

nA'B'//a'

同理D'IIa.

nA'B://CD'1

同理夕C//D'E'j=

N"B'C的两边和NCD'E'的两边平行且方向相同=N/'B'C=

ACD'E'

今平面。，£重合今/'、夕，C',〃'，炉共面.

12.已知异面直线a与力所成的角J=60°,尸为空间一点，则

（1）过尸点与a和8所成角为45°的直线有几条？

（2）过户点与a和，所成角为60°的直线有几条？

（3）过P点与a和6所成角为70°的直线有几条？

解（1）过P点在平面。外的左、右两侧存在两条直线与国，仇所成的角为

45°,则与a,8所成的角为45°的直线有2条.（2）过P点在平面。内120°的

角平分线存在一条直线与a”仇所成的角为60°；过0点在平面。外的左右两

侧存在两条直线与国，仇所成的角为60°,则与a,8所成的角为60°的直线有

3条.（3）过户点在平面。外左右两侧存在两条直线与仇所成的角为70°,

过尸点在平面a外前、后两侧存在两条直线与囱，仇所成的角为70°,则与a,

。所成的角为70°的直线有4条.

双基限时练（九）

1.a〃b,且a与平面a相交，那么直线8与平面a的位置关系是（）

A.必相交B.有可能平行

C.相交或平行D,相交或在平面内

答案A

2.若三个平面两两相交，则它们交线的条数是（）

A.1B.2

C.3D.1或3

答案D

3.若平面。〃平面£,a,。是直线，则（）

A.若a〃a,则a〃B

B.若aua,kB,则a〃b

C.若aua,Zxz£,则a,，是异面直线

D.。内有无穷多条直线与尸平行

答案D

4.已知直线a〃平面£,直线心£,则a与6的关系是（）

A.相交B.平行

C.异面D.平行或异面

答案D

5.过平面外一点，可作这个平面的平行线的条数是（）

A.1条B.2条

C.无数条D.很多但有限

答案C

6.直线a与平面a相交，直线8ua,则直线a与6的关系是.

答案相交或异面

7.有下面几个命题：

①如果一条线段的中点在一个平面内，那么它的两个端点也在这个平面内；②两

组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四

边形；④四边形有三条边在同一平面内，则第四条边也在这个平面内；⑤点A

在平面。外，点/和平面。内的任意一条直线都不共面.其中正确命题的序号是

.（把你认为正确命题的序号都填上）

解析①当线段与平面相交时，不成立；②两组对边相等的四边形可能是空间四

边形，这时不是平行四边形；③因为两条平行线确是一个平面，另两边一定在这

个平面内，所以正确；④正确；⑤因为直线和直线外一点确定一个平面，又点

肃叫所以点力和平面a内任一条直线都共面.

答案③④

8.已知下列说法：

①两平面aua,Zxz£,则8

②若两个平面aua,Zx=£,则a与6是异面直线；

③若两个平面aca,Zxz£,则a与，一定不相交；

④若两个平面。〃aaua,kB,则a与，平行或异面；

⑤若两个平面aC£=A，aua,则a与尸一定相交.

其中正确的序号是（将你认为正确的序号都填上）.

解析①错.a与8也可能异面二

②错.a与8也可能平行.

③对.：a。与£无公共点.又,：aua,k£,a与6无公共点.

④对.由已知及③知：a与。无公共点，那么或a与，异面.

⑤错.a与£也可能平行.

答案③④

9.简述结论，并画图说明.

直线a在平面。内，直线，与直线a相交，则直线，与平面。的位置关系如何？

解直线6与平面。的位置关系有两种：仁a,或8Aa=4

10.如图，在长方体/比》—4