高中数学椭圆知识点

高中数学椭圆知识点

1.定义：闷1+飓|=2a>2c=|瓦居I（其中P为椭圆上一点，足遥

隹占）

x2y2_

2.椭圆的标准方程：/+后=&>方>°）

3.椭圆的性质

/+%=®>">°）

（I）l—，M会

（2）X，轴为椭圆对称轴，原点为对称中心

（3）顶点（±。，0）（0,功）

（4）离心率"""’一2

4.直线与椭圆的位置关系

I:Ax+By+C=0

x2y1_

椭圆M：滔'+庐=

代入:B2

研究※式的判别式A

（1）A<0无交点

（2）A=0一个交点（相切）

（3）A>0两个不同的交点

弦长=7i寿人-町|（化为『的斜率，々町为※式的根）

2Ix=acosff

五Iy_1<

5.椭圆二庐一的参数方程（e为参数）

6.椭圆的第二定义

到F（c，0）的距离和到直线一下的距离之比为常数

22

c,Axy

£（a>c>。）的点的轨迹为茄+形=1。

22

土+二=1

7.焦半径P（X。，。）在椭圆名7一上，3,0）、7&0）为焦点

PF、=以+啊

《

PF2=a-

【典型例题】

［例1］求满足下面条件的椭圆的方程。

（1）求焦点为（3，。），（-3,0）,离心率”5的椭圆。

22

_x__|_'y_I

解：c=3a=9b=6^28172

（2）求中心在原点，两准线间距离为5,焦距为4的椭圆方

程。

24=5

解：cc=2；.a=乖b=\

22

—+y=12L+z=1

..5或5

（3）求中心在原点、焦点在x轴，椭圆上点M（8,12）到左焦点

距离为20的椭圆方程。

解：（8+»+122=202（8+4=162-8

（8-8）2+122=122

二2a=20+12=32a=16

22

二+匕=1

256192

(4)椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴，直线T=x+1与椭圆

交于M、N若且必［乎求椭圆方程。

解：设椭圆的2+"=1当h=X+l交肠(々J1)曾(町，乃)

mx+ny=1，<、2

<=mx2+甩(x+1)=1

§P.（阳+加）/+2nx+n-\=0

-2n

X］+叼=---

m+n

.A.X?=

•・Ifn+n

OMLON

...x/2+>必=0xrx2+（xl+1）（X2+1）=0①

WM=ji+i.卜1-引=②

,3ri

=>J2\21+匕=1

1322

n=—/人、n=——

由①②I2（舍）I23

22

_x__1_7__一1।

［例2］直线y=x+演与椭圆169~的交点的个数，并求最大

弦长。

（x2y2<

,169

解：1y=工+活25—+32演x+16（掰？-9）=0

A=64-9(25-w2)

(1)加=±5时只有一个交点

(2)第e(-oo,-5)U(5,+8)没有交点

(3)附e(-5,5时有两个交点A、B

\AB\=&々一叼)2+31-y24=V2-忒门+犯尸一4勺弓

=.（羽2_64（加-9）=尬£.9（25一局

V25，25a25尸（m=0）时

22

工+匕=1

［例3］已知椭圆164一M。」)在椭圆内求M为中点的椭圆

的弦AB的直线方程。

X]+4=2

，[必+为=2

解：设以々，为)，B(X2,y2)

2222

.红+巫=1红+红=1

..164164

限-引@+叼)+3「加优+川=0

相减164

x.-x2,、为一打_1

4A=一（乃一当）•.•勺x-入x2~43

・・力：4

x+4y-5=0

22

工+匕=1

［例4］P椭圆//一一点（不在X轴上）FlF2为焦点

N尸i尸玛=a,求S调药。

解：咫产母+2尸网•%=4。2

户呼+尸马2-2M.产玛-cosa=4c2

相减2咫尸乙(l+cosa)=4/

.PF.-PF=

•.21+cosa

S调理=]FF\?宣2,sma="-tan—

。匕=1

［例5］椭圆//-（a>8>0）的长轴的两端点为A、B。若椭

圆上存在一点P使乙4两=120。，求椭圆离心率e的取值范围。

解：在短轴顶点取得最大值

尸&,九）为椭圆上一点

-0%

tanZAPB="理二玄型-=_x°-+t7.=2砒

1+GB玄触i,只x；+y；■

只。啧）

21

2ay0bab1

—•一一"•''"*'一一”•—

-/y；W为

只研究第一象限为e（0㈤，随为变大，tan乙4所为负且变

大,乙4两变大

xy八

［例6］椭圆/+庐=1">">°）上任意一条不垂直对称轴的弦

A、B,D为AB中点，求证心Ko为定值。

设小演，乃）8（町，乃）3（近，为）

々+町=2x。乃一g=b至

必+为=2yo

...JM3=一/•为定值

22

二+匕一1

［例7］已知P为椭圆a?V（a>b>0）上异于顶点的任一

点，为%为短轴端点，B、P,8产交x轴于M、N,求证

|。闾.|刈为定值。

设尸（而，为）加>,0）N（n,0）8］（0,一切为（。，8）

—4*=---------

尸，M4三点共线y.-b

*=旦

尸，肠，马三点共线为+占

.止

A2［

［例8］过椭圆万+'的右焦点F作直线/交椭圆于A、B,O

为原点，求SMQB的最大值及相应/的方程。

S*

（1），_Lx轴"皿2I:x=l

(2)小工轴I：y=k(x-V

A=QT)

*「

/2+y一1n(l+2好)1/+2划一/=0

凡=g|。?|例-为|=g【J"i+>)2-4yLy2

-15一2

2寸(2/+产2.•./：x=l

_4-^_=I

［例9］已知椭圆4010内部一点A(4,-1)过A作弦

PQ,使A恰为PQ中点，M为椭圆上任一点，求S.的最大

值。

/解tr・r•

f22

土+匕=1

(40而一n阕=4应

中点弦公式:x-y-5=0［x-^-5=0

设M(-T4Ocosa,V10sinor)

d(MJ)=|A/40cosa-7i0sina-5|/V2=Y1^sin(a+^-5l

sin(a+蚣=-1"咏一^+万场

.=--472-(5+-A/2)=10(72+1)

・•**22

22

_x____1_/y1.______9_

［例10］椭圆行T-上有不同三点A(公，乃)B(4,5)C

(孙，乃)与焦点F(4,0)的距离成等差数列。

(1)求证：勺+町=8

（2）若AC的垂直平分线与x轴交于