高中数学试题：立几解几解答练习

高二数学期中复习

立体几何综合练习高二()班姓名

1.如图，在三棱柱ABC—A4G中，平面_L平面ABC,AB=BC=2,

ZACB=30,ZCtCB=60,BC,l^C,E为AC的中点,

(1)求证：A。1•平面GEB；

(2)求直线CG与平面ABC所成角的余弦值.

2.三棱锥产一ABC中，。是8C的中点，APAB为等边三角形,A4BC为等腰直角三角形,

/?

AB=AC=4,且二面角P—的余弦值为2士.

3

(I)求证：平面A8C_L平面PBC；

(II)若点E是线段AP上一动点，点E为线段A8的四等分点(靠近8点)，求直线EF

与平面PAO所成角的余弦值的最小值.

3.已知AA8C为等腰直角三角形，AB=AC=2五,民尸分别为4氏4。的中点，D为BC

的中点，。为AO的中点，将AAE/沿EF折起到/\A'E/的位置，使二面角4一七/一8

为。(0＜。＜乃).AA

(I)求证：平面A6C_L平面ACE

当。=时，求直线与平面厂所成角的正弦值.

(II)120°ODA'C■O

8

D'C

4.在如图所示几何体中，平面平面ABCO,四边形4BCD为等腰梯形，四边形。CEE

为菱形.己知A5//C0,NA8C=6O,CD=|A/?=1.

(1)线段AC上是否存在一点N,使得AE//平面ECW?证明你的结论；

(2)若线段FC在平面ABCD上的投影长度为求直线AC与平面ADF所成角的正弦值.

2

解析几何综合练习高二()班姓名

1.如图，已知抛物线V=x,点A(l,1),8(4,-2),抛物线上的点P(x,y)(y>l),直线的

与x轴相交于点Q,记△P4B,△QAB的面积分别是加，S2.

(1)若求点P的纵坐标;

(2)求E-5s2的最小值.

2.已知抛物线。：彳2=2刀(〃>()),且抛物线。在点处的切线斜率为;.直线/与

抛物线交于不同的两点A6,且直线AP垂直于直线

(1)求证：直线/过定点，并求出定点坐标；

(2)直线3P交y轴与点M,直线A尸交x轴与点N,求黑的最大值.

22BA

3.已知椭圆C:=+==l(a>〃>0)的焦距为2,且过点Q(~-,左).

ab~22

(1)求椭圆C的标准方程;

(H)若。为坐标原点，P为直线/:无=2上的一动点,

V2

若APQ4面积S为卫一，求直线/'的方程.

2

4.已知椭圆C:「+/=l(a>b>0)的离心率为母，且经过点(3,1).

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点P(6,0)的直线/交椭圆于川两点，。是x轴上的点，若AABQ是以至为斜边的

等腰直角三角形，求直线/的方程.

28.【解析】（1）因为AB=BC=2,E为AC中点，所以ACL6E（2分）

又因为平面AACG，平面A8C,而A&CGC面ABC=AC,

所以BE上面AACG……（5分）

所以BE_LAC,又因为BG_LAC

所以4C_L平面GEB；……（7分）

（2）因为平面AACC，平面ABC

所以直线CG与平面A8C所成角为NGC4……（9分）

因为N84C=30,AB=3C=2,E为AC中点

所以EC=%，EB=1

因为CG=2,N£C8=60所以BC=2,……（11分）

因为5EJ.面A4C£,所以BELEC,EC=6

在ACCE中，根据余弦定理可知，

/?

cosZCCA=——（15分）

3

另解：以点E为中心，EC为x轴，所为y轴，……（9分）

因为N84C=30,A8=8C=2,石为AC中点

所以EC=e,E8=l

因为CR=2,NGCB=60所以3C=2,……（11分）

因为BE_L面A4CG，所以BELEC,EC=g

____C巧2/7A

设点C（V3,0,0）,G（x,0,y）则|CG|=2,|G£|=1,所以G—,0,—

I33,

262指）

则cq-----，u,----,面ABC的法向量为“=（0,0,1）则

33

sina=cos<CC.,n>=—,所以cosa=^

（15分）

33

29.

19:（1）取A8中点G,,易得NPGD即为二面角P-AB-D的平面角

\PDf=\PGf+\GDf-2\PG\\GD\^-=2yl2,

PD1DG..........................................................................2分

又ABI平面PGD,AB1PD...........................................4分

P。，平面ABC,PDu平面PBC...................................5分

平面ABC1平面PBC......................................................6分

（2）过F作AD的垂线，垂足为H,过H作AP的垂线垂足为0

NFO”即为所求.............................12分

口口_3&376

rrl=-----.nU=------14分

24

：.cosZFOH=——.....15分

3

B

在AACE中,由中位线定理可得ON||AE........（4分）

）：0Nu平面FDN,AEtt平面FDN

：.AE||平面FDN

在线段AC上存在点M使得AEII平面FDM且N是AC的中点.（6分）

<2）

解法「

DEIICF

在平面ABCD上的投影长度为:

平面。AEL平面ABC。交于4。

作E。1AD.Rl£O_L平面48C。

则。。=；,且点0为线段AD的中点

以。为原点，0E方向为z轴,过。平行DC方向为

z相，过0以垂直y-0-z平面方向为x轴，x粕

在平面A8C。内.

可得4停,-±0）,C（_、,：,0）,;E（0,0,y）

二4C=（一曰,：,0）,04=0,一；,0）,.........（9分）

DF=DE+EF=DE+DC=（^-,-；,y）+（0,1,0）=（Y，;,y）.........（11分）

_叵X_1_Q

设平面ADF的法向量为记=（x,y,z）,则［箱上二°,得

^-DF=0净+白+也=0

解得一个法向量为五=（1,75,-2）........（13分）

若直线AC与平面40F所成角为。，JJiJsin8=|cos（n,j4C>|=.......（15分）

2v2Xv'34

*二,

VDEIICF

DE在平面A8CD上的投影长度为:

••,平面DAEJ_平面A8CD交于4。

作E。1AD.则E。_L平面4BCD

则。。=乙，且点。为线段AD的中点

2

-,.OD=i.......（7分）

设点C到平面FDM的距离为h

"Vc-FDA=Vp-ADC•

hS^FDA=|EO|Symc，........（8分）

SADC=印EO=Y

取A8的中点M.连接CM,取CM的中点N,连接AN,DM

•••EFIICD.且N为CM的中点

：.FN_L平面/IBC。

V7近

vAN=—,DN=FN=—

4F=乎DF=y

DF2+AD2=AC即△ADF为直角三角形

S.FDA=Y.............（12分）

・•.h=^^=4S=匹........（14分）

$4FDA4

4

设直线AC与平面FOM所成角为仇则sin8=^=9……（15分）

21.解：

（1）因为/"=匕1=?二1=’,

”x-1/-Iy+\

j+2y+2=1

”x-4/-4y-2t

由小_LBP,得/.....-=-1

y+1y-2

即y2_y_]=0,得y=!1^l

(2)设直线伸：y-l=Mx-l),贝由y>l知0"<L

2

联立■'1"""，消去X得62一y+]_%=(),则力=1~-

y2=xk

所以|AP|=Ji+Wx--i|=

k~

|44+2+l&|_3|)t+l|_3(4+1)

点3到直线"的距离4=

\lk2+1>Jk2+1\jk2+1

所以£-5邑=加布-||闻4=3

=;(%+犷,…_3『加+])

,k々2户)■喉H

3(-Ik2-6Jt+n

=万[PJ

故当k=g时，S「5s2有最小值-24.

方法2：设则砥p=5，所以直线A。：y-l=£(x-l),贝IJQ(T,O).

又直线至：x+y-2=0,AB=3y/2.

|r2+r-2|

则点P到直线AB的距离为4=

|-r-2|t+2

点。到直线AB的距离为W=

血-&

所以S|_5s2=g|AB|(4_54)=372<t2+t-2

故当f=2时，S|-5$2有最小值-24.

21.(15分)(Dy=U，y'=-^x.

当x=l时，=：,.'.p=2

p2r

.•.拗物线的方程为/=4y……」分)

2

设A(2jt[2),fi(2t2,t2)

'：AP1BP.

:♦l<BP'kAP=尚—f''~^=-1,解得£也+“h+3+斗=0(*).........(4分)

/1[-I-1i4

j7里旦_也包

乂AB=2

2

.•.直线A8方程为：y-t1=^(x-2t^2y=(tj+t2)x-2t,t2........(6分)

将(*)式代入A8方程得(Q+t2)(x+l)+y-2y=0

令x+1=0,y-2y=0解得直线AB过定点(-1,9)（8分）

（2）设直线8M方程为：y-：=k（x-l）,不妨设A>0

联立P'"7=-"，得/-4kr+4k-1=0,A=16/c2-16fc+4>0

Ix2=4y

利用韦达定理得益+孙=43,小=4k-1

由于AP1BP,同理可得4=-g-l.......（10分）

又,：涵=彳+1，T”=0

|叫|研=J1+表&I）•、，ET（%-知1）=¥（2+3（&-2）=

\MP\\NP\=J1+表（|孙-41）•、环I、-孙I）=三巴……（12分）

.上也=Q+kZ）（2kr*Tx±=42kT）（k+2）=16（-三+三+2）=-322）2+50V50

MP\NP\k21+k2k2\k2kJ\k4/一

•••黑普的最大值为56.......（15分）

,1

•椭圆C2停用，二/+1/=、..........................

2分

.................................................................4分

椭圆c的标准方程为三+必=i-..............................6分

（H）设.侬而，则切线方程为华+必=1，即丁=7-3维.........

8分

幺zo”0

与x轴交于加,印品,.-=洛六.q邛,

即上士._%.=立，.•「二飞一区.=土立,..............................

”分

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：V172

解得：x=],y=-一hN