高数考研模考试卷及答案

高数考研模考试卷及答案一、选择题（每题4分，共20分）1.极限的定义中，当x趋近于a时，f(x)趋近于A，那么以下哪个条件是正确的？A.对于任意的ε>0，存在一个δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-A|<εB.对于任意的ε>0，存在一个δ>0，使得当|x-a|<δ时，|f(x)-A|<εC.对于任意的ε>0，存在一个δ>0，使得当|x-a|>δ时，|f(x)-A|<εD.对于任意的ε>0，存在一个δ>0，使得当|x-a|=δ时，|f(x)-A|<ε答案：A2.以下哪个函数在x=0处不可导？A.f(x)=x^2B.f(x)=|x|C.f(x)=sin(x)D.f(x)=e^x答案：B3.以下哪个积分是发散的？A.∫(0,1)1/xdxB.∫(1,+∞)1/x^2dxC.∫(0,1)x^2dxD.∫(1,+∞)e^(-x)dx答案：A4.以下哪个级数是收敛的？A.1+1/2+1/3+1/4+...B.1-1/2+1/3-1/4+...C.1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+...D.1+2+4+8+...答案：C5.以下哪个矩阵是可逆的？A.[12;34]B.[10;00]C.[20;02]D.[11;11]答案：C二、填空题（每题4分，共20分）6.函数f(x)=x^3-3x在x=1处的导数是______。答案：67.函数f(x)=e^x的不定积分是______。答案：e^x+C8.函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分是______。答案：1/39.矩阵A=[12;34]的行列式是______。答案：-210.函数f(x)=sin(x)的泰勒级数展开式在x=0处的前三项是______。答案：x-x^3/6+x^5/120三、解答题（每题15分，共30分）11.求函数f(x)=x^2-4x+4在区间[1,3]上的定积分，并说明几何意义。解答：∫(1,3)(x^2-4x+4)dx=[1/3x^3-2x^2+4x](1,3)=(9-18+12)-(1/3-2+4)=3-9/3=2几何意义：表示由曲线y=x^2-4x+4、x轴以及垂直线x=1和x=3所围成的曲边梯形的面积。12.求矩阵A=[12;34]的逆矩阵，并说明其性质。解答：|A|=-2，所以A的逆矩阵为：A^(-1)=1/|A|[4-2;-31]=[-21;3/2-1/2]性质：AA^(-1)=A^(-1)A=I，其中I是单位矩阵。四、证明题（每题15分，共15分）13.证明：对于任意的正整数n，有1/n^2<1/n-1/(n+1)。证明：1/n^2-1/n+1/(n+1)=(n+1-n^2-n)/(n^2(n+1))=(1-n^2)/(n^2(n+1))由于n是正整数，所以1-n^2<0，n^2(n+1)>0，所以1/n^2<1/n-1/(n+1)。五、综合题（每题15分，共15分）14.已知函数f(x)=x^3-3x，求f(x)的极值点，并说明极值点的性质。解答：f'(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)令f'(x)=0，得到x=-1和x=1。当x<-1或x>1时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增；当-1<x<1时