一元二次方程的解集及其根与系数的关系

一元二次方程的解集及其根与系数的关系知识点一、一元二次方程的解集1.思考什么是一元二次方程?其解的情况如何?提示:形如ax2+bx+c=0(a≠0)的方程叫做一元二次方程.当Δ=b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实根;当Δ=b2-4ac=0时,方程有两个相等的实根;当Δ=b2-4ac<0时,方程无实根.2.填空

3.做一做关于x的一元二次方程x2+x+1=0的根的情况是

(

)A.两个不等的实数根B.两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定解析:∵x2+x+1=0,∴Δ=12-4×1×1=-3<0,∴该方程无实数根.答案:C知识点二、一元二次方程根与系数的关系1.思考(1)已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两根x1,x2,其大小如何?并求出x1+x2与x1x2的大小.(2)解方程x2-x-2=0,你能发现该方程的两根与其系数之间有怎样的关系?

填表，观察、猜想

方程

x1,,x2

x1+x2

x1.x2

x2-2x+1=0

1,121x2+3x-10=02,-5-3-10x2+3x-4=01,-4-3-4问题：你发现什么规律？①用语言叙述你发现的规律；②

x2+px+q=0的两根x1,,x2用式子表示你发现的规律。

根与系数关系如果关于x的方程的两根是,,则:知识要点根与系数关系的应用

例1：不解方程，求出方程两根之和与两根之积：

（1）x2+3x-5=0(2)2x2-3x-5=0解：（1）设两根为x1,x2,由上述二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系，可得：（2）方程的两边同时除以2，得设方程的两根分别为x1和x2得，例题口答下列方程的两根之和与两根之积。1.2.3.4.5.随堂练习根与系数关系如果关于x的方程的两根是,,则:如果方程二次项系数不为1呢?数学活动三方程x1,,x2

x1,+x2

x1.x2

2x2-3x-2=0

3x2-4x+1=0

问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律；①用语言叙述发现的规律；②

ax2+bx+c=0的两根x1,,x2用式子表示你发现的规律：探究（1）x1+x2=（2）x1x2=猜想结论

学习主题

探究所得结论的证明设x1、x2为方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，证明：

x1+x2=x1x2=x1+x2=x1x2=利用求根公式。证明过程利用求根公式证明：结论归纳，语言叙述。任何一个一元二次方程的根与系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是X1,X2,那么X1+X2=,X1

·X2=-（韦达定理）注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0例2、不解方程，求下列方程两根的和与积.

（1）x2-6x-15=0（2）3x2+7x-9=0（3）5x-1=4x2（4）3x2-1=0一、直接运用根与系数的关系说一说：说出下列各方程的两根之和与两根之积：1、x2-2x-1=02、2x2-3x+=03、2x2-6x=04、3x2=4x1+x2=2x1x2=-1x1+x2=x1+x2=3x1+x2=0x1x2=x1x2=0x1x2=-随堂练习在使用根与系数的关系时，应注意：⑴要先化成一般形式，并找出a,b,c；⑵确认a≠0，b2-4ac≥0；（3）在使用X1+X2=－时，注意“－”不要漏写.知识源于悟结论特例1.已知a、b是一元二次方程x2+3x-7=0的两个实数根，求代数式a2+4a+b的值解：∵a、b是一元二次方程x2+3x-7=0的两个实数根∴a2+3a-7=0，a+b=-3，则a2+4a+b=a2+3a+a+b=7-3=4．课堂练习作业：已知m、n是方程x2-3x+1=0的两根，求2m2+4n2-6n+2014的值。2.已知x1、x2是方程x2+(m-2)x+2=0的两个实数根，求(2+mx1+x12)(2+mx2+x22)的值。解：∵x12+(m-2)x1+2=0,x22+(m-2)x2+2=0

∴x12+2=2x1-mx1,x22+2=2x2-mx2

又∵x1x2=2

原式=(2x1-mx1+mx1)(2x2-mx2+mx2)=2x1·2x2=4x1x2=4×2=8

3.已知关于x

的方程

x2+2（m-2）x+m2+4=0

有两个实数根，并且这两个根的平方和比两根的积大21。求m的值。

解∵△=4(m-2)2-4(m2+4)=-16m≥0∴m≤0

设方程两个根为x1、x2，则由题意：

x1+x2=-2(m-2),x1x2=m²+4

x12+x22-x1x2=21

(x1+x2)2-3x1x