2025年江西省九江市高考数学二模试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025年江西省九江市高考数学二模试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.“m>2”是“|m|>log23”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.已知复数z满足(2−i)z=5，则z−的虚部为(

)A.1 B.2 C.−1 D.−23.等差数列{an}中，已知a2+a5+A.36 B.30 C.20 D.184.植物的根是吸收水分和矿物养分的主要器官.已知在一定范围内，小麦对氮元素的吸收量与它的根长度具有线性相关关系.某盆栽小麦实验中，在确保土壤肥力及灌溉条件相对稳定的情况下，统计了根长度x(单位：cm)与氮元素吸收量y(单位：mg/天)的相关数据，如下表所示：x9.912.114.818.219.921.825.127.730.432.1y0.300.340.420.50.550.60.710.740.780.86根据表中数据可得x−=21.2，y−=0.58及线性回归方程为A.a=−0.05

B.变量y与x的相关系数r<0

C.在一定范围内，小麦的根长度每增加1cm，它一天的氮元素吸收量平均增加0.025mg

D.若对小麦的根长度与钾元素吸收量的相关数据进行统计，则对应回归方程不变5.已知点P在椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，点Q在圆O：x2+yA.23 B.12 C.356.已知f(x)是定义在R上周期为2的偶函数，且当x∈[0,1]时，f(x)=1x+1−sinx，设a=f(12)，b=f(π2)，c=f(−11A.b<a<c B.c<a<b C.c<b<a D.a<c<b7.已知球O与正三棱柱ABC−A1B1C1的各个面均相切，记平面ABC1截球O所得截面的面积为S1A.313 B.913 C.1011178.窗花是中国传统剪纸艺术的重要分支，主要用于节日或喜庆场合的窗户装饰，尤以春节最为常见，它以红纸为材料，通过剪、刻等技法创作出精美图案，图案讲究构图对称、虚实相生.2025年春节，小明同学利用AI软件为家里制作了一幅窗花图案(如图)，其外轮廓为方程C：x2+y2=1+|xy|所表示的曲线.设图案的中心为O，P为曲线C上的最高点，则A.2 B.233 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若函数f(x)=cos2x+msin2x对任意的x∈R，都有f(x)≥f(π3)，则A.m=−3 B.f(x)在[4π3,11π6]上单调递减

10.若数列{an}满足a1=2，a2=4，2an+an+2A.{an+1−an}是等比数列 B.{an}是等比数列

11.如图，三棱锥A−BCD中，AD⊥平面BCD，BD⊥CD，AD=BD=CD=1，P为其表面上一点，P与四个顶点A，B，C，D的距离分别为d1，d2，d3，d4，则下列命题正确的是A.若d1=d2=d3=d4，则点P不存在

B.若d1=d4，d2=d三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.(1−2x)813.如图，已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，A，B为C上两点，BE=λEF，AE//x轴，△AEF为正三角形，则λ=______．14.已知函数f(x)=ax(ex+1)+ex−1恰好有四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

甲、乙、丙三人各自独立投篮，甲和乙都投中的概率是19，甲投中而丙未投中的概率是16，乙投中而丙未投中的概率是16．

(1)请问三人中哪一位投篮水平较高？并说明理由；

(2)现将投篮水平较低的两人组成一组(记为A组)，与投篮水平较高的人(记为B组)进行投篮比赛，甲、乙、丙各自独立投篮2次，且每次投篮的结果互不影响，投中次数较多的一组获胜，求16.(本小题15分)

如图，在三棱锥P−ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥平面PBC，且AC=2PB．

(1)证明：BC⊥平面PAB；

(2)若三棱锥P−ABC的外接球半径为1，BC=62，求二面角P−AC−B17.(本小题15分)

如图，△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为BC边上一点，AB⊥AD，AD=CD，记∠ADC=θ．

(1)若θ=3π4，求证：b2−c2=ac；

(2)18.(本小题17分)

已知函数f(x)=(ax+1)ln(2x−1)(a∈R)．

(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)是否存在常数a，b，使f(x)的图象关于直线x=b对称？若存在，求a，b的值；若不存在，请说明理由；

(3)若a∈Z，函数f(1x)在(1,+∞)上单调递增，求a的取值集合．

(参考数据：ln3≈1.09919.(本小题17分)

在平面直角坐标系xOy中，把一个图形绕定点G旋转一个定角θ的图形变换叫作旋转变换.定点G叫作旋转中心，定角θ叫作旋转角(规定逆时针方向为正).如果图形上的点P(x,y)经过旋转变为点P′(x′,y′)，那么这两个点叫作这个旋转变换的对应点.现将曲线xy=m(m≠0)绕G顺时针旋转π4后，得到新曲线E，其变换关系为x′=xcosθ−ysinθ,y′=xsinθ+ycosθ，点(2,1)在曲线E上．

(1)求曲线E的方程并确定点G的位置；

(2)点P1的坐标为(1,0)，按照如下方式依次构造点Pn(n=2,3,…)：过点Pn−1作斜率为2的直线交E于另一点Qn−1，设Pn是点Qn−1关于x轴的对称点.记Pn的坐标为(xn,yn).

(i)求数列{xn+yn}的前n项和Sn

参考答案1.A

2.C

3.B

4.C

5.D

6.B

7.A

8.D

9.AD

10.ABD

11.ACD

12.−448

13.2

14.(−115.解：甲、乙、丙三人各自独立投篮，甲和乙都投中的概率是19，

甲投中而丙未投中的概率是16，乙投中而丙未投中的概率是16，

(1)丙投篮水平较高，理由如下：

设甲、乙、丙三人各自独立投篮投中的概率分别为p1、p2、p3．

依题意，得p1p2=19p1(1−p3)=16p2(1−p3)=16，解得p1=13p2=13p3=12，

因为p1=p2<p3，所以，丙投篮水平较高．

(2)记A组投中次数为X1，B组投中次数为X2，

由(1)知X1～B(4,13)，X2∼B(2,12)，

若B组获胜，则X1=0，X2=1或X1=0，X2=2或X1=1，X2=2，

所以，P(X1=0,X2=1)=C40(13)0(23)4⋅C21(12)1(12)1=881，

P(X1=0,X2=2)=C40(13)0(23)4⋅C22(12)2(12)0=481，

P(X1=1,X2=2)=C4117.(1)证明：因为∠ADC=3π4，可得∠ADB=π4，

又AB⊥AD，所以△ABD为等腰直角三角形，

而AD=CD，

可得AB=AD=CD=c,BD=2c，

所以a=BD+CD=(2+1)c，可得ac=(2+1)c2，

在△ADC中，由余弦定理得b2=c2+c2−2c×c×cos3π4=(2+2)c2，

所以b2−c2=(2+1)c2=ac，

即证得b2−c2=ac；

(2)解：因为∠ADC=θ，AB⊥AD，所以∠ABC=θ−π2，

又AD=CD，所以∠ACB=π2−θ2，

在△ABC中，由正弦定理，得bsin∠ABC=csin∠ACB，

即bsin(θ−π2)=csin(π2−θ2)，

即b−cosθ=ccosθ2，

因为b=4c，所以4cosθ2+cosθ=0，

即2cos2θ2+4cosθ2−1=0，

解得cosθ2=62−1，

所以cosθ=−4cosθ2=4−26．

18.解：(1)当a=1时，f(x)=(x+1)ln(2x−1)，得f′(x)=ln(2x−1)−2(x+1)x(2−x)

∵f(1)=0，f′(1)=−4，

∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=−4(x−1)，即4x+y−4=0．

(2)∵f(x)的定义域是(0,2)，且f(x)的图象关于直线x=b对称，∴b=1，

∴对任意的x∈(0,2)，f(x)=f(2−x)成立，

即(ax+1)ln(2x−1)=(2a−ax+1)ln(22−x−1)，

化简整理得ax+1=ax−2a−1，

即1=−2a−1，

解得a=−1，

即存在a=−1，b=1，使f(x)的图象关于直线x=b对称．

(3)设g(x)=f(1x)=(ax+1)ln(2x−1)，则g′(x)=1x2[2x2+2ax2x−1−aln(2x−1)]．

∵g(x)在(1,+∞)上单调递增，∴g′(x)≥0对任意的x∈(1,+∞)恒成立，

即t(x)=2x2+2ax2x−1−aln(2x−1)≥0，且t′(x)=4x(x−a−1)(2x−1)2．

①当a≤0时，t′(x)>0，即t(x)在(1,+∞)上单调递增，

∴t(x)>t(1)=2+2a≥0，得−1≤a≤0．

②当a>0时，当x∈(1,a+1)时，t′(x)<0，t(x)单调递减；

当x∈(a+1,+∞)时，t′(x)>0，t(x)单调递增，

∴t(x)min=t(a+1)=2(a+1)−aln(2a+1)，

设ℎ(a)=2(a+1)−aln(2a+1)，

则ℎ′(a)=1−ln(2a+1)+11+2a在(0,+∞)上单调递减，

∵ℎ′(2)=65−ln5<0，ℎ′(1)=43−ln3>0，∴存在唯一的a0∈(1,2)，使ℎ′(a0)=0．

当a∈(0,a0)时，ℎ′(a)>0，ℎ(a)单调递增，ℎ(a)>ℎ(0)=2；

当a∈(a0,+