湖南省郴州市2025年高考数学第三次质检试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页湖南省郴州市2025年高考数学第三次质检试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x||x|≤A.3 B.5 C.6 D.92.已知复数z满足z(1+2iA.3 B.53 C.3 3.在平面直角坐标系xOy中，已知A(2,−1)，B(1A.4 B.2 C.−2 D.4.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1A.1 B.2 C.3 D.5.已知cosα+sin(A.338 B.58 C.6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=π3，a=4，A.210 B.43 C.7.已知函数f(x)=x2+2alnxA.(−2,1) B.(−8.定义：在空间直角坐标系中P(a1,a2,a3)，Q(b1,b2,b3)两点的“网线距离”为d(P,QA.27 B.64 C.125 D.216二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.某市为丰富市民的业余生活，春节前举办“迎春杯”歌手大奖赛，比赛分青年组、中年组和老年组.每组由6位专业评委对演唱评分，老年组的甲和乙参加比赛得分的折线统计图如图所示，则下列结论正确的是(

)A.甲得分的中位数大于乙得分的中位数

B.甲得分的极差大于乙得分的极差

C.甲得分的上四分位数小于乙得分的上四分位数

D.甲得分的方差大于乙得分的方差10.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导数为fA.f(13)<3 B.f11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的表面积与体积的数值之比为3，P，QA.AA1=3

B.多面体ADD1A1−PQB1C1C的体积为233三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知(1−2x)5=13.已知函数f(x)=sin(2x−π414.已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，点M(x0,2)在抛物线C上，且|MF|=3，点P在直线l：y=−2(四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知编号为甲、乙、丙的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中甲袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；乙袋内装有两个1号球，一个3号球；丙袋内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球．

(1)从甲袋中一次性摸出2个小球，记随机变量X为1号球的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；

(2)现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第一次先从甲袋中随机摸出1个球，若摸出的是1号球放入甲袋，摸出的是2号球放入乙袋，摸出的是3号球放入丙袋；第二次从放入球的袋子中再随机摸出1个球.求第二次摸到的是16.(本小题15分)

已知数列{an}为等差数列，且a2=3，a4+a5+a6=27．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)已知数列{bn17.(本小题15分)

已知函数f(x)=lnx−ax−2．

(1)当a=118.(本小题17分)

如图所示，在圆柱OO1中，矩形ABB1A1为圆柱OO1的轴截面，圆柱过点C的母线为CC1点C，E为圆O上异于点A，B且在线段AB同侧的两点，且OE/​/BC，点F为线段A1C的中点，AB=BB1=4．

(1)求证：EF/​/平面BCB1；

(2)19.(本小题17分)

已知双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为2，过F2的直线l与双曲线E交于P，Q两点，当直线l垂直于x轴时，△PQF1的周长为16．

(1)求双曲线E的标准方程；

(2)与x轴不重合的直线l′过点N(x0,0)(x0答案和解析1.【答案】C

【解析】解：因为集合B={−1,0,1,2,3,4}，

集合A={x||x|≤3,x∈2.【答案】D

【解析】解：由题可得：z=2−i1+2i=(2−i)(3.【答案】A

【解析】解：因为A(2,−1)，B(1,1)，

又OP=λOA+(2−λ)OB，

所以OP=(4.【答案】B

【解析】解：点P在椭圆C上，若|PF1|+|PF2|=4，椭圆C的离心率为12，

则|PF1|+|5.【答案】B

【解析】解：由题意可得cosα+32sinα−16.【答案】A

【解析】解：已知BC边上的高AD=3，a=4，A=π3，

由三角形面积公式S△ABC=12a⋅AD=12bcsinA=12bc⋅32，

即17.【答案】D

【解析】解：因为f(x)=x2+2alnx，所以f′(x)=2x+2ax，x>0，

这两条相互垂直的切线的切点为(x1,f(x1))，(x2,f(x2))，

8.【答案】C

【解析】解：根据题意可知，A(0,0,0)、B(4,4,4)、P(x,y,z)，则d(A,B)=12，

由三角不等式可得|x|+|x−4|≥|x−(x−4)|=4，当且仅当x(x−4)≤0时，即当0≤x≤4时，等号成立，

9.【答案】AB【解析】解：将甲的得分从小到大排列为：7.0，8.3，8.9，8.9，9.2，9.3，

因为数据个数n=6为偶数，所以甲得分的中位数为8.9+8.92=8.9，

将乙的得分从小到大排列为：8.1，8.5，8.6，8.6，8.7，9.1，

同理，乙得分的中位数为8.6+8.62=8.6，

由于8.9>8.6，所以甲得分的中位数大于乙得分的中位数，A选项正确；

甲得分的最大值是9.3，最小值是7.0，则甲得分的极差为9.3−7.0=2.3，

乙得分的最大值是9.1，最小值是8.1，则乙得分的极差为9.1−8.1=1，

因为2.3>1，所以甲得分的极差大于乙得分的极差，B选项正确；

n=6，6×75%=4.5，向上取整为5，

所以甲得分的上四分位数是9.2，乙得分的上四分位数是8.7，

由于9.2>8.7，所以甲得分的上四分位数大于乙得分的上四分位数，C选项错误；

计算甲得分的平均数x甲−：

x甲−=7.0+9.3+8.3+10.【答案】AC【解析】解：当x>0时，f′(x)+1x2>0，

令g(x)=f(x)−1x，可得g′(x)=f′(x)+1x2>0，g(x)在(0,+∞)上单调递增．

因为g(1)=f(1)−1=0，

对于A，g(13)<g(111.【答案】BD【解析】解：作出示意图如下：

对于A，因为正方体的表面积与体积之比为3，

所以6|AA1|2|AA1|3=3，解得|AA1|=2，故A错误；

对于B，因为四面体ABPQ的体积为V=13S△BPQ⋅AB=13×12×1×1×2=13，

所以多面体ADD1A1−PQB1C1C的体积为VABCD−A1B1C1D1−VA−BPQ=8−13=233，正确；

对于C，设CC1的中点为R，连接PR，则PR//AD1，

因为AP在平面APRD1内，而G是线段AD1上一个动点，12.【答案】80

【解析】解：由题意，a4=C54(−2)13.【答案】(0【解析】解：函数f(x)=sin(2x−π4)，若f(x)在区间(0,m)上单调递增，

由2kπ−π2≤2x−π14.【答案】(−【解析】解：已知|MF|=2+p2=3，得p=2，

∴抛物线C：x2=4y．

设P(m,−2)，Q(x1,y1)，R(x2,y2)，不妨设x1<0，x2>0，

由x2=4y，得y=14x2，可得y′=12x，则y′|x=x1=12x1，

∴切线PQ的方程为y−y1=12x1(x−x1)

∵点P(m,−2)在直线PQ上，∴mx115.【答案】分布列见详解；E(X)=1；【解析】(1)从甲袋中一次性摸出2个小球，记随机变量X为1号球的个数，

由题意可知：随机变量X的可能取值为0，1，2，则有：

P(X=X012P121所以随机变量X的期望E(X)=0×16+1×23+2×16=1；

(2)现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第一次先从甲袋中随机摸出1个球，

若摸出的是1号球放入甲袋，摸出的是2号球放入乙袋，摸出的是3号球放入丙袋；

第二次从放入球的袋子中再随机摸出1个球，

记第一次从甲袋中随机摸出1个球，摸出的是1、2、3号球分别为事件A1，A2，A3，

第二次摸到的是3号球为事件B16.【答案】an=2n−1；

b【解析】解：(1)由数列{an}为等差数列，且a4+a5+a6=3a5=27，得a5=9，

∴数列{an}的公差为d=a5−a25−2=9−33=2，

故an=a2+(n−2)d=3+2(n−2)=2n−1；

(2)Sn=2bn−2，

当n=1时，有b1=S1=2b1−2，得17.【答案】f(x)的最大值为−3，无最小值；【解析】解：(1)根据已知：函数f(x)=lnx−ax−2．

当a=1时，f(x)=lnx−x−2，对函数f(x)求导可得f′(x)=1x−1．

令f′(x)=0，解得x=1．

当0<x<1时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；

当x>1时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；

因此当a=1时，f(x)在x=1处取得最大值，最大值为f(1)=ln1−1−2=−3，无最小值．

(2)证明：因为函数g(x)=x⋅f(x)有两个不同极值点x1，18.【答案】证明见解析；

π6；

[π【解析】解：(1)证明：延长AE，BC交于点Q，连接AC1，QC1，

因为OE/​/BC，O是AB中点，

所以OE是△ABQ的中位线，则点E是AQ中点，

又因为AA1，CC1，BB1是圆柱的母线，

所以AA1，CC1，BB1平行且相等，

所以易得AC1，CA1相交于点F，F是AC1的中点，

则在△AQC1中，EF//C1Q，

又因因为CC1/​/BB1，Q在BC延长线上，

所以可得C1Q⊂平面BCB1，而EF不在平面BCB1内，

所以EF/​/平面BCB1．

(2)由题意可知CC1⊥ABC面，且因为AB直径，所以AC⊥BC则，CA，CB，CC1三线两两垂直，则建立如图所示空间直角坐标系C−xyz，

又因为AB=BB1=4，所以设∠BAC=θ，则AC=4cosθ，BC=4sinθ，

可得点坐标为C(0,0,0)，B(0,4sinθ,0)，

A1(4cosθ,0,4)，B1(0,4sinθ,4)，

则CA1=(4cosθ,0,4)19.【答案】x2−y23=1；【解析】解：(1)根据题目已知：双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为2，

过F2的直线l与双曲线E交于P，Q两点，当直线l垂直于x轴时，△PQF1的周长为16．

因为当直线l垂直x轴时，将x=c代入x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，得y=±b2a，

所以|PF2