2024-2025学年河南省开封市高一下册第一次联考数学检测试题（附解析）

2024-2025学年河南省开封市高一下学期第一次联考数学检测试题一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤位移；⑥密度；⑦功．其中是向量的有（）A.4个 B.3个 C.2个 D.1个【正确答案】A【分析】根据向量的知识进行分析，从而确定正确答案.【详解】质量、密度、功是标量，不是向量；速度、力、加速度、位移是向量；所以向量共有个.故选：A2.如果是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】结合单位向量的方向、长度以及数量积的定义进行判断.【详解】对于A，是两个单位向量，长度都是1，但方向不一定相同，故A错误；对于B、C,因为是两个单位向量，所以，则，故B正确，C错误；对于D，，所以，故D错误.故选：B.3.在下列各组向量中，可以作为基底的是（）A.， B.，C.， D.，【正确答案】B【分析】根据平面向量基底的意义，利用共线向量的坐标表示判断作答.【详解】对于A，与共线，A不是；对于B，由知，与不共线，B是；对于C，由知，，共线，C不是；对于D，由知，，共线，D不是.故选：B4.，，且，则（）A. B. C. D.1【正确答案】D【分析】根据向量的数量积和模的运算得到，再根据向量的坐标运算即可求解.详解】由得,即,解得,因为,解得.故选：D.5.已知向量，．若向量满足，，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【详解】试题分析：设,则,,由已知可知,解得,故.选D.考点：共线向量与垂直向量的性质.6.如图，平行四边形ABCD的对角线交于M，若，，用表示为()A. B. C. D.【正确答案】D【分析】利用向量线性运算，结合图形几何关系即可求解．【详解】．故选：D．7.在三角形ABC中，A、B、C表示角度，a、b、c表示边长已知b=5，c=4，B=45°，则sinC=（）A. B. C. D.或【正确答案】B【分析】根据正弦定理即可解出．【详解】根据正弦定理可知，解得故选：B8.已知在所在平面内，满足，且，则点依次是的（）A.外心，重心，垂心 B.重心，外心，内心C.重心，外心，垂心 D.外心，重心，内心【正确答案】A【分析】利用向量的加法法则，可得是中线的三等分点；利用数量积的运算律可得即可.【详解】因，则为的外心；取中点，则，即为中线上靠近点的三等分点，则为的重心；因，则，则，同理，，则为的垂心.故选：A二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）9.下列命题正确的是（）A. B.C. D.【正确答案】AB【分析】根据向量线性运算法则即可判断ABC，根据数量积的定义判断D.详解】对于A，，A正确；对于B，，B正确；对于C，，C错误；对于D，，D错误.故选：AB10.与向量共线的单位向量（）A. B. C. D.【正确答案】BD【分析】结合平面向量共线以及单位向量即可求出结果.【详解】因为，所以，因为，且，所以，即或.故选：BD.11.设是两个非零向量，若，则下列结论正确的是（）A. B.C.在方向上的投影向量为 D.【正确答案】ABC【分析】利用平面向量的垂直关系，然后对选项一一验证即可.【详解】因为，所以，所以，所以选项A正确；因为，所以，即有，所以，所以选项B正确；因为，所以在方向上的投影向量为，所以选项C正确；由向量数量积的定义可知，，所以，所以选项D错误.故选：ABC.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.下列说法中，正确的序号是_____________．①零向量都相等；②任一向量与它的平行向量不相等；③若四边形是平行四边形，则；④共线的向量，若始点不同，则终点一定不同．【正确答案】①③【分析】根据向量、零向量及共线向量的定义逐一分析即可判断.【详解】对于①：因为零向量的长度都为0，且其方向任意，所以零向量都相等，故①正确；对于②：平行向量的方向可以相同，且大小也可以相等，所以任一向量与它的平行向量可能相等，故②错误；对于③：根据向量的定义知与的方向相同，且长度相等，所以，故③正确；对于④：根据共线向量的定义可知：共线的向量，始点不同，终点可能相同，所以④错误.故①③.13.已知向量，，若，则__________．【正确答案】【分析】先由向量垂直的坐标表示，求出，得到的坐标，再由向量模的坐标表示，即可得出结果.【详解】∵，则，解得，∴，则，故.故答案为.14.在中，若．则_____________．【正确答案】##【分析】根据二倍角公式结合三角形内角的取值范围求角.【详解】由.因为为三角形内角，所以，所以，所以，所以.故四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知，.（1）求；（2）设，的夹角为，求的值；（3）若向量与互相垂直，求的值．【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根据向量线性运算的坐标运算直接可得解；（2）利用夹角公式直接可得解；（3）根据向量垂直可得数量积，进而可得参数值.【小问1详解】由已知，，则；【小问2详解】由已知可得，，，则；【小问3详解】由向量与互相垂直，则，解得.16.如图，在平行四边形ABCD中，，，，BD，AC相交于点O，M为BO中点.设向量，（1）用，表示（2）建立适当的坐标系，使得点C的坐标为，求点M的坐标.【正确答案】（1）（2）【分析】(1)根据平行四边形的性质以及平面向量的线性运算法则.(2)以A为坐标原点，AD所在的直线为x轴，建立直角坐标系，满足题意,可求出各点的坐标.【小问1详解】由四边形ABCD是平行四边形，BD，AC相交于点O所以，因为M为BO中点，【小问2详解】如图，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴，建立直角坐标系，由，，，可求得点C的坐标为，所以，，，根据中点坐标公式，可求得点M的坐标为17.已知中，角的对边分别为，满足.（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理实现边角互化，再利用余弦定理可得；（2）把边化为角，利用角范围求解.【详解】解：（1）由题可得，所以，，.（2）由正弦定理得，，，，.本题主要考查利用正余弦定理求解三角形及范围问题.边角互化是求解这类问题的常用策略.18.在中，内角所对的边分别为，且.（1）求的值；（2）若，求的值.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据题意，由余弦定理结合条件即可得到结果；（2）根据题意，可得，然后再由正弦定理即可得到结果.【小问1详解】在中，.由余弦定理，.【小问2详解】由（1）知，.，又19.在气象台A正西方向处有一台风中心，它正向东北方向移动，移动速度的大小为，距台风中心以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地是否会受到台风的影响？如果会，大约多长时间后受到影响？持续时间有多长（精确到）？【正确答案】大约2小时后，气象台所在地会受到台风影响，持续时间约为6小时36分钟.【分析】先作图，根据图像算出气象台所在地距离台风中心的距离即可判断是否会受到台风的影响；另外利用余弦定理，算出会受到台风影响的临界点，进而可得受到影响的时间．【详解】解：如图设台风中心为B