2024-2025学年河北省唐山市高一下册3月月考数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年河北省唐山市高一下学期3月月考数学检测试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知向量，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】先求出的坐标，再通过可求出的坐标.【详解】又因为，所以，故选：D.本题考查向量坐标的线性运算，是基础题.2.已知复数，则（）A.1 B. C. D.2【正确答案】B【分析】利用复数模的计算公式即可得到结果.【详解】，.故选：B.3.在四边形中，若，则四边形为（）A.正方形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形【正确答案】D【分析】依据向量相等的几何意义和向量数量积的几何意义去判断四边形的形状.【详解】由，可得，即，则四边形为平行四边形；又由，可得，则平行四边形四边形为菱形故选：D4.在中，，，所对的边分别为a，b，c，其中，，，则（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】直接利用正弦定理可求解.【详解】，，，由正弦定理得，.故选：B.5.已知单位向量的夹角为，为实数，则“向量与向量的夹角为锐角”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】法一：根据单位向量与垂直向量的数量积表示，利用数量积的运算律以及夹角为锐角的数量积表示，同时注意排除向量共线的情况，结合充分不必要条件，可得答案；法二：由题意设出向量的坐标，根据数量积的坐标表示，结合充分不必要条件，可得答案.【详解】法一：由单位向量的夹角为，可得，．若向量与向量的夹角为锐角，则且向量与向量不共线．由，得；由向量与向量不共线，得，即．所以由向量与向量的夹角为锐角，得且．易知由，则向量与向量的夹角大于等于零且小于九十度.综上可得“向量与向量的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件．法二：因为单位向量的夹角为，所以不妨令，，则，．因为向量与向量的夹角为锐角，所以，且，得且．当时，可得，此时向量与向量的夹角大于等于零且小于九十度.综上可得“向量与向量的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件．故选：B．6.设的内角A，，所对的边分别为，，，若，则等于（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】根据，求得各角的大小，利用正弦定理求得答案.【详解】由于，故，故，故选：A7.鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰顶镶嵌着一汪小湖.某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为此，他们设计了测量方案.如图，在山脚A测得山顶P得仰角为45°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走了90米到达B点（A，B，P，Q在同一个平面内），在B处测得山顶P得仰角为60°，则鼎湖峰的山高为（）米.A. B.C. D.【正确答案】B【分析】在中，利用正弦定理求，进而在中求山的高度.【详解】由题知，，，则，，又，所以，所以，，在中，，根据正弦定理有，且，则，在中，.所以山高为米.故选：B.8.在中，，是的中点，与交于点，若，则（）A. B. C. D.1【正确答案】A【分析】利用向量的线性运算及三点共线求得，由此求得的值，即可得到结果.【详解】∵，∴，∴.∵A，P，D三点共线，∴.∵，∴.∵E是边AB的中点，∴.∵E，P，F三点共线，∴，∴，解得，，∴，即，，故.故选：A.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下面给出的关系式中，正确的是（）A. B.C D.【正确答案】ABD【分析】根据向量的数量积定义及运算性质逐一分析即可.【详解】因为数与向量相乘为向量，所以，故正确；向量的数量积满足交换律，所以，故正确；根据数量积定义知，数量积为一实数，所以为，表示与共线的向量，而为，表示与共线向量，所以不一定成立，故错误；根据数量积定义知，故正确；故选.10.下列关于平面向量的说法中正确的是（）A.已知，均为非零向量，则存在唯一的实数，使得B.若向量，共线，则点，，，必在同一直线上C.边长为的正方形中D.若点为的重心，则【正确答案】AD【分析】利用向量共线的概念即可判断A正确，B错误；利用向量的加法法则和向量的模的计算可判断C错误，利用三角形重心的结论即可判断D正确，问题得解.【详解】对于选项A，由平面向量平行的推论可得其正确；对于选项B，向量，共线，只需两向量方向相同或相反即可，点，，，不必在同一直线上，故B错误；对于选项C，边长为的正方形中，故C错误；对于选项D，由平面向量中三角形重心的推论可得其正确.故选：AD.11.三角形的三边所对的角为，，则下列说法正确的是（）A. B.若面积为，则周长的最小值为12C.当，时， D.若，，则面积为【正确答案】ABD【分析】由题意可得，选项A：利用正弦定理边角互化结合余弦定理即可求角的大小；选项B：由三角形面积和角可得，利用均值不等式求周长最小值即可；选项C：利用边角互化后得到的解即可；选项D：利用正弦定理求，然后后面积公式求解即可.【详解】因为，由题意可得，整理得，由正弦定理边角互化得，又由余弦定理得，所以，A正确；当时，，所以，当且仅当时等号成立，所以，即，所以，B正确；由当，时，，解得，C错误；由，得，由正弦定理得解得，又因为，所以，D正确；故选：ABD.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知复数满足，则的实部为____．【正确答案】【分析】设，利用复数的运算可得出关于、的方程组，解之即可.【详解】设，则，所以，，所以，，解得，因此，复数的实部为.故答案为.13.向量在向量上的投影向量的坐标为________．【正确答案】【分析】根据投影向量定义求解.【详解】向量在向量上的投影向量为．故答案为.14.已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为__________.【正确答案】##-0.2【分析】根据向量的几何意义得到的平分线与垂直，并计算出，，建立平面直角坐标系，表达出，配方求出最小值.【详解】分别表示与方向单位向量，故所在直线为的平分线所在直线，又，故的平分线与垂直，由三线合一得到，取的中点，因，故，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则，设，，则，当时，取得最小值，最小值为.故四、解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分）15.已知，，且与夹角为求：（1）；（2）与的夹角．【正确答案】（1）12；（2）.【分析】（1）根据平面向量数量积的定义和运算性质进行求解即可；（2）根据平面向量夹角公式，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.【小问1详解】，，且与夹角为，，，，；【小问2详解】，，，设与的夹角为，，又，所以，即与的夹角为．16.在中，内角所对的边分别为，，，已知已知.（1）求角的大小；（2）若，，求的值；（3）若，判断的形状．【正确答案】（1）；（2）；（3）正三角形．【分析】（1）利用余弦定理求出的大小作答.（2）代入给定等式计算作答.（3）根据已知条件可得，再结合（1）确定三角形的形状作答.【小问1详解】在中，由及余弦定理得，而，所以.【小问2详解】由，及，得，所以.【小问3详解】由及，得，则，由（1）知，所以为正三角形.17.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，，，．（1）求；（2）求的长．【正确答案】(1)；(2).【分析】(1)连接BD，在中，利用三角形内角和定理及和角的余弦公式计算即得；(2)在中，利用正弦定理求出BD长，再在中利用余弦定理求解即可.【详解】(1)由AB∥CD可得，则，即，而，即有，在中，，所以；(2)由(1)知，，在中，由正弦定理得：，由余弦定理得：，即，解得或(舍去)，所以的长为.18.的内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若为锐角三角形，，求的取值范围.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由三角变换公式可得，从而可求的值.（2）利用正弦定理及三角变换公式可得，结合的范围可求其取值范围，从而可求的取值范围.【小问1详解】因为，由正弦定理得，故，在中，，，所以，，则，可得，所以，所以.【小问2详解】由正弦定理可得（为外接圆的半径），所以，，因为，则，，所以，因为为锐角三角形，则，解得，则，，故.19.如图，在斜坐标系中，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为，定义向量在该斜坐标系中的坐标为有序数对，记为.在斜坐标系中，完成如下问题：（1）若，，求的坐标；（2）若，，且，求实数的值；（3）若