2024-2025学年海南省三亚市高二下册第一次月考数学质量检测试题（附解析）

2024-2025学年海南省三亚市高二下学期第一次月考数学质量检测试题一､单选题（本题共8小题，每一题5分，共40分）1.高二某班4名同学分别从3处不同风景点中选择一处进行旅游观光，则共有多少种选择方案（）A.种 B.种 C.种 D.种【正确答案】D【分析】利用分步乘法计数原理即可得解.【详解】由题意知每位同学都有3种选择，可分4步完成，每步由一位同学选择，故共有种选择方法.故选：D.2.设函数在处存在导数为2，则（）A.1 B.2 C. D.3【正确答案】C【分析】利用导数的定义即可得解.【详解】由依题意，知，则.故选：C.3.已知函数满足，则的值为（）A B. C. D.【正确答案】A【分析】求出导函数，代入，即可得出答案.详解】由已知可得，，则，所以，.故选：A.4.函数的图象在点处的切线方程为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】求导，代入得切线斜率，利用点斜式，写出切线方程.【详解】依题意，，因为，所以，所以切线方程为，即，故选：D.5.一个口袋里装有大小不同的2个红球和4个白球，从中取3个球，则至少含有1个红球和1个白球的取法有（）A.35种 B.32种 C.16种 D.14种【正确答案】C【分析】求出从装有大小不同的2个红球和4个白球的口袋里取3个球的取法，求出其中全部为白球的取法即可求解.【详解】从装有大小不同的2个红球和4个白球的口袋里取3个球有种取法，其中全部为白球有种取法，则至少含有1个红球和1个白球的取法有种.故选：C.6.某市的5个区县，，，，地理位置如图所示，给这五个区域染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色．若有四种颜色可供选择，则不同的染色方案共有（）A.24种 B.36种 C.48种 D.72种【正确答案】D【分析】先对A，B，C三个区域染色，再讨论B，E是否同色【详解】当B，E同色时，共有种不同的染色方案，当B，E不同色时，共有种不同的染色方案，所以共有72种不同的染色方案.故选：D7.设是定义在上的奇函数，且，当时，，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】当时，令，求导后结合已知可得在上单调递减，再由可得到时，，当时，，再利用为奇函数，可求出结果.【详解】当时，令，则，所以在上单调递减，因为，所以，于是当时，，即；当时，，即.又为上的奇函数，所以当时，，当时，，又，所以的解集为.故选：A.8.的零点的个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3【正确答案】D【分析】先把零点个数转化为函数交点个数，再构造函数,结合导函数求解单调性及极值最后应用数形结合求解.【详解】由得，构造函数，求导得在上单调递减，在上单调递增，上单调递减，且，及时，的图像如图，得到有3个解.故选：D.二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）9.已知函数的极小值点为1，极小值为.则（）A.B.C.有3个零点D.直线与的图像仅有1个公共点【正确答案】ACD【分析】首先求函数的导数，根据极小值点以及极小值求参数，判断AB，再根据导数与函数的关系判断函数的图象，即可判断CD.【详解】由题意得则，解得，故A正确.由，解得，故B错误.，当时，，所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减，当时，，所以在上单调递增，所以的极大值为，画出草图，所以有3个零点，故C正确；直线与的图像仅有1个公共点，故D正确.故选：ACD.10.下列说法正确的是（）A.可表示为B.若把英文“hero”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有23种C.10个朋友聚会，见面后每两个人握手一次，一共握手45次D.学校有5个“市三好学生”名额，现分给3个年级，每个年级至少一个名额，则有6种分法【正确答案】BCD【分析】利用排列数公式判断A；利用排除法列式计算判断B；利用组合计数判断C；分类计算判断D.详解】对于A，，A错误；对于B，四个字母全排列共有种，而正确的只有1种，可能出现的错误共有种，B正确；对于C，10个朋友聚会，见面后每两个人握手一次，共有次，C正确；对于D，5个名额，按分有种，按分有种，共有种，D正确.故选：BCD11.已知函数（）A.若在上单调递增，则实数的取值范围是B.若在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是C.当在区间上不单调，则实数的取值范围是D.若的单调递减区间为，则.【正确答案】AD【分析】对于选项A，由在上单调递增，可得在上恒成立，分离出参数，根据二次函数的单调性可求出实数的范围；对于选项B：因为由在上存在单调递减区间，可得在上有解，分离出参数，根据二次函数的单调性可求出实数的范围；对于选项C，当时，得出，根据在区间上不单调，列出关于的不等式组，求出实数的范围；对于选项D，由的单调递减区间为，可知是的一个根，即可求出.【详解】由函数可知：函数的定义域为，导数.对于选项A：因为在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，分离出参数，可得在上恒成立.又因为二次函数在上单调递增，所以在上，所以，故选项A正确.对于选项B：因为在上存在单调递减区间，所以在上有解，即在上有解，分离出参数，可得在上有解.又因为二次函数在上单调递增，所以在上，所以，故选项B错误.对于选项C：当时，.令，解得.因为在区间上不单调，所以导数在区间上有极值点，则，解得：，故选项C错误.对于选项D：因为的单调递减区间为，所以是的一个根，即，解得：，故选项D正确.故选：AD.三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.求的值为__________.【正确答案】18【分析】利用排列数公式计算.【详解】故1813.用“实”､“验”､“中”､“学”､“顶”､“呱”､“呱”这七个字可以组成__________种不同的七字短语.（不考虑短语的含义）【正确答案】【分析】在这七个文字的排列中，由于有相同元素，需要优先用组合来计数，然后用分步计数原理求解即可.【详解】由于这七个字中有两个重复文字，故第一步优先摆放，共有种；第二步摆放剩下五个文字，共有种；根据分步计数乘法原理得它们可以组成种不同的七字短语.故答案为.14.过原点与曲线相切的切线方程为______．【正确答案】【分析】设切点坐标为，求得，列出方程，求得，得到，即可求得切线的方程.【详解】设切点坐标为，切线方程为，由，则，则，则，即，即，解得，所以，所以原点与曲线相切的切线方程为．故本题主要考查了过点出的切线方程的求解，其中解答中熟记到导数点几何意义，以及过点处的切线方程的解法是解答的关键，着重考查推理与运算能力.四､解答题（本题共5小题，共77分）15.已知函数，．（1）求的单调递增区间与极值；（2）求在区间上的最大值与最小值．【正确答案】（1）单调增区间为和，极大值为，极小值为（2）最大值为1，最小值为【分析】（1）根据已知条件及导数的正负与函数单调性的关系，再利用函数的极值的定义，即可求解；（2）根据的单调区间，极值，区间端点值即可确定在区间上的最大值与最小值．【小问1详解】，令，得或，当时，，则在单调递增，当时，，则单调递减，当时，，则在单调递增，所以单调增区间为和，单调减区间为，所以的极大值为，极小值为．【小问2详解】由（1）可知，在上单调递增，在单调递减，在单调递增，又，，所以在区间上的最大值为1，最小值为．16.求下列问题的排列数：（1）4名男生3名女生排成一排，3名女生相邻；（2）4名男生3名女生排成一排，3名女生不能相邻；（3）4名男生3名女生排成一排，女生不能排在两端.【正确答案】（1）720(种)（2）1440(种)（3）1440(种)【分析】（1）利用捆绑法进行排列计算可得结果；（2）利用插空法先排男生，再将女生插空排列计算可得结果；（3）根据特殊元素排法将两端排上男生再进行全排列即可得结果.【小问1详解】根据相邻问题捆绑法得，先将3名女生全排列，并作为一个元素，再和其余4名男生一起排列，共有(种)不同的安排方法.【小问2详解】根据不相邻问题插空法得，先将4名男生进行全排列，再将3名女生插在5个空位上，共有(种)不同的排列方法.【小问3详解】先从4名男生中取2人排在两端，再将其余5人排在中间5个位置上，共有(种)不同的排列方法.17.由0，1，2，3，4这五个数字．（1）能组成多少个无重复数字的五位数？（2）能组成多少个无重复数字的五位偶数？（3）组成无重复数字的五位数中比21034大的数有多少个？【正确答案】（1）96（2）60（3）65【分析】（1）先排数字0，再排其它4个数字即可计算得解；（2）选偶数先排个位数，分个位数字为0和个位数字为2或4两种情况，再排其它数位；（3）按最高位上的数字比2大和2两类分类计算作答.【小问1详解】先排数字0，0只能占除最高位外的其余四个数位，有种排法，再排四个非0数字有种，由分步乘法计数原理得，所以能组成96个无重复数字的五位数；【小问2详解】当个位数字为0时，则可以组成个无重复数字的五位偶数，

当个位数字为2或4时，则可以组成个无重复数字的五位偶数，

即可以组成个无重复数字的五位偶数；【小问3详解】计算比21034大的五位数的个数分两类：万位比2大的五位数个数是，万位是2的五位数中，千位比1大的有个，千位是1，百位比0大的有个，千位是1，百位是0，十位比3大的有1个，由分类加法计数原理得，所以组成无重复数字的五位数中比21034大的数有65个.18.设函数．（1）若恒成立，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a，当时，函数的最小值是2？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【正确答案】（1）；（2）存在，.【分析】（1）由给定的恒成立的不等式分离参数，构造函数，求出函数的最大值即可.（2）利用导数按分类讨论函数在上单调性，并求出最小值即可.【小问1详解】函数的定义域为，不等式，令，依题意，恒成立，，当时，；当时，，函数在上递增，在上递减，，则，所以实数a的取值范围是.【小问2详解】由函数，求导得，由，得，当时，，函数在上单调递减，，解得，无解；当时，由，得；由，得，函数在上单调递减，在上单调递增，，解得，符合题意，所以存在实数a，当时，函数的最小值是2，.19.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.【正确答案】（1）答案见解析