2024-2025学年江苏省无锡市高二下册3月月考数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年江苏省无锡市高二下学期3月月考数学检测试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．）1.下列关于求导正确的是（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据基本初等函数的求导公式，以及复合函数的求导法则，可得答案.【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误.故选：C2.函数在点处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为（）A. B. C. D.1【正确答案】B【分析】求导，根据导数的几何意义求切线方程，进而可得交点坐标和面积.【详解】因为，则，可得，即切点坐标为，切线斜率为2，则切线方程为，其与x轴交点为，所以切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为.故选：B.3.已知函数，则（）A. B. C.e D.【正确答案】D【分析】求出函数的导数，再利用导数的定义求得答案.【详解】函数，求导得，所以.故选：D4.已知函数有极值，则c的取值范围为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】求导得，则，由此可求答案．【详解】解：由题意得，若函数有极值，则，解得，故选：A．5.函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（）A. B.C. D.【正确答案】D【详解】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D．【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：若导函数图象与轴的交点为，且图象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间．6.已知某个函数的部分图象如图所示，则这个函数的解析式可能是（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】根据函数单调性、特殊区间上函数值的正负，以及函数的极限，特殊值，函数增长趋势，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A：，当时，，故，由图可知，当时，所求函数的函数值为正数，故A错误；对B：，当趋近于时，趋近于，与图象不符；也可以如下解释：当时，，又，故恒成立，与图象不符，故B错误；对C：，当时，，又，则，故，而由图可知，当时，所求函数的函数值大于1，故C错误；对D：，，故当时，，，函数单调递减；当时，，，，函数单调递增；当时，，故该函数在处取得极小值，与图象相符，且函数增长趋势也和图象相符，故D正确；故选：D.7.函数有三个零点，则的取值范围为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】根据条件，将问题转化成与有三个交点，再利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调区间，进而可得出的图象，数形结合，即可求解.【详解】因为，易知，所以0不是零点，令，即，得到，令，，则，易知恒成立，由，得到，当时，，时，，时，，所以在单调递增，单调递减，单调递增，又易知，当，且时，，时，，当时，时，，且，当时，时，，所以的图象如图所示，由题知与有三个交点，所以，故选：A.8.已知函数的定义域为，且，，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】由题设不等式整理后构造函数满足，得出在上单调递增，整理待求不等式，利用函数的单调性即可求得.详解】由可得，即，设，，则由可得，在上单调递增.又，由可得，，即，解得.故选：A.关键点点睛：本题主要考查利用构建函数的单调性求抽象不等式的解集的问题，属于难题.解题的关键在于观察已知不等式和题设不等式的组成，提炼出构造函数的基本形式，结合函数定义域和函数值等条件，利用单调性求解抽象不等式.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.已知函数，则（）A.的极值点为 B.的极大值为C. D.只有1个零点【正确答案】BCD【分析】对函数求导，利用函数单调性求极值即可判断A、B；利用函数单调性即可判断C；令函数等于0，求出零点即可判断D.【详解】∵函数，∴，由，得，解得，由，得，解得，∴函数在上单调递增，在上单调递减，∴是函数的极大值点，函数在上取得极大值，，故A错误，B正确；由，得，又∵函数在上单调递减，∴，即，故C正确；由，得，得，即函数只有一个零点，故D正确故选：BCD.10.下列不等式正确的是（）A.当时， B.当时，C.当时， D.当时，【正确答案】ABD【分析】根据选项中的不等关系可构造对应的函数，利用导数可求得函数的单调性和最值，从而得到选项中不等关系的正误.【详解】对于A，令，则，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，，即当时，，A正确；对于B，令，则，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，，即当时，，B正确；对于C，令，则，由A知：，即恒成立，在上单调递增，又，当时，；当时，；即当时，；当时，，C错误；对于D，令，则，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，，即当时，，D正确.故选：ABD.11.英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法——牛顿迭代法，做法如下：如图，设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，则与轴的交点的横坐标，称是的一次近似值；这点作曲线的切线，则该切线与轴的交点的横坐标为，称是的二次近似值；重复以上过程，得的近似值序列，其中，称是的次近似值.这种求方程近似解的方法称为牛顿迭代法．若使用该方法求方程的近似解，则（）A.若取初始近似值为1，则该方程解的二次近似值为B.若取初始近似值为2，则该方程解的二次近似值为C.D.【正确答案】ABD【分析】根据牛顿迭代法求方程近似解的方法，将初始值代入公式计算即可求解.【详解】令，则，当，，，故A正确；当，，，故B正确；因为；；；，∴，故D正确，C错误.故选：ABD三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分．）12.函数的导数______．【正确答案】【分析】利用导数运算法则求解即得.【详解】函数，求导得.故13.已知函数满足，则___________.【正确答案】##【分析】对求导，再代入，进行求解.【详解】，，即，解得：故14.已知函数在处有极大值，则______.【正确答案】分析】求出导函数，由求得值，然后对所得结果加以检验即可．【详解】由已知，可得，令，解得或，由可得，，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数上单调递增，不是极大值点，舍去；由可得，，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，所以是函数的极大值点．综上．故．四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.（1）已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，求的值；（2）曲线在点处的切线与直线平行，求的值；【正确答案】（1）0或；（2）1.【分析】（1）先求得曲线在点处的切线方程，再分和，由切线方程与曲线联立求解；（2）由，求导，得到在点处的切线的斜率为2a，然后根据题意，由求解.【详解】（1）由，得，则，所以曲线在点处的切线方程为，即，当时，由，解得，所以曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点；当时，由，得，由，解得，符合题意；综上：实数的值为0或；（2）由，得，则在点处的切线的斜率为2a，因为曲线在点处的切线与直线平行，所以，解得.16.已知函数（1）判断函数的单调性，并求出的极值；（2）画出函数的大致图像并求出方程的解的个数．【正确答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为，极小值；（2）当时，有个解；当或时，有个解；当时，有个解.【分析】（1）直接对于求导，判断单调性，进而求解极值；（2）由（1）的单调性与极值，最值，画出函数图像，利用数形结合求出的解的个数.【小问1详解】由题意可知，的定义域为，则，令，则，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增.所以故;【小问2详解】由（1）可知作出函数图像，由图，当时，方程的解个数为个；当或时，方程的解个数为个；当时，方程的解个数为个.17.已知函数．（1）若是的极值点，求函数的单调性；（2）在（1）的条件下，当时，求的最值．【正确答案】（1）在上单调递减，在上单调递增．（2）最小值为，最大值为．【分析】（1）求出原函数的导函数，结合求得，代入导函数，得到，再由在上单调递增，且时，可得当时，，单调递减；当x＞1时，，单调递增；（2）由（1）可知，当时，在上单调递减，在上单调递增,计算可得，计算，，比较大小可得最大值.【小问1详解】因为是的极值点，所以，可得．所以，.因为在上单调递增，且时，，所以时，，，单调递减；时，，，单调递增．故在上单调递减，在上单调递增．【小问2详解】在（1）的条件下，在上单调递减，在上单调递增．当时，在上单调递减，在上单调递增．求，，，，∴.所以，当时，求的最小值为，最大值为．18.福州某公园有一个半圆形荷花池（如图所示），为了让游客深入花丛中体验荷花美景，公园管理处计划在半圆形荷花池中设计栈道观景台和栈道、、、，观景台在半圆形的中轴线上（如图，与直径垂直，与不重合），通过栈道把荷花池连接起来，使人行其中有置身花海之感．已知米，，栈道总长度为．（1）求关于的函数关系式．（2）若栈道的造价为每米千元，问：栈道长度是多少时，栈道的建设费用最小？并求出该最小值．【正确答案】（1），（2）栈道长度是时建设费用最小，最小值为千元【分析】（1）根据三角函数的概念分别求、、的长度即可；（2）求出的导函数，得到函数的单调性，进而即可求出最值.【小问1详解】因为在半圆形的中轴线上，，米，，所以，，所以，所以栈道总长度，.【小问2详解】由（1）得，，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当，即时，栈道的建设费用最小，建设费用最小值为千元.19.已知函数（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围.【正确答案】（1）见解析；（2）.【详解】试题分析：（1）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，再对按，进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）问，若，至多有一个零点.若，当时，取得最小值，求出最小值，根据，，进行讨论，可知当时有2个零点.易知在有一个零点；设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.从而可得的取值范围为.试题解析：（1）的定义域为，，（ⅰ）若，则，所以在单调递减.（ⅱ）若，则由得.当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增.（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一个零点.（ⅱ）若，由（1）知，当时，取得最小值，最小值为.①当时，由于，故只有一个零点；②当时，由于，即，故没有零