2024-2025学年江苏省东台市高二下册第一次月考数学检测试题（附解析）

2024-2025学年江苏省东台市高二下学期第一次月考数学检测试题一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.）1.（）A.2 B.22 C.12 D.10【正确答案】A【分析】根据排列数与组合数的计算公式，准确计算，即可求解.【详解】因为，所以.故选：A.2已知向量，，若，则（）A. B.2 C. D.1【正确答案】A【分析】根据题意，由向量共线列出方程，代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可设，即，即，解得，所以.故选：A3.在的二项展开式中，含的项系数是（）A.132 B.240 C.480 D.196【正确答案】B【分析】利用二项式定理的原理分析取得的方式，就可求出其系数.【详解】可以看成6个因式相乘，要得到，只需两个因式取，其他4个因式取常数即可，所以的系数为.故选：B4.已知空间中，点，则平面的一个法向量为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据题意求出、，设平面的一个法向量为，利用法向量与平面垂直的坐标表示即可求解.【详解】由题，，设平面的一个法向量为，则，令，得.故选：B5.现从6名学生干部中选出3名同学分别参加全校资源、生态和环保3个夏令营活动，则不同选派方案的种数是（）A.20 B.90 C.120 D.240【正确答案】C【分析】根据排列可求不同的选派方案的种数.【详解】共有种不同的选派方案．故选：C.6.已知平行六面体的所有棱长均为，，则对角线的长为（）A B. C. D.【正确答案】D【分析】根据向量的线性运算，可得的表达式，两边平方即可求得.【详解】由已知：平行六面体所有棱长均为，，则，又因为：，同理可得：，则，则.故选.7.《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则（）A. B.4 C.2 D.3【正确答案】B【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求.【详解】由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建系如图，设，因为，所以，，设异面直线与所成角为，则，解得，即.故选：B.8.地图涂色是一类经典的数学问题.如图，用4种不同的颜色涂所给图形中的4个区域，要求相邻区域的颜色不能相同，则不同的涂色方法有（）种.A.84 B.72 C.48 D.24【正确答案】A【分析】先将区域分为上下左右，再分上下颜色相同与不同，最后用分步计数原理求解.【详解】将图形区域氛围上下左右，若上下颜色相同，则上有4种，左有3种，右有3种，共有种；若上下颜色不同，则上有4种，下有3种，左右各有两种，共有种，所以共有种，故选：A二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）9.关于空间向量，以下说法正确的是（）A.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B.若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面C.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线D.已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底【正确答案】AD【分析】利用空间向量共面的概念可判断A选项；利用共面向量的推论可判断B选项；利用线面位置关系与空间向量的关系可判断C选项；利用空间向量基底的概念可判断D选项.【详解】对于A选项，空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，A对；对于B选项，若、、、四点共面，则存在、，使得，则对空间中任意一点，，可得，且，因为，且，所以，、、、四点不共面，B错；对于C选项，因为，即，故或，C错；对于D选项，假设、、共面，则存在、，使得，所以，，则、、共面，与题设矛盾，故也是空间的一个基底，D对.故选：AD.10.在10件产品中，有7件合格品，3件不合格品，从这10件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有（）A.抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种B.抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种C.抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种D.抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种【正确答案】ACD【分析】抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法为不合格品1件、合格品2件，根据分步计数原理可知A正确，B错误；抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法分两种做法：（ⅰ）3件不合格品中有1件不合格、2件合格；2件不合格、1件合格；3件都不合格；然后利用分类计数法求解.（ⅱ）总的取法数减去抽取的三件都为合格品的取法即为所求.由此判断CD正确【详解】解：由题意得：对于A、B选项：抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法为3件不合格品中抽取1件有种取法，7件合格品种抽取2件有种取法，故共有中取法，故A正确；对于选项C：抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法分三种情况：①抽取的3件产品中有1件不合格、有2件合格，共有种取法；②抽取的3件产品中有2件不合格、有1件合格，共有种取法；③抽取的3件产品都不合格，种取法.故抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种，故B错误，C正确；对于选项D：10件产品种抽取三件的取法有，抽出的3件产品中全部合格的取法有种，抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种，故D正确.故选：ACD11.若，则下列正确的是（）A. B.C. D.【正确答案】BC【分析】利用赋值法计算可判断A错误，BC正确，对二项展开式两边同时求导并令计算可判断D错误.【详解】对于A：令，则，故A错误；对于B：令，则，故B正确；对于C：令，则，故C正确；对于D，由，两边同时求导得，令，则，故D错误.故选：BC.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.若，则______.【正确答案】或【分析】由组合数的性质即可得出关于的等式，解之即可.【详解】因为，则或，且，解得或.故或.13.已知直线过点和点，则点到直线的距离为____________.【正确答案】【分析】取直线的一个单位方向向量为，由点到直线的距离公式为，代入运算，即可得解．【详解】由题意知，直线的一个方向向量为,0,，取直线的一个单位方向向量为，又为直线外一点，且直线过点,2,，，,,，，点到直线的距离为．故．14.书架上某一层有本不同的书，新买了本不同的书插进去，要保持原来本书的顺序不变，则不同的插法种数为______.（用数字作答）【正确答案】【分析】原问题等价于将本书放在书架上，保持原来的本书顺序不变，结合倍缩法即可得解.【详解】原问题等价于将本书放在书架上，保持原来的本书顺序不变，由倍缩法可知，不同的插法种数为种.故答案为.四、解答题（本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程和验算步骤.）15.（1）解不等式；（2）计算：；（结果用数字表示）【正确答案】（1）；（2）【分析】（1）由已知条件可得出关于的不等式，可解出的可能取值，再结合排列数公式可解出的值；（2）利用组合数的运算性质可得出所求代数式的值.【详解】（1）对于不等式，有，可得，因为，所以，即，可得，解得.又因为，解得；（2）由题意可知：.16.如图，在直三棱柱中，、分别是、的中点，已知，.（1）求到平面的距离；（2）求平面与平面夹角的余弦值.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）推导出，以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离；（2）利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值.小问1详解】，，，，.由直三棱柱中，底面，、底面，，.以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则、、、，所以，，，设平面的法一个向量为，则，令，则，，所以，设到平面的距离为，则.【小问2详解】设平面的一个法向量为，则，取，则，可得，设平面与平面夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.17.3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方法数.（1）全体站成一排，甲、乙不在两端；（2）全体站成一排，男生站一起、女生站在一起；（3）全体站成一排，男生彼此不相邻.【正确答案】（1）2400（2）288（3）1440【分析】（1）特殊元素优先排求解；（2）利用捆绑法求解；（3）利用插空法求解.【小问1详解】先在中间五个位置选两个位置安排甲，乙，然后剩余5个人在剩余五个位置全排列，所以有种.【小问2详解】相邻问题，利用捆绑法，共有种.【小问3详解】即不相邻问题，先排好女生共有种排法，男生在5个空中安插，共有种排法，所以共有种.18.已知的展开式的第2项与第3项的二项式系数之比是.（1）求的值；（2）求展开式的常数项；（3）求展开式中系数绝对值最大的项.【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）由第2项与第3项的二项式系数之比是，可列出关于的方程再求解；（2）结合展开式的通项公式，得出指数的表达式，令其为零即可求解；（3）由结合数列的最值列出的不等式组，解得的范围即可.【小问1详解】依题意可得第2项的二项式系数为，第3项的二项式系数为，所以，即，则，或（舍去）；【小问2详解】展开式的通项为，令，解得，所以，所以常数项为第5项60.【小问3详解】系数的绝对值为，则所以，即，，所以，因此，系数绝对值最大的项是.19.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，，，平面，且，点在棱上，点为中点．（1）证明：若，则直线平面；（2）求二面角的正弦值；（3）是否存在点，使与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【正确答案】（1）证明见详解（2）（3）存在，或【分析】（1）利用面面平行证明线面平行；（2）利用坐标法求二面角余弦值，在求解该角的正弦值；（3）设，可表示点与，再根据线面夹角向量法求得即可.【小问1详解】如图所示，在线段上取一点，使，连接，因为，则,所以，又平面，平面，所以平面，又，，点为中点，，所以平行且等于，即四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，又，所以平面平面，因为平面，平面所以在平面内一定存在一条直线与直线平行，所以平面.【小问2详解】如图所示