公务员考试-经济基础知识模拟题-经济数学-极限与连续性

PAGE1.设函数f(x)={x^2,x<1;2x+1,x≥1},求lim(x→1)f(x)的值。

-A.2

-B.3

-C.4

-D.不存在

**参考答案**:D

**解析**:根据极限的定义，需要分别求左极限和右极限。当x→1-时,lim(x→1-)f(x)=1^2=1;当x→1+时,lim(x→1+)f(x)=2*1+1=3。由于左极限≠右极限，因此lim(x→1)f(x)不存在。

2.如果lim(x→a)f(x)=∞,那么下列结论哪个是正确的?

-A.f(a)=∞

-B.当x无限接近a时，f(x)也无限大。

-C.对于任意大的正数M，存在x0，使得当x>x0时，f(x)>M

-D.f(x)在x=a处有局部极大的值。

**参考答案**:C

**解析**:lim(x→a)f(x)=∞的含义是，对于任意给定的正数M,存在一个x0，使得当x>x0时，f(x)>M。

3.函数f(x)=sin(1/x)在x=0处是否连续?

-A.连续

-B.不连续

-C.有间断点

-D.间断点，且为跳跃间断

**参考答案**:B

**解析**:lim(x→0)sin(1/x)不存在，因此f(x)=sin(1/x)在x=0处不连续。

4.考虑函数f(x)=|x|，在x=0处，它的可导性如何？

-A.可导

-B.不可导

-C.导数为1

-D.导数为-1

**参考答案**:B

**解析**:当x→0-时，lim(x→0-)|x|=0;当x→0+时,lim(x→0+)|x|=0。但是|x|在x=0处不可导，因为左导数和右导数不相等。

5.下列关于函数连续性的说法,哪个是错误的?

-A.如果函数f(x)在点x=a处连续，则f(a)必须存在。

-B.如果函数f(x)在点x=a处存在，且有定义，那么f(x)在该点连续。

-C.如果函数f(x)在区间(a,b)上连续，那么lim(x→a)f(x)存在，且等于f(a)。（a,b∈(a,b))

-D.如果一个函数在某个点不连续，则它在该点的极限存在。

**参考答案**:D

**解析**:一个函数在某个点不连续，意味着该点的极限可能不存在或者是无穷大。极限存在的必要条件是函数在该处有定义，但这并不意味着反过来也成立。

6.设f(x)=x^3+2x-1。那么lim(x→2)f(x)的值为：

-A.7

-B.8

-C.9

-D.10

**参考答案**:A

**解析**:根据连续函数的性质，如果f(x)在x=a处连续,则lim(x→a)f(x)=f(a)。由于f(x)=x^3+2x-1在x=2处连续，因此lim(x→2)f(x)=f(2)=2^3+2*2-1=8+4-1=11。

7.考虑函数f(x)={(1/x,x>0;x,x≤0}。lim(x→0)f(x)的值是：

-A.1

-B.0

-C.无穷大

-D.不存在

**参考答案**:D

**解析**:当x→0+时，lim(x→0+)f(x)=1/0+=+∞;当x→0-时，lim(x→0-)f(x)=0。由于左右极限不相等，故极限不存在。

8.若lim(x→a)f(x)=L,则下列结论中不正确的为：

-A.对于任意ε>0,存在δ>0,当0<|x-a|<δ时，|f(x)-L|<ε

-B.L为f(x)在x=a处的极限值

-C.L是f(x)在x=a处的一个邻域内的函数值的极限

-D.在x=a附近的某个邻域内，f(x)的值可以任意接近L。

**参考答案**:B

**解析**:极限的定义中强调的是lim(x→a)f(x)=L,这意味着f(a)的取值对极限结果没有影响。

9.一个经济模型中，某种商品的月销售量f(x)(x为价格)随价格变化，如果lim(x→1)f(x)=1000，那么下列说法哪个最准确？

-A.当价格为1时，月销售量一定是1000.

-B.当价格接近1时，月销售量会接近1000。

-C.当价格为1时，月销售量必须等于1000。

-D.无论价格多大，月销售量总是等于1000.

**参考答案**:B

**解析**:lim(x→a)f(x)=L表示x趋近于a时，f(x)趋近于L。

10.一个银行账户的利息计算方式为f(x)(x为存款时间)，若lim(x→∞)f(x)=10%，那么：

-A.银行利率一定为10%。

-B.银行利率随着存款时间无限增大，会趋近于10%。

-C.银行利率始终为10%。

-D.银行利率会随存款时间变化，但长期来看会趋近于10%。

**参考答案**:D

**解析**:极限描述的是函数在无穷远处趋近的一个值。

11.若f(x)在x=a处不连续，则下列说法中哪个一定是正确的？

-A.lim(x→a)f(x)不存在

-B.f(a)不存在

-C.lim(x→a)f(x)存在且lim(x→a)f(x)!=f(a)

-D.f(a)存在且f(a)!=lim(x→a)f(x)

**参考答案**C

**解析**:函数在某点不连续的三个条件：1，极限不存在；2，函数值不存在；3，极限和函数值存在，但其值相等。

12.已知lim(x→0)(sinx/x)=1.请问当x非常接近于0时，sinx与x的关系是近似为：

-A.相等

-B.(sinx)/x约为1

-C.sinx约为x

-D.sinx约为2x

**解析**:根据极限的意义，当x非常接近于0时，sinx/x约等于1，所以sinx约等于x。

**答案**:C

13.若函数f(x)=x^2在x=3处连续,那么lim(x→3)f(x)的值为：

-A.3

-B.6

-C.9

-D.12

**答案**:C

**解析**:根据连续函数的性质，lim(x→a)f(x)=f(a)。

14.函数f(x)=|x|在x=0处：

-A.连续且可导

-B.连续但不可导

-C.不连续

-D.导数为0

**答案**:B

**解析**:函数绝对值在某个点不满足导数的定义。

15.若f(x)在区间[0,∞)上连续，且f(0)=5，那么当x趋向于无穷大时，f(x)的行为：

-A.必须趋于5

-B.可能趋于5，也可能不趋于5

-C.必须不趋于5

-D.无法确定

**答案**:B

**解析**:连续函数的值可以根据区间内的值确定，但无穷远的值是无法推断的。

希望这些题目对您有所帮助！

21.计算极限lim(x→2)(x²-4)/(x-2)。

-A.无限大

-B.0

-C.4

-D.2

**参考答案**:C

**解析**:可以进行因式分解，(x²-4)=(x-2)(x+2)，则(x²-4)/(x-2)=x+2。当x→2时,x+2→4。

22.函数f(x)=|x|在x=0处是：

-A.连续且可导

-B.连续但不可导

-C.不连续

-D.有无意义的导数

**参考答案**:B

**解析**:|x|函数在x=0处左极限和右极限相等，因此连续。但因为在x=0处不可导，所以不可导。

23.设函数f(x)=x³，求极限lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h。

-A.x²

-B.3x²

-C.x³

-D.0

**参考答案**:B

**解析**:此题为导数求法。f'(x)=3x²，因此lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h=3x²。

24.若lim(x→∞)f(x)=3,则以下哪项关于函数f(x)的陈述是正确的？

-A.f(x)在x=0处为3

-B.当x非常大时，f(x)趋近于3

-C.f(x)必须等于3

-D.f(x)不存在

**参考答案**:B

**解析**:极限的定义表示当变量x趋近于无穷大时，函数f(x)的值趋近于3。并非在任意点等于3。

25.假设函数f(x)=sin(x)，计算lim(x→0)(sin(x)-x)/x²。

-A.无限大

-B.1

-C.-1

-D.0

**参考答案**:C

**解析**:可以利用洛必达法则，求导后得到cos(x)。继续利用洛必达法则，求导后得到-sin(x)。当x→0时，-sin(x)=0。因此答案为0。

26.如果函数f(x)在点x=a处不连续，那么以下哪种情况一定成立？

-A.极限lim(x→a)f(x)存在

-B.极限lim(x→a)f(x)不存在

-C.f(a)不存在

-D.f(a)等于极限lim(x→a)f(x)

**参考答案**:B

**解析**:函数不连续的一个必要条件：该点极限不存在。如果存在，但极限不等于函数值，也称为不连续。

27.已知lim(x→a)g(x)=0，且lim(x→a)f(x)=c(c≠0)，那么lim(x→a)[f(x)g(x)]是：

-A.0

-B.∞

-C.c

-D.0/0

**参考答案**:C

**解析**:利用极限的性质，lim[f(x)g(x)]=limf(x)*limg(x)。因此，答案是c。

28.考虑函数f(x)={x,x<0;x²,x≥0}。f(x)在x=0处是否连续？

-A.连续

-B.不连续

-C.无法确定

-D.仅在左极限存在时连续

**参考答案**:B

**解析**:左极限lim(x→0-)f(x)=0，右极限lim(x→0+)f(x)=0。虽然左右极限相等，但是函数值f(0)=0²=0。为了连续，需满足左右极限等于函数值。因此满足。

29.函数f(x)=1/x在x=0处：

-A.连续

-B.不连续，且极限不存在

-C.不连续，但极限存在

-D.可导

**参考答案**:C

**解析**:limx→01/x不存在，因此不连续，且极限存在。

30.假设lim(x→∞)(3x²+2x-1)/(5x²-x)=L。那么L的值是多少？

-A.3/5

-B.3

-C.0

-D.1/5

**参考答案**:B

**解析**:计算极限时，可以分子分母除以x²，得到(3+2/x-1/x²)/(5-1/x)。当x→∞时，分式趋向于3/5。

31.函数f(x)=|x-1|在x=1处：

-A.连续且可导

-B.连续但不可导

-C.不连续

-D.无意义的导数

**参考答案**:B

**解析**:绝对值函数在x=1处连续，不可导。

32.设f(x)=x+1,g(x)=x²+1。求lim(h→0)[g(x+h)-g(x)]/h。

-A.2x

-B.x²

-C.2x+1

-D.1

**参考答案**:A

**解析**:此题为导数求法。g'(x)=2x，因此lim(h→0)[g(x+h)-g(x)]/h=g'(x)=2x。

33.函数f(x)=e^x在x=0处：

-A.不连续

-B.连续且可导

-C.可导但不可微

-D.连续但不可导

**参考答案**:B

**解析**:函数e^x在任何点都连续且可导。

34.假设lim(x→a)[f(x)/g(x)]=∞,且lim(x→a)f(x)=0,lim(x→a)g(x)=0。那么，以下哪个关于f(x)和g(x)的关系是正确的？

-A.f(x)>0,g(x)>0且f(x)比g(x)增长得快。

-B.f(x)<0,g(x)<0且f(x)比g(x)增长得慢。

-C.f(x)>0,g(x)>0且f(x)比g(x)增长得慢。

-D.f(x)<0,g(x)<0且f(x)比g(x)增长得快。

**参考答案**:A

**解析**:为了使分式极限无限大，分子正无穷，分母趋向于零，且分母也是正值。

35.函数f(x)=|x|在x=0处：

-A.连续且可导

-B.连续但不可导

-C.不连续

-D.导数为0

**参考答案**:B

**解析**:绝对值函数在x=0处连续，不可导。

36.函数f(x)=sin(2x)/x,当x趋向于0时，其极限是什么？

-A.无穷大

-B.2

-C.1

-D.0

**答案:**B

**解析:**可以使用洛必达法则。

f'(x)=2cos(2x)

g'(x)=1

limx->0(2cos(2x)/1)=2

37.已知f(x)是一个连续函数，且f(2)=1。当x趋近于2时，[f(x)-1]/[x-2]的极限是多少？

-A.0

-B.1

-C.f'(2)

-D.无穷大

**答案：C**

**解析：**根据洛必达法则，[f(x)-1]/[x-2]=f'(2)

38.如果