湘豫名校联考2024-2025学年高三春季学期第二次模拟考试数学试题及答案

2024—2025学年高三春季学期第二次模拟考试注意事项：一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“Vx∈R,2-+2¹≥1”的否定是A.Vx∈R,2-+2¹<1B.3x∈R,2-+2*≥1C.Vx∈R,2-#+2²<1D.3x∈R,2-+2*<12.已知z=1-i,则在复平面内，复数对应的点位于A.实轴上B.虚轴上C.直线y=x上D.直线y=-x上了“校园安全知识”竞赛.现按照分层随机抽样的方法，分别抽取初中生m中生的平均成绩为72分，n名高中生的平均成绩为x分数学试题第1页(共6页)4.已知|OA|=|OB|=1,|OC|=√2,OA+OB+OC=0,a,则α=A.240°B.225°5.已知函数f(x)为R上的奇函数，若函数y=g(x+2)与y=f(x)的图象关于A.IB.0C.-16.若函数f(x)=sinwx(w>0)在区间(π,2π)内没有最小值，则w的取值范围为A.7.已知集合M={(x,y)|(x-1)²+y²=4},曲线C上的点构成集合N=,则曲线C上的点到直线y=x+2√5的最大距离为BB8.已知函数则满足f(5-a)<f(a+1)的实数a的取值范围为A.(1,十0)B.(2,十一)二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的9.巳知数列{a.)的通项公式为a.=n²-8n,则B.{a。)中的最小项为-16数学试题第2页(共6页)数学试题第3页(共6页) A.AO=AB+AA₁+AC C.AO⊥平面A₁BCD.B₁到平面A₁BC的距离A.曲线C关于原点O对称B.曲线C上所有的点都在椭内部C.曲线C在由直线x=±2√3和y=±2所围成的矩形框里(含边界)D.存在点M,使得∠F₁MF₂为钝角13.已知抛物线E:y²=4x的焦点为F,过点F且不与x轴垂直的直线与E交于A,B两点，过AB的中点M作x轴的平行线交E于N点，则,则bc的最小值为;若,则的最大值为 .(第一空2分，第二空3分)数学试题第4页(共6页)四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)为探究某药物对小鼠的生长抑制作用，将生长情况相同的80只小鼠随机均分为两组：对照组(不含药物)和实验组(添加药物),饲养相同时间后，分别测量这两组小鼠的体重增加量(单位：g),并对数据进行分析，得到如下频率分布直方图：(1)估计实验组小鼠体重增加量的80%分位数m;(2)将这两组小鼠的体重增加量，从低到高分为三个等级：等级较轻中等较重假设对照组和实验组小鼠体重增加量的等级结果相互独立.根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.现从实验组和对照组中各随机抓取一只小鼠，求抓取的实验组小鼠体重增加量的等级高于对照组小鼠体重增加量的等级的概率.数学试题第5页(共6页)16.(本小题满分15分)Sn+1的等差中项. 17.(本小题满分15分)已知双曲线C的左、右顶点分别为A₁,A₂,虚轴的两个端点分别为B₁(0,-b),B₂(0,b),点E(2,2√3)在C上，四边形(1)求C的标准方程；(2)过点D(-1,2)的直线与C交于P,Q两点，直线A₁P,A₁Q分别与y轴数学试题第6页(共6页)18.(本小题满分17分)已知函数f(x)=e-ax-3(a∈R)(2)若f(x)有两个零点x₁,x₂,且x₁<x₂.19.(本小题满分17分)已知四面体ABCD(1)若该四面体为正四面体，球O与其四个面都相切，证明：该四面体与球O的体积之比等于它们的表面积之比；(2)设点G是满足GA+GB+GC+GD=0,过点G的平面Ω分别与直线AB,AC,AD交于点P,Q,R,且AP=λ₁AB,AQ=λ2AC,AR=λ3AD,证明(3)若空间内一点H满足aHA+bHB+cHC+dHD=0(a,b,c,d均为2024-2025学年高三春季学期第二次模拟考试数学参考答案题号123456789DCDCBDAB一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.D【试题立意】本题考查全称量词命题的否定.【解析】全称量词命题的否定是存在量词命题，对命题否定需要改量词、否结论.故选D.2.C【试题立意】本题考查复数的运算及其几何意义.【解析】令,所以在复平面内z对应点的坐标为(2,2),位3.D【试题立意】本题考查分层随机抽样及数字特征.4.C【试题立意】本题考查向量的夹角.【解析】由题意，得OA+OC=-OB,等式两边平方，得OA²+OC+2OA·OC=OB²,即1+2+2√2cos解得,所以α=135°.故选C.5.B【试题立意】本题考查函数奇偶性和图象的对称性等.【解析】与函数y=f(x)的图象关于点(1,0)对称的函数为y=-f(为R上的奇函数，所以f(0)=0,所以g(4)=g(2+2)=-f(2-2)=-f(O)=6.D【试题立意】本题考查三角函数的图象与性质.或1.所以w的取值范围为点点曲【解析】令g(x)=xln(x²+3),则g(2-x)=(2-x)In[(2-x)²+3]=(2-x)In(7-4x+x²),从而g(x)=二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【解析】设AB=a,AC=b,AA=c,则故选AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【解析】当“宸宸”“莲莲”之间有“壮壮”“美美”“琮琮”三张卡片时，将“壮壮”“美美”“琮琮”捆绑后贴在“宸宸”“莲莲”之间，“壮壮”“美美”“琮琮”排序有A³种排法，“宸宸”“莲莲”排序有A种排法，共有A³A²=12种排法；当“宸宸”“莲莲”之间只有“壮壮”“美美”两张卡片时，将“壮壮”“美美”捆绑后贴在“宸宸”和“莲莲”之间，“壮壮”“美美”排序有A³种排法，“宸宸”“莲莲”排序有A种排法，再将“壮壮”“美美”“宸宸”“莲莲”视为一个整体，与“琮琮”排序，有A种排法，共有A₂AA=8种排法.综上所述，共有12+8=20种排法.本题考查抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系及弦长问题.【解析】显然直线AB的斜率存在且不为0,设直线AB的方程为y=k(x-1),代入y²=4x,得k²x²-2(k²+14.6(2分)4(3分)【试题立意】本题考查正、余弦定理，以及三角恒等变换.【解析】若,则过点A且与BC平行的直线与以BC为直径的圆必有公共点，从而角A可取到90°.由,得ah=bcsinA≤bc(当且仅当A=90°时取等号),所以当A=90°时，bc取最小值为.若,解得a²=2√3bcsinA.由余弦定理，得2√3bcsinA=A,整理，得所以当时取最大值为4.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.【试题立意】本题考查百分位数及相互独立事件概率的计算.【解析】(1)因为(0.015+0.025+0.035+0.045)×5=0.6<0.8,所以80%分位数落在(20,25)内.……………3分则0.6+0.050×(m-20)=0.8,解得m=24.(2)记事件S₁=“实验组小鼠体重增加量的等级为中等”,事件S₂=“实验组小鼠体重增加量的等级为较重”,则P(S₁)=(0.035+0.045)×5=0.4,P(S₂)=(0.030+0.050)×5=0.4;7分记事件D₁=“对照组小鼠体重增加量的等级为较轻”,事件D₂=“对照组小鼠体重增加量的等级为中等”,则P(D₁)=(0.010+0.020)×5=0.15,P(D₂)=(0.030+0.040)×5=0.35.记“实验组小鼠体重增加量的等级高于对照组小鼠体重增加量的等级”为事件E,则故实验组小鼠体重增加量的等级高于对照组小鼠体重增加量的等级的概率为0.26.…13分16.【试题立意】本题考查等差数列的性质及数列求和的综合问题.因为{a,}的各项均为正数，所以{S,}一定为递增数列，从而S,≥a₁=1…………3分所以{√S}是首项为1,公差为1的等差数列………………………5分(2)由(1),得√S=1+(n-1)×1=n,亦即S,=n²,从而S,+=(n+1)²从而a,=2n-1,又a₁=1,所以a,=2n-1…………8分所以{a,}的通项公式为a,=2n-1……………………9分bₙ=(-1)“·(S,+an)=(所以当k为奇数时，b+b+1=(k²+2k-1)(-1)*+[(k+1)²+2(k+1)-1](-1)+¹=2k+3…………………12分=(2×1+3)+(2×3+3)+(2×5+3)+…+[2(2n-3)+3]+[2(2n-1)+3]15分…………………15分17.【试题立意】本题考查双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系及定值问题.【解析】(1)根据双曲线的几何性质，得四边形A₁B₁A₂B₂为菱形，其周长为4√a²+b²=4√5,联立①②,解得a=1,b=2………………5分故C的标准方程为……………………(2)显然，直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y-2=k(x+1),联立方程消去y,得(4-k²)x²-2k(k+2)x-k²-4k-8=0………………8分首先，解得k>-2且k≠2;直线A₁P直线A₁Q所以的方程为的方程为,即;……………1l分12分12分【解析】(1))恒成立，即恒成立.调递减，从而p(x)<p(O)=0,不符合题意.一方面，由(1)可知，取a=1,当x≥0时,即e≥1+x,即x≥In(1+x),易知当x>另一方面，由(1)知所以f(x)在区间(Ina,2a+3)内有一个零点x₂.综上所述，a的取值范围是(0,+○).………………………13分(ii)证明：由f(x₁)=f(x₂)=0,得e'l=ax+3,e'2=ax2+3,.………………14分要证3e'1+e'2>3a成立，只需证即证,即证.………15分设,则所以h(t)在区间(0,+○)上单调递增，所以h(t)>h(0)=0,即(*)式成