安徽省合肥双凤高级中学2025届高三年级五校联考（二）数学试题

安徽省合肥双凤高级中学2025届高三年级五校联考（二）数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数的最小正周期是，则其图象向左平移个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（）A． B． C． D．2．设、分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则（）A． B．0 C．1 D．33．已知椭圆的短轴长为2，焦距为分别是椭圆的左、右焦点，若点为上的任意一点，则的取值范围为（）A． B． C． D．4．已知集合，集合，则等于（）A． B．C． D．5．已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则下列结论正确的是（）A． B．复数的共轭复数是C． D．6．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A． B．C． D．7．函数的图像大致为（）A． B．C． D．8．的展开式中，满足的的系数之和为（）A． B． C． D．9．已知、，，则下列是等式成立的必要不充分条件的是（）A． B．C． D．10．若,,,则下列结论正确的是()A． B． C． D．11．已知复数z＝（1+2i）（1+ai）（a∈R），若z∈R，则实数a＝（）A． B． C．2 D．﹣212．过抛物线的焦点作直线与抛物线在第一象限交于点A，与准线在第三象限交于点B，过点作准线的垂线，垂足为.若，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．对于任意的正数，不等式恒成立，则的最大值为_____.14．在三棱锥中，，，两两垂直且，点为的外接球上任意一点，则的最大值为______.15．如图所示的流程图中，输出的值为______.16．在二项式的展开式中，的系数为________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知正项数列的前项和.（1）若数列为等比数列，求数列的公比的值；（2）设正项数列的前项和为，若，且.①求数列的通项公式；②求证：.18．（12分）已知函数，(其中，).（1）求函数的最小值.（2）若，求证：.19．（12分）某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过度的部分按元/度收费，超过度但不超过度的部分按元/度收费，超过度的部分按元/度收费．（I）求某户居民用电费用（单位：元）关于月用电量（单位：度）的函数解析式；（Ⅱ）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这户居民中，今年1月份用电费用不超过元的占，求，的值；（Ⅲ）在满足（Ⅱ）的条件下，若以这户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点代替，记为该居民用户1月份的用电费用，求的分布列和数学期望.20．（12分）已知中，内角所对边分别是其中.（1）若角为锐角，且，求的值；（2）设，求的取值范围.21．（12分）已知椭圆：，不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于，两点.（Ⅰ）若线段的中点坐标为，求直线的方程；（Ⅱ）若直线过点，点满足（，分别为直线，的斜率），求的值.22．（10分）已知公比为正数的等比数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】

由三角函数的周期可得，由函数图像的变换可得，平移后得到函数解析式为，再求其对称轴方程即可.【详解】解：函数的最小正周期是，则函数，经过平移后得到函数解析式为，由，得，当时，.故选D.【点睛】本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换，属基础题.2、C【解析】

先根据奇偶性，求出的解析式，令，即可求出。【详解】因为、分别是定义在上的奇函数和偶函数，，用替换，得，化简得，即令，所以，故选C。【点睛】本题主要考查函数性质奇偶性的应用。3、D【解析】

先求出椭圆方程，再利用椭圆的定义得到，利用二次函数的性质可求，从而可得的取值范围.【详解】由题设有，故，故椭圆，因为点为上的任意一点，故.又，因为，故，所以.故选：D.【点睛】本题考查椭圆的几何性质，一般地，如果椭圆的左、右焦点分别是，点为上的任意一点，则有，我们常用这个性质来考虑与焦点三角形有关的问题，本题属于基础题.4、B【解析】

求出中不等式的解集确定出集合，之后求得.【详解】由，所以，故选：B.【点睛】该题考查的是有关集合的运算的问题，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法，集合的运算，属于基础题目.5、D【解析】

首先求得，然后根据复数乘法运算、共轭复数、复数的模、复数除法运算对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】由题意知复数，则，所以A选项不正确；复数的共轭复数是，所以B选项不正确；，所以C选项不正确；，所以D选项正确.故选：D【点睛】本小题考查复数的几何意义，共轭复数，复数的模，复数的乘法和除法运算等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，数形结合思想.6、A【解析】试题分析：由题意，得，解得，故选A．考点：函数的定义域．7、A【解析】

根据排除，，利用极限思想进行排除即可．【详解】解：函数的定义域为，恒成立，排除，，当时，，当，，排除，故选：．【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数值的符号以及极限思想是解决本题的关键，属于基础题．8、B【解析】

，有，，三种情形，用中的系数乘以中的系数，然后相加可得．【详解】当时，的展开式中的系数为．当，时，系数为；当，时，系数为；当，时，系数为；故满足的的系数之和为．故选：B．【点睛】本题考查二项式定理，掌握二项式定理和多项式乘法是解题关键．9、D【解析】

构造函数，，利用导数分析出这两个函数在区间上均为减函数，由得出，分、、三种情况讨论，利用放缩法结合函数的单调性推导出或，再利用余弦函数的单调性可得出结论.【详解】构造函数，，则，，所以，函数、在区间上均为减函数，当时，则，；当时，，.由得.①若，则，即，不合乎题意；②若，则，则，此时，，由于函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，则，；③若，则，则，此时，由于函数在区间上单调递减，函数在区间上单调递增，则，.综上所述，.故选：D.【点睛】本题考查函数单调性的应用，构造新函数是解本题的关键，解题时要注意对的取值范围进行分类讨论，考查推理能力，属于中等题.10、D【解析】

根据指数函数的性质，取得的取值范围，即可求解，得到答案.【详解】由指数函数的性质，可得，即，又由，所以.故选：D.【点睛】本题主要考查了指数幂的比较大小，其中解答中熟记指数函数的性质，求得的取值范围是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.11、D【解析】

化简z＝（1+2i）（1+ai）=，再根据z∈R求解.【详解】因为z＝（1+2i）（1+ai）=，又因为z∈R，所以，解得a＝-2.故选：D【点睛】本题主要考查复数的运算及概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题.12、C【解析】

需结合抛物线第一定义和图形，得为等腰三角形，设准线与轴的交点为，过点作，再由三角函数定义和几何关系分别表示转化出，，结合比值与正切二倍角公式化简即可【详解】如图，设准线与轴的交点为，过点作.由抛物线定义知，所以，，，，所以.故选：C【点睛】本题考查抛物线的几何性质，三角函数的性质，数形结合思想，转化与化归思想，属于中档题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

根据均为正数，等价于恒成立，令，转化为恒成立，利用基本不等式求解最值.【详解】由题均为正数，不等式恒成立，等价于恒成立，令则，当且仅当即时取得等号，故的最大值为.故答案为：【点睛】此题考查不等式恒成立求参数的取值范围，关键在于合理进行等价变形，此题可以构造二次函数求解，也可利用基本不等式求解.14、【解析】

先根据三棱锥的几何性质，求出外接球的半径，结合向量的运算，将问题转化为求球体表面一点到外心距离最大的问题，即可求得结果.【详解】因为两两垂直且，故三棱锥的外接球就是对应棱长为2的正方体的外接球.且外接球的球心为正方体的体对角线的中点，如下图所示：容易知外接球半径为.设线段的中点为，故可得，故当取得最大值时，取得最大值.而当在同一个大圆上，且，点与线段在球心的异侧时，取得最大值，如图所示：此时，故答案为：.【点睛】本题考查球体的几何性质，几何体的外接球问题，涉及向量的线性运算以及数量积运算，属综合性困难题.15、4【解析】

根据流程图依次运行直到，结束循环，输出n，得出结果.【详解】由题：，，，结束循环，输出.故答案为：4【点睛】此题考查根据程序框图运行结果求输出值，关键在于准确识别循环结构和判断框语句.16、60【解析】

直接利用二项式定理计算得到答案.【详解】二项式的展开式通项为：，取，则的系数为.故答案为：.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）①；②详见解析.【解析】

（1）依题意可表示，，相减得，由等比数列通项公式转化为首项与公比，解得答案，并由其都是正项数列舍根；（2）①由题意可表示，，两式相减得，由其都是正项并整理可得递推关系，由等差数列的通项公式即可得答案；②由已知关系，表示并相减即可表示递推关系，显然当时，成立，当，时，表示，由分组求和与正项数列性质放缩不等式得证.【详解】解：（1）依题意可得，，两式相减，得，所以，因为，所以，且，解得.（2）①因为，所以，两式相减，得，即.因为，所以，即.而当时，，可得，故，所以对任意的正整数都成立，所以数列是等差数列，公差为1，首项为1，所以数列的通项公式为.②因为，所以，两式相减，得，即，所以对任意的正整数，都有.令，而当时，显然成立，所以当，时，，所以，即，所以，得证.【点睛】本题考查由前n项和关系求等比数列公比，求等差数列通项公式，还考查了由分组求和表示数列和并由正项数列放缩证明不等式，属于难题.18、（1）.（2）答案见解析【解析】

（1）利用绝对值不等式的性质即可求得最小值；（2）利用分析法，只需证明，两边平方后结合即可得证.【详解】（1），当且仅当时取等号，∴的最小值；（2）证明：依题意，，要证，即证，即证，即证，即证，又可知，成立，故原不等式成立.【点睛】本题考查用绝对值三角不等式求最值，考查用分析法证明不等式，在不等式不易证明时，可通过执果索因的方法寻找结论成立的充分条件，完成证明，这就是分析法．19、（1）；（2），；（3）见解析.【解析】试题分析:（1）根据题意分段表示出函数解析式;（2）将代入（1）中函数解析式可得，即，根据频率分布直方图可分别得到关于的方程,即可得;（3）取每段中点值作为代表的用电量,分别算出对应的费用值,对应得出每组电费的概率,即可得到的概率分布列,然后求出的期望.试题解析:（1）当时，；当当时，；当当时，，所以与之间的函数解析式为.（2）由（1）可知，当时，，则，结合频率分布直方图可知，∴，（3）由题意可知可取50，150，250，350，450，550，当时，，∴，当时，，∴，当时，，∴，当时，，∴，当时，，∴，当时，，∴，故的概率分布列为25751402203104100.10.20.30.20.150.05所以随机变量的数学期望20、（1）；（2）.【解析】

（1）由正弦定理直接可求，然后运用两角和的正弦公式算出；（2）化简，由余弦定理得，利用基本不等式求出，确定角范围，进而求出的取值范围.【详解】（1）由正弦定理，得：，且为锐角（2）【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用，基本不等式的应用，三角函数的值域等，考查了学生运算求解能力.21、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）根据点差法，即可求得直线的斜率，则方程即可求得；（Ⅱ）设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理，根据，即可求得参数的值.【详解】（1）设，，则两式相减，可得.（*）因为线段的中点坐标为，所以，.代入（*）式，得.所以直线的斜率.所以直线的方程为，即.（Ⅱ）设直线：（），联立整理得.所以，解得.所以，.所以，所以.所以.因为，所以.【点