几类不同增长的函数模型教学设计

几类不同增长的函数模型教学设计一、教学目标1.知识与技能目标了解指数函数、对数函数、幂函数等几类不同增长函数模型的特点。能够根据实际问题的条件，选择合适的函数模型来刻画其变化规律。会比较指数函数、对数函数、幂函数增长速度的差异，并能应用相关知识解决简单的实际问题。2.过程与方法目标通过收集、分析数据，绘制函数图象等活动，培养学生观察、分析、归纳和概括的能力。经历从实际问题中抽象出函数模型，再通过函数模型解决实际问题的过程，体会数学建模的一般方法，提高学生数学应用意识和实践能力。3.情感态度与价值观目标通过数学建模活动，让学生感受数学与生活的紧密联系，体会数学在实际问题中的应用价值，激发学生学习数学的兴趣。在小组合作探究过程中，培养学生的团队合作精神和勇于探索的科学态度。二、教学重难点1.教学重点理解指数函数、对数函数、幂函数增长的差异。掌握根据实际问题选择合适函数模型的方法。2.教学难点如何引导学生通过分析实际问题，准确选择恰当的函数模型，并能对模型进行合理的解释和应用。三、教学方法1.讲授法：讲解几类不同增长函数模型的概念、性质及特点，使学生系统地掌握基础知识。2.讨论法：组织学生对实际问题进行讨论，引导学生自主思考、合作交流，共同探索解决问题的方法，培养学生的思维能力和团队合作精神。3.案例教学法：通过实际案例分析，让学生亲身感受函数模型在解决实际问题中的应用，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。4.多媒体辅助教学法：利用多媒体展示函数图象、数据表格等，直观形象地呈现教学内容，帮助学生更好地理解和掌握知识。四、教学过程（一）创设情境，引入新课1.展示以下三个实际问题：问题1：假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。请问，你会选择哪种投资方案？问题2：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个......以此类推，写出细胞个数\(y\)与分裂次数\(x\)之间的函数关系式，并探讨细胞个数随分裂次数的变化规律。问题3：有一个边长为1的正方形，若将其边长扩大为原来的\(x\)倍，得到新的正方形，其面积\(y\)与\(x\)之间有怎样的函数关系？当\(x\)不断增大时，面积\(y\)的增长情况如何？2.引导学生思考：这些问题中涉及到的数量关系可以用怎样的函数来描述？不同函数的增长情况有何不同？从而引出本节课的主题几类不同增长的函数模型。（二）探究新知1.分析三种投资方案的回报情况对于方案一，设投资天数为\(x\)，每天回报固定为40元，则回报金额\(y=40x\)，这是一个正比例函数。对于方案二，第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元，那么回报金额\(y=10+20+30+\cdots+10x=10(1+2+3+\cdots+x)=5x(x+1)\)，这是一个二次函数。对于方案三，第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番，则回报金额\(y=0.4×2^{x1}\)，这是一个指数函数。2.列表比较三种函数的增长情况|\(x\)|\(y=40x\)|\(y=5x(x+1)\)|\(y=0.4×2^{x1}\)|||||||1|40|10|0.4||2|80|30|0.8||3|120|60|1.6||4|160|100|3.2||5|200|150|6.4||6|240|210|12.8||7|280|280|25.6||8|320|360|51.2||9|360|450|102.4||10|400|550|204.8|3.绘制函数图象利用多媒体软件，分别绘制\(y=40x\)，\(y=5x(x+1)\)，\(y=0.4×2^{x1}\)的函数图象（图略）。引导学生观察图象，分析三种函数的增长趋势：正比例函数\(y=40x\)的图象是一条直线，其增长速度是匀速的。二次函数\(y=5x(x+1)\)的图象是一条抛物线，随着\(x\)的增大，增长速度逐渐加快，但比指数函数增长得慢。指数函数\(y=0.4×2^{x1}\)的图象呈上升趋势，且上升速度越来越快，后期增长速度远远超过正比例函数和二次函数。4.总结指数函数、对数函数、幂函数增长的特点指数函数\(y=a^x\)（\(a>1\)）：随着自变量\(x\)的增大，函数值增长的速度越来越快，呈现"爆炸式"增长。对数函数\(y=\log_ax\)（\(a>1\)）：函数值增长速度越来越慢，当\(x\)足够大时，增长速度几乎趋于平缓。幂函数\(y=x^n\)（\(n>0\)）：其增长速度介于指数函数和对数函数之间，随着\(n\)的不同，增长情况也有所不同。当\(n>1\)时，在\((0,+\infty)\)上单调递增，增长速度比一次函数快；当\(0<n<1\)时，在\((0,+\infty)\)上单调递增，但增长速度比一次函数慢。（三）典型例题讲解例1：某种计算机病毒通过电子邮件进行传播，如果第一轮感染了3台计算机，并且从第二轮起，每一台被感染的计算机都感染下一轮未被感染的20台计算机。则这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是什么类型的数列？第5轮感染后，被感染的计算机共有多少台？解：设第\(n\)轮感染的计算机数为\(a_n\)。第一轮感染了3台计算机，即\(a_1=3\)。从第二轮起，每一台被感染的计算机都感染下一轮未被感染的20台计算机，所以\(a_{n+1}=20a_n\)，\(\frac{a_{n+1}}{a_n}=20\)（\(n\geq1\)）。由此可知，数列\(\{a_n\}\)是以\(3\)为首项，\(20\)为公比的等比数列。根据等比数列通项公式\(a_n=a_1q^{n1}\)，可得\(a_n=3×20^{n1}\)。那么前\(n\)轮感染的计算机总数\(S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n\)。由等比数列求和公式\(S_n=\frac{a_1(1q^n)}{1q}\)（\(q\neq1\)），可得\(S_n=\frac{3(120^n)}{120}=\frac{3(20^n1)}{19}\)。当\(n=5\)时，\(S_5=\frac{3(20^51)}{19}=\frac{3(32000001)}{19}=\frac{3×3199999}{19}=495384\)（台）。所以，这种病毒每一轮感染的计算机数构成等比数列，第5轮感染后，被感染的计算机共有495384台。例2：某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金\(y\)（单位：万元）随销售利润\(x\)（单位：万元）的增加而增加，但奖金不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%。现有三个奖励模型：\(y=0.25x\)，\(y=\log_7x+1\)，\(y=1.002^x\)，其中哪个模型能符合公司的要求？解：对于模型\(y=0.25x\)：当\(x=20\)时，\(y=0.25×20=5\)（万元），当\(x>20\)时，\(y>5\)（万元），不符合奖金不超过5万元的要求。对于模型\(y=\log_7x+1\)：因为对数函数\(y=\log_7x\)在\((0,+\infty)\)上单调递增，所以\(y=\log_7x+1\)在\((0,+\infty)\)上也单调递增。当\(x=10\)时，\(y=\log_710+1\)，因为\(\log_77=1\)，\(\log_710>\log_77\)，所以\(y>2\)。当\(x=1000\)时，\(y=\log_71000+1=\frac{\lg1000}{\lg7}+1=\frac{3}{\lg7}+1\)。因为\(\lg7\approx0.845\)，所以\(y=\frac{3}{0.845}+1\approx4.5+1=5.5\)（万元），不符合奖金不超过5万元的要求。对于模型\(y=1.002^x\)：指数函数\(y=1.002^x\)在\((0,+\infty)\)上单调递增。当\(x=10\)时，\(y=1.002^{10}\approx1.02\)（万元），\(1.02<5\)且\(1.02<10×0.25=2.5\)。当\(x=1000\)时，\(y=1.002^{1000}\)。因为\(1.002^{1000}=(1+0.002)^{1000}\)，由二项式定理展开式\((a+b)^n=C_n^0a^n+C_n^1a^{n1}b+\cdots+C_n^nb^n\)，可得\((1+0.002)^{1000}\approx1+C_{1000}^1×0.002+C_{1000}^2×0.002^2+\cdots+C_{1000}^{1000}×0.002^{1000}\)。其中\(C_{1000}^1×0.002=1000×0.002=2\)，\(C_{1000}^2×0.002^2=\frac{1000×999}{2×1}×0.002^2=999×0.002=1.998\)，随着项数的增加，后面的项对结果影响较小，所以\(1.002^{1000}<5\)且\(1.002^{1000}<1000×0.25=250\)。所以，模型\(y=1.002^x\)能符合公司的要求。（四）课堂练习1.某工厂生产某种产品，第一年产量为\(A\)，第二年的增长率为\(a\)，第三年的增长率为\(b\)，这两年的平均增长率为\(x\)，则（）A.\(x=\frac{a+b}{2}\)B.\(x\leq\frac{a+b}{2}\)C.\(x>\frac{a+b}{2}\)D.\(x\geq\frac{a+b}{2}\)2.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为\(L_1=5.06x0.15x^2\)和\(L_2=2x\)，其中\(x\)为销售量（单位：辆）。若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为（）A.45.606万元B.45.6万元C.45.56万元D.45.51万元3.某种动物繁殖数量\(y\)（只）与时间\(x\)（年）的关系为\(y=a\log_2(x+1)\)，设这种动物第一年有100只，则到第7年它们发展到（）A.300只B.400只C.500只D.600只（五）课堂小结1.引导学生回顾本节课所学内容：几类不同增长函数模型（指数函数、对数函数、幂函数）的特点。通过实际案例分析，掌握根据实际问题选择合适函数模型的方法和步骤。2.强调数学建模的重要性：数学建模是将实际问题转化为数学问题，并通过数学方法解决实际问题的过程。在本节课中，我们通过分析投资方案、细胞分裂、正方形面积变化等实际问题，建立了相应的函数模型，体会了数学在实际生活中的广泛应用。希望同学们在今后的学习和生活中，能够运用数学建模的思想方法，解决更多的实际问题。（六）布置作业1.书面作业：教材P98练习第1、2、3题；习题3.2A组第1、2、3题。2.拓展作业：请同学们收集生活中的一个实际问题，运用本节课所学的函数模型知识进行分析和解决，并写成一篇小报告。五、教学反思通过本节课的教学，学生对几类不同增长的函数模型有了较为清晰的认识，能够理解指数